- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
2018高考文科数学空间证明专题突破训练精编有答案
2018年高考文科数学 空间证明 冲刺 1.如图,直三棱柱中,且,是棱中点,是的中点. (1)求证:平面; (2)求点到平面的距离. 2.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,EF分别是线段AD,PB的中点,PA=AB=1. 求证: EF∥平面DCP; 求F到平面PDC的距离. 3.如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,分别为的中点,侧面底面,且. (1)求证:平面; (2)求三棱锥的体积. 4.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DC=2,点E,F分别为AD,PC的中点. (Ⅰ)证明:DF∥平面PBE (Ⅱ)求点F到平面PBE的距离. 5.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC; (Ⅱ)设AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离. 6.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=a,AB=2a,E、F分别为C1D1、A1D1的中点. (Ⅰ)求证:DE⊥平面BCE; (Ⅱ)求证:AF∥平面BDE. 7.如图所示,在三棱锥中,平面,分别为线段上的点,且. (1)求证:平面; (2)求点到平面的距离. 8.如图,已知三棱锥A﹣BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中点,D为PB的中点,且△PMB为正三角形. (I)求证:BC⊥平面APC; (Ⅱ)若BC=3,AB=10,求点B到平面DCM的距离. 9.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DBA=30°,AB=2BD,PD=AD,PD⊥底面ABCD,E为PC上一点,且PE=EC. (1)证明:PA⊥BD; (2)若AD=,求三棱锥E﹣CBD的体积. 10.如图,在三棱锥VABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC,O,M分别为AB,VA的中点. (1)求证:VB∥平面MOC; (2)求证:平面MOC⊥平面VAB. 11.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=AB=BC=2,且点O为AC中点. (Ⅰ)证明:A1O⊥平面ABC; (Ⅱ)求三棱锥C1﹣ABC的体积. 试卷答案 1. (1)取中点,连结,则∥且. 因为当为中点时,∥且, 所以∥且. 所以四边形为平行四边形,∥, 又因为,, 所以平面; (2)因为中,,是中点,所以. 又因为直三棱柱中,,, 所以,到的距离为. 因为平面,所以到的距离等于到的距离等于. 设点到平面的距离为. ,, 易求,,解得. 点到平面的距离为. 2. 方法一: 取中点,连接, 分别是中点, , 为中点,为正方形,, ,四边形为平行四边形, 平面,平面, 平面. 方法二: 取中点,连接,. 是中点,是中点,, 又是中点,是中点,, ,, 又,平面,平面,平面,平面,平面平面. 又平面,平面. 方法三: 取中点,连接,, 在正方形中,是中点,是中点 又是中点,是中点,, 又, , , 平面//平面. 平面 平面. 方法一: 平面,到平面的距离等于到平面的距离, 平面,,,在中, 平面,,又 ,,, 平面,又平面, ,故. , 为直角三角形,, 设到平面的距离为, 则, 到平面的距离. 方法二: 平面, 点到平面的距离等于点到平面的距离, 又 平面,是中点, 点到平面的距离等于点到平面距离的2倍. 取中点,连接,由得, 由,,, 平面, 平面,平面, 又 平面,平面平面. 又平面平面,,平面, 平面, 长即为点到平面的距离, 由,,. 点到平面的距离为, 即点到平面的距离为. 3. (1)连结,则是的中点,为的中点, 故在中,, 且平面,平面, ∴平面; (2)取的中点,连结,∵,∴, 又平面平面,平面平面, ∴平面, ∴. 4. 【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 【分析】(Ⅰ)取PB的中点G,连接EG、FG,由已知结合三角形中位线定理可得DE∥FG且DE=FG,得四边形DEGF为平行四边形,从而可得DF∥EG,再由线面平行的判定可得DF∥平面PBE; (Ⅱ)利用等积法可得:VD﹣PBE=VP﹣BDE,代入棱锥体积公式可得点F到平面PBE的距离. 【解答】(Ⅰ)证明:取PB的中点G,连接EG、FG,则FG∥BC,且FG=. ∵DE∥BC且DE=BC,∴DE∥FG且DE=FG, ∴四边形DEGF为平行四边形, ∴DF∥EG,又EG⊂平面PBE,DF⊄平面PBE, ∴DF∥平面PBE; (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,DF∥平面PBE, ∴点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离相等, 故转化为求D到平面PBE的距离,设为d, 利用等体积法:VD﹣PBE=VP﹣BDE,即. , ∵,,∴. ∴d=. 5. 【考点】点、线、面间的距离计算;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【分析】(Ⅰ)设BD与AC 的交点为O,连结EO,通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC; (Ⅱ)通过AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,求出AB,作AH⊥PB角PB于H,说明AH就是A到平面PBC的距离.通过解三角形求解即可. 