2018高考文科数学空间证明专题突破训练精编有答案

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2018高考文科数学空间证明专题突破训练精编有答案

‎2018年高考文科数学 空间证明 冲刺 ‎1.如图,直三棱柱中,且,是棱中点,是的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求点到平面的距离.‎ ‎ ‎ ‎2.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,EF分别是线段AD,PB的中点,PA=AB=1.‎ 求证: EF∥平面DCP;‎ 求F到平面PDC的距离.‎ ‎3.如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,分别为的中点,侧面底面,且.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求三棱锥的体积.‎ ‎4.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DC=2,点E,F分别为AD,PC的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:DF∥平面PBE ‎(Ⅱ)求点F到平面PBE的距离.‎ ‎5.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;‎ ‎(Ⅱ)设AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.‎ ‎6.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=a,AB=2a,E、F分别为C1D1、A1D1的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:DE⊥平面BCE;‎ ‎(Ⅱ)求证:AF∥平面BDE.‎ ‎7.如图所示,在三棱锥中,平面,分别为线段上的点,且.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求点到平面的距离.‎ ‎8.如图,已知三棱锥A﹣BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中点,D为PB的中点,且△PMB为正三角形.‎ ‎(I)求证:BC⊥平面APC;‎ ‎(Ⅱ)若BC=3,AB=10,求点B到平面DCM的距离.‎ ‎9.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DBA=30°,AB=2BD,PD=AD,PD⊥底面ABCD,E为PC上一点,且PE=EC.‎ ‎(1)证明:PA⊥BD;‎ ‎(2)若AD=,求三棱锥E﹣CBD的体积.‎ ‎10.如图,在三棱锥VABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC,O,M分别为AB,VA的中点.‎ ‎(1)求证:VB∥平面MOC;‎ ‎(2)求证:平面MOC⊥平面VAB.‎ ‎11.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=AB=BC=2,且点O为AC中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:A1O⊥平面ABC;‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥C1﹣ABC的体积.‎ 试卷答案 ‎1.‎ ‎(1)取中点,连结,则∥且.‎ 因为当为中点时,∥且,‎ 所以∥且.‎ 所以四边形为平行四边形,∥,‎ 又因为,,‎ 所以平面;‎ ‎(2)因为中,,是中点,所以.‎ 又因为直三棱柱中,,,‎ 所以,到的距离为.‎ 因为平面,所以到的距离等于到的距离等于.‎ 设点到平面的距离为.‎ ‎,,‎ 易求,,解得.‎ 点到平面的距离为.‎ ‎2.‎ 方法一:‎ 取中点,连接,‎ 分别是中点, ,‎ 为中点,为正方形,,‎ ‎,四边形为平行四边形,‎ 平面,平面,‎ 平面.‎ 方法二: ‎ 取中点,连接,.‎ 是中点,是中点,,‎ 又是中点,是中点,,‎ ‎,,‎ 又,平面,平面,平面,平面,平面平面.‎ 又平面,平面.‎ 方法三:‎ 取中点,连接,,‎ 在正方形中,是中点,是中点 又是中点,是中点,,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,‎ 平面//平面.‎ 平面 平面.‎ 方法一:‎ 平面,到平面的距离等于到平面的距离,‎ ‎ 平面,,,在中,‎ 平面,,又 ,,,‎ 平面,又平面,‎ ‎,故.‎ ‎ ,‎ 为直角三角形,,‎ 设到平面的距离为,‎ 则,‎ ‎ 到平面的距离.