高考数学专题训练极坐标与参数方程解答题练习

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高考数学专题训练极坐标与参数方程解答题练习

高考数学专题训练:极坐标与参数方程解答题练习 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(题型注释) 二、填空题(题型注释) 三、解答题(题型注释) 1.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 ( 为参数), ( 为参数). (1)化 的方程为普通方程; (2)若 上的点 P 对应的参数为 为 上的动点,求 中点 到直线 ( 为参数)距离的最小值. 2.在直角坐标系 xOy.圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 3.已知曲线 C 的极坐标方程是  sin2 ,直线 l 的参数方程是        ty tx 5 4 25 3 (t 为 参数). (I)将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线l 与 x 轴的交点是 ,M N 为曲线C 上一动点,求 MN 的最大值. 4.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 1 cos (sin x y       为参数).以 O 为极点,x 轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 (sin 3 cos ) 3 3    ,射线 : 3OM   与圆 C 的 交点为 O,P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 5.在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 1C 的参数方程为        sin cos by ax ( 0 ba , 为参数), 在以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 2C 是圆心在极轴上,且经过 极点的圆.已知曲线 1C 上的点 )2 3,1(M 对应的参数 3   ,射线 3   与曲线 2C 交 于点 )3,1( D . (I)求曲线 1C , 2C 的方程; (II)若点 ),( 1 A , )2,( 2  B 在曲线 1C 上,求 2 2 2 1 11   的值. 6.长为 3 的线段两端点 A,B 分别在 x 轴正半轴和 y 轴的正半轴上滑动, 2BP PA  , 点 P 的轨迹为曲线 C. (1)以直线 AB 的倾斜角 为参数,求曲线 C 的参数方程; (2)求点 P 到点 (0, 2)D  距离的最大值. 7.平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 3 x t y t   (t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 2 2 2cos sin     2 sin 3 0    . (1)求直线l 的极坐标方程; (2)若直线l 与曲线C 相交于 A 、 B 两点,求| |AB . 8.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的轴的正半轴重 合 . 直 线 的 参 数 方 程 是 31 5 41 5 x t y t         ( 为 参 数 ), 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2sin( )4    . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线与曲线 C 相交于 M , N 两点,求 M , N 两点间的距离. 9.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 经过点 P( 1 2 ,1),倾斜角α= 6  ,圆 C 的极坐标方程为  = 2 cos(θ - 4  ). (Ⅰ)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求点 P 到 A,B 两点的距离之积. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 1C : cos sin      x y ( 为参数),将 1C 上的所 有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 和 2 倍后得到曲线 2C .以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知 直线l : ( 2 cos sin ) 4    . (1)试写出曲线 1C 的极坐标方程与曲线 2C 的参数方程; (2)在曲线 2C 上求一点 P ,使点 P 到直线l 的距离最小,并求此最小值. 11.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 ( 为参数), ( 为参数). (1)化 的方程为普通方程; (2)若 上的点 P 对应的参数为 为 上的动点,求 中点 到直线 ( 为参数)距离的最小值. 12.选修 4—4:极坐标与参数方程 已知曲线 1C 的参数方程是 2cos sin x y      ( 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程是 2sin  . (1)写出 1C 的极坐标方程和 2C 的直角坐标方程; (2)已知点 1M 、 2M 的极坐标分别为 1, 2      和  2,0 ,直线 1 2M M 与曲线 2C 相交于 ,P Q 两点,射线 OP 与曲线 1C 相交于点 A ,射线 OQ 与曲线 1C 相交于点 B ,求 2 2 1 1 OA OB  的