【解答】解:(Ⅰ)证明:设BD与AC 的交点为O,连结EO, ∵ABCD是矩形, ∴O为BD的中点 ∵E为PD的中点, ∴EO∥PB. EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC ∴PB∥平面AEC; (Ⅱ)∵AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=, ∴V==, ∴AB=,PB==. 作AH⊥PB交PB于H, 由题意可知BC⊥平面PAB, ∴BC⊥AH, 故AH⊥平面PBC. 又在三角形PAB中,由射影定理可得: A到平面PBC的距离. 6. 【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】(Ⅰ)证明直线与平面垂直,关键要找到两条相交直线与之都垂直:DE⊥BC,DE⊥EC从而得到线面垂直. (Ⅱ)要证线面平行,需要构造线面平行的判定定理的条件:在平面BDE内找一条与AF平行的直线,通过平行关系的相互转化可的线线平行继而得到线面平行. 【解答】解:(Ⅰ)证明:∵BC⊥侧面CDD1C1,DE⊂侧面CDD1C1, ∴DE⊥BC, 在△CDE中,CD=2a, a,则有CD2=CE2+DE2, ∴∠DEC=90°, ∴DE⊥EC, 又BC∩EC=C ∴DE⊥平面BCE. (Ⅱ)证明:连EF、A1C1,连AC交BD于O, ∵EF,AO, ∴四边形AOEF是平行四边形, ∴AF∥OE 又∵OE⊂平面BDE,AF⊄平面BDE, ∴AF∥平面BDE. 7. (1)证明:由平面,平面,故 由,得为等腰直角三角形, 故, 又, 故平面. (2)由(1)知,为等腰直角三角形,, 过作垂直于,易知, 又平面,所以,, 设点到平面的距离为,即为三棱锥的高, 由得, 即,所以, 所以到平面的距离为. 8. 【考点】LW:直线与平面垂直的判定;MK:点、线、面间的距离计算. 【分析】(I)根据正三角形三线合一,可得MD⊥PB,利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB,由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC,即AP⊥BC,再由AC⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC; (Ⅱ)记点B到平面MDC的距离为h,则有VM﹣BCD=VB﹣MDC.分别求出MD长,及△BCD和△MDC面积,利用等积法可得答案. 【解答】证明:(Ⅰ)如图, ∵△PMB为正三角形, 且D为PB的中点, ∴MD⊥PB. 又∵M为AB的中点,D为PB的中点, ∴MD∥AP, ∴AP⊥PB. 又已知AP⊥PC,PB∩PC=P,PB,PC⊂平面PBC ∴AP⊥平面PBC, ∴AP⊥BC, 又∵AC⊥BC,AC∩AP=A, ∴BC⊥平面APC,… 解:(Ⅱ)记点B到平面MDC的距离为h,则有VM﹣BCD=VB﹣MDC. ∵AB=10, ∴MB=PB=5, 又BC=3,BC⊥PC, ∴PC=4, ∴. 又, ∴. 在△PBC中,, 又∵MD⊥DC, ∴, ∴ ∴ 即点B到平面DCM的距离为. … 9. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质. 【分析】(1)在△ABD中,不妨设AB=2,BD=,由余弦定理可得AD,则AD2+BD2=BA2,从而得到BD⊥AD,结合PD⊥底面ABCD,得BD⊥PD,再由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAD,则PA⊥BD; (2)过E作EF⊥CD于F,则三棱锥E﹣CBD的高为EF,由已知可得EF.再由(1)知BD,代入三棱锥E﹣CBD的体积公式求解. 【解答】(1)证明:在△ABD中,由余弦定理可得:AD2=BA2+BD2﹣2BA•BD•cos∠DBA, 不妨设AB=2,则由已知AB=2BD,得BD=, ∴,则AD2+BD2=BA2, ∴∠ADB=90°,即BD⊥AD, 又PD⊥底面ABCD,∴BD⊥PD,而AD∩PD=D, ∴BD⊥平面PAD,则PA⊥BD; (2)解:过E作EF⊥CD于F,则三棱锥E﹣CBD的高为EF, 由已知可得EF=. 由(1)知BD=AD, ∴三棱锥E﹣CBD的体积V==. 10. 【考点】LY:平面与平面垂直的判定;LS:直线与平面平行的判定. 【分析】(1)由O,M分别为AB,VA的中点,得OM∥VB,即可得VB∥平面MOC. (2)由AC=BC,O为AB的中点,得OC⊥AB. 又平面VAB⊥平面ABC,得OC⊥平面VAB.平面MOC⊥平面VAB. 【解答】解:(1)证明 因为O,M分别为AB,VA的中点, 所以OM∥VB, 又因为VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC, 所以VB∥平面MOC. (2)证明 因为AC=BC,O为AB的中点,所以OC⊥AB. 又因为平面VAB⊥平面ABC,且OC⊂平面ABC, 所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC, 所以平面MOC⊥平面VAB. 【点评】本题考查了空间线面平行的判定,面面垂直的判定,属于中档题. 11. 【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LW:直线与平面垂直的判定. 【分析】(Ⅰ)推导出A1O⊥AC,由此能证明A1O⊥平面ABC. (Ⅱ)推导出C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离,从而,由此能求出三棱锥C1﹣ABC的体积. 【解答】(本小题满分12分) 证明:(Ⅰ)∵AA1=A1C,且O为AC的中点, ∴A1O⊥AC,… 又∵平面AA1C1C⊥平面ABC, 平面AA1C1C∩平面ABC=AC… 且A1O⊂平面AA1C1C, ∴A1O⊥平面ABC… 解:(Ⅱ)∵A1C1∥AC,A1C1⊄平面ABC,AC⊂平面ABC, ∴A1C1∥平面ABC, 即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离… 由(Ⅰ)知A1O⊥平面ABC且,… ∴三棱锥C1﹣ABC的体积: …查看更多