备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题59 二项式的展开项

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题59 二项式的展开项

专题59 二项式的展开项 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 纵观近几年的高考试题，本节内容考题比较灵活，热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n，求参数的值等，难度控制在中等或中等以下．‎ 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.‎ ‎1、二项式展开式，从恒等式中我们可以发现这样几个特点 ‎（1）完全展开后的项数为 ‎ ‎（2）展开式按照的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，的指数呈此消彼长的特点。指数和为 ‎（3）在二项式展开式中由于按的指数进行降幂排列，所以规定“”左边的项视为，右边的项为，比如：与虽然恒等，但是展开式却不同，前者按的指数降幂排列，后者按的指数降幂排列。如果是，则视为进行展开 ‎（4）二项展开式的通项公式 （注意是第项）‎ ‎2、二项式系数：项前面的称为二项式系数，二项式系数的和为 ‎ 二项式系数的多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于可看作是个相乘，对于 意味着在这个中，有个式子出，剩下个式子出，那么这种出法一共有种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。‎ ‎3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数 注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。二项式系数是展开式通项公式中的，对于确定的一个二项式，二项式系数只由决定。而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。例如：展开式中第三项为，其中为该项的二项式系数，而 化简后的结果为该项的系数 11‎ ‎（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同。例如 展开式的第三项为 ，可以计算出二项式系数与系数均为10‎ ‎3、有理项：系数为有理数,次数为整数的项，比如就是有理项，而就不是有理项。‎ ‎4、与的联系：首先观察他们的通项公式：‎ ‎： ： ‎ 两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数。其绝对值相等。所以在考虑系数的绝对值问题时，可将其转化为求系数的问题 ‎ ‎5、二项式系数的最大值：在中，数值最大的位于这列数的中间位置。若为奇数（共有偶数项），则最大值为中间两个，例如时，最大项为，若为偶数（共有奇数数项），则最大值为中间项，例如时，最大项为 证明：在中的最大项首先要比相邻的两项大，所以不妨设最大项为，则有 ‎ 所以解得： 即 ‎ 所以当为奇数时（），不等式变为，即或为中间项 当为偶数时（），不等式变为，即为中间项 ‎6、系数的最大值：由于系数受二项式系数与项自身系数影响，所以没有固定的结论，需要构建不等式组计算求解.‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【2019年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80‎ 11‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得，令,则，所以 故选C.‎ 例2.【2017课标3，理4】的展开式中33的系数为 A． B． C．40 D．80‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 例3.【山西省两市2019届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B 例4.【2017课标1，理6】展开式中的系数为 11‎ A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】‎ 因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.‎ 例5. 【2019年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.‎ 详解：二项式的展开式的通项公式为,‎ 令得，故所求的常数项为 例6.【2019年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________.‎ ‎【答案】‎ 例7.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得．‎ 点睛：这几个题都是二项式定理的应用, 解题的关键是一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值．这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解．另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，一般都需先转化为方程(组)求出，然后代入通项公式求解．‎ 例8.【安徽省宿州市2019届三模】的展开式中项的系数为__________．‎ 11‎ ‎【答案】-132‎ 点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．‎ 例9.已知的展开式中项的系数为，则实数的值为__________‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】思路：先利用通项公式求出的项，在利用系数的条件求出的值即可 解： ‎ ‎ ‎ 答案：‎ 例10设，是大于1的自然数，的展开式为.若点，的位置如图所示，则 . ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎ 【答案】3‎ 11‎ ‎ 【解析】根据题意知，，，结合二项式定理得，‎ 即，解得.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．在的展开式中，常数项为（ ）‎ A. 135 B. 105 C. 30 D. 15‎ ‎2．【2019届湖北省5月冲刺】二项式展开式的常数项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先看作的二项式，再根据二项展开式的通项确定常数项.‎ 详解：因为=,‎ 所以，‎ 因此常数项为展开式中常数项：，选B.‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎ ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎3．的展开式中不含有项的各项系数之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 11‎ ‎【答案】D 据此可得：的展开式中不含有项的各项系数之和为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎4．在二项式的展开式中，偶数项二项式系数为32，则展开式的中间项为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】偶数项二项式系数和为，即，中间项=，故选C ‎5．【2019届河北省衡水中学三轮复习】展开式中的常数项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 故选B．‎ 点睛：对于三项式的问题，解题时可转化为二项式求解；若无法转化，则要根据组合的方法求解．‎ 11‎ ‎6．【2019届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】已知展开式中的常数项与展开式中的系数相等，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由展开式中的常数项与展开式中的系数相等，利用二项式的通项公式列方程求解即可.‎ 详解：的通项公式为，‎ 当时，常数项为，通项式为，‎ 当时，的系数为，故选A.‎ ‎7．【2019届河南省最后一次模拟】在的展开式中，含项的系数是__________．‎ ‎【答案】-44‎ ‎【解析】分析：,求出展开式中的系数，从而可得结果.‎ 详解：,‎ 分别求出展开式中的项，‎ 所以含项为 ‎，‎ 含项的系数是，故答案为.‎ ‎8．【2019届湖北省黄冈中学5月三模】已知展开式的常数项是第7项，则正整数的值是_______.‎ ‎【答案】10‎ 11‎ ‎9．【2019届浙江省金丽衢十二校第二次联考】在 的展开式中，常数项为_____；系数最大的项是_____．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分析：先根据二项展开式通项公式得项的次数与系数，再根据次数为零，算出系数得常数项，根据系数大小比较，解得系数最大的项.‎ 详解：因为，所以由得常数项为 因为系数最大的项系数为正，所以只需比较大小 因此r=2时系数最大，项是，‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎10．【腾远2019年浙江红卷】已知的展开式中的系数为，则__________，此多项式的展开式中含的奇数次幂项的系数之和为__________．‎ ‎【答案】 -2 -32‎ 11‎ ‎11．【2019届湖北省华中师范大学第一附属中学5月押题】已知的展开式中，的系数为，则实数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先求中的系数，再根据的系数为求出a的值.‎ 详解：令的通项为 当x=3时，的系数为 当x=2时，的系数为，‎ 所以1×（-80）+a×40=40a-80=-20,‎ 所以a=.‎ 故答案为：‎ 点睛：（1）本题主要考查二项式定理和二项式展开式的项的系数，意在考查学生对这些基础的掌握能力和分类讨论思想方法. (2)解答本题的关键是求中的系数，然后的系数为1×（-80）+a×40=40a-80.‎ ‎12．【2019届安徽省江南十校二模】二项式展开式中，只有第项的二次项系数最大，则展开式中常数项是__________．‎ ‎【答案】‎ 11‎ 令，得，‎ 即展开式中常数项是．‎ 11‎