‎ 方法二:‎ 平面,‎ 点到平面的距离等于点到平面的距离,‎ 又 平面,是中点,‎ 点到平面的距离等于点到平面距离的2倍. ‎ 取中点,连接,由得,‎ 由,,, 平面,‎ 平面,平面,‎ 又 平面,平面平面.‎ 又平面平面,,平面,‎ 平面,‎ 长即为点到平面的距离,‎ 由,,.‎ 点到平面的距离为,‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎3.‎ ‎(1)连结,则是的中点,为的中点,‎ 故在中,,‎ 且平面,平面,‎ ‎∴平面;‎ ‎(2)取的中点,连结,∵,∴,‎ 又平面平面,平面平面,‎ ‎∴平面,‎ ‎∴.‎ ‎4.‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(Ⅰ)取PB的中点G,连接EG、FG,由已知结合三角形中位线定理可得DE∥FG且DE=FG,得四边形DEGF为平行四边形,从而可得DF∥EG,再由线面平行的判定可得DF∥平面PBE;‎ ‎(Ⅱ)利用等积法可得:VD﹣PBE=VP﹣BDE,代入棱锥体积公式可得点F到平面PBE的距离.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:取PB的中点G,连接EG、FG,则FG∥BC,且FG=.‎ ‎∵DE∥BC且DE=BC,∴DE∥FG且DE=FG,‎ ‎∴四边形DEGF为平行四边形,‎ ‎∴DF∥EG,又EG⊂平面PBE,DF⊄平面PBE,‎ ‎∴DF∥平面PBE;‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,DF∥平面PBE,‎ ‎∴点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离相等,‎ 故转化为求D到平面PBE的距离,设为d,‎ 利用等体积法:VD﹣PBE=VP﹣BDE,即.‎ ‎,‎ ‎∵,,∴.‎ ‎∴d=.‎ ‎5.‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设BD与AC 的交点为O,连结EO,通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC;‎ ‎(Ⅱ)通过AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,求出AB,作AH⊥PB角PB于H,说明AH就是A到平面PBC的距离.通过解三角形求解即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:设BD与AC 的交点为O,连结EO,‎ ‎∵ABCD是矩形,‎ ‎∴O为BD的中点 ‎∵E为PD的中点,‎ ‎∴EO∥PB.‎ EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC ‎∴PB∥平面AEC;‎ ‎(Ⅱ)∵AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,‎ ‎∴V==,‎ ‎∴AB=,PB==.‎ 作AH⊥PB交PB于H,‎ 由题意可知BC⊥平面PAB,‎ ‎∴BC⊥AH,‎ 故AH⊥平面PBC.‎ 又在三角形PAB中,由射影定理可得:‎ A到平面PBC的距离.‎ ‎6.‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(Ⅰ)证明直线与平面垂直,关键要找到两条相交直线与之都垂直:DE⊥BC,DE⊥EC从而得到线面垂直.‎ ‎(Ⅱ)要证线面平行,需要构造线面平行的判定定理的条件:在平面BDE内找一条与AF平行的直线,通过平行关系的相互转化可的线线平行继而得到线面平行.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:∵BC⊥侧面CDD1C1,DE⊂侧面CDD1C1,‎ ‎∴DE⊥BC,‎ 在△CDE中,CD=2a, a,则有CD2=CE2+DE2,‎ ‎∴∠DEC=90°,‎ ‎∴DE⊥EC,‎ 又BC∩EC=C ‎∴DE⊥平面BCE.‎ ‎(Ⅱ)证明:连EF、A1C1,连AC交BD于O,‎ ‎∵EF,AO,‎ ‎∴四边形AOEF是平行四边形,‎ ‎∴AF∥OE 又∵OE⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,‎ ‎∴AF∥平面BDE.‎ ‎7.‎ ‎(1)证明:由平面,平面,故 由,得为等腰直角三角形,‎ 故,‎ 又,‎ 故平面.‎ ‎(2)由(1)知,为等腰直角三角形,,‎ 过作垂直于,易知,‎ 又平面,所以,,‎ 设点到平面的距离为,即为三棱锥的高,‎ 由得, ‎ 即,所以,‎ 所以到平面的距离为.‎ ‎8.‎ ‎【考点】LW:直线与平面垂直的判定;MK:点、线、面间的距离计算.‎ ‎【分析】(I)根据正三角形三线合一,可得MD⊥PB,利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB,由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC,即AP⊥BC,再由AC⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC;‎ ‎(Ⅱ)记点B到平面MDC的距离为h,则有VM﹣BCD=VB﹣MDC.分别求出MD长,及△BCD和△MDC面积,利用等积法可得答案.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)如图,‎ ‎∵△PMB为正三角形,‎ 且D为PB的中点,‎ ‎∴MD⊥PB.‎ 又∵M为AB的中点,D为PB的中点,‎ ‎∴MD∥AP,‎ ‎∴AP⊥PB.‎ 又已知AP⊥PC,PB∩PC=P,PB,PC⊂平面PBC ‎∴AP⊥平面PBC,‎ ‎∴AP⊥BC,‎ 又∵AC⊥BC,AC∩AP=A,‎ ‎∴BC⊥平面APC,…‎ 解:(Ⅱ)记点B到平面MDC的距离为h,则有VM﹣BCD=VB﹣MDC.‎ ‎∵AB=10,‎ ‎∴MB=PB=5,‎ 又BC=3,BC⊥PC,‎ ‎∴PC=4,‎ ‎∴.‎ 又,‎ ‎∴.‎ 在△PBC中,,‎ 又∵MD⊥DC,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即点B到平面DCM的距离为. …‎ ‎9.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质.‎ ‎【分析】(1)在△ABD中,不妨设AB=2,BD=,由余弦定理可得AD,则AD2+BD2=BA2,从而得到BD⊥AD,结合PD⊥底面ABCD,得BD⊥PD,再由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAD,则PA⊥BD;‎ ‎(2)过E作EF⊥CD于F,则三棱锥E﹣CBD的高为EF,由已知可得EF.再由(1)知BD,代入三棱锥E﹣CBD的体积公式求解.‎ ‎【解答】(1)证明:在△ABD中,由余弦定理可得:AD2=BA2+BD2﹣2BA•BD•cos∠DBA,‎ 不妨设AB=2,则由已知AB=2BD,得BD=,‎ ‎∴,则AD2+BD2=BA2,‎ ‎∴∠ADB=90°,即BD⊥AD,‎ 又PD⊥底面ABCD,∴BD⊥PD,而AD∩PD=D,‎ ‎∴BD⊥平面PAD,则PA⊥BD;‎ ‎(2)解:过E作EF⊥CD于F,则三棱锥E﹣CBD的高为EF,‎ 由已知可得EF=.‎ 由(1)知BD=AD,‎ ‎∴三棱锥E﹣CBD的体积V==.‎ ‎10.‎ ‎【考点】LY:平面与平面垂直的判定;LS:直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(1)由O,M分别为AB,VA的中点,得OM∥VB,即可得VB∥平面MOC.‎ ‎(2)由AC=BC,O为AB的中点,得OC⊥AB.‎ 又平面VAB⊥平面ABC,得OC⊥平面VAB.平面MOC⊥平面VAB.‎ ‎【解答】解:(1)证明 因为O,M分别为AB,VA的中点,‎ 所以OM∥VB,‎ 又因为VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,‎ 所以VB∥平面MOC.‎ ‎(2)证明 因为AC=BC,O为AB的中点,所以OC⊥AB.‎ 又因为平面VAB⊥平面ABC,且OC⊂平面ABC,‎ 所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC,‎ 所以平面MOC⊥平面VAB.‎ ‎【点评】本题考查了空间线面平行的判定,面面垂直的判定,属于中档题.‎ ‎11.‎ ‎【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LW:直线与平面垂直的判定.‎ ‎【分析】(Ⅰ)推导出A1O⊥AC,由此能证明A1O⊥平面ABC.‎ ‎(Ⅱ)推导出C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离,从而,由此能求出三棱锥C1﹣ABC的体积.‎ ‎【解答】(本小题满分12分)‎ 证明:(Ⅰ)∵AA1=A1C,且O为AC的中点,‎ ‎∴A1O⊥AC,…‎ 又∵平面AA1C1C⊥平面ABC,‎ 平面AA1C1C∩平面ABC=AC…‎ 且A1O⊂平面AA1C1C,‎ ‎∴A1O⊥平面ABC…‎ 解:(Ⅱ)∵A1C1∥AC,A1C1⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,‎ ‎∴A1C1∥平面ABC,‎ 即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离…‎ 由(Ⅰ)知A1O⊥平面ABC且,…‎ ‎∴三棱锥C1﹣ABC的体积:‎ ‎…‎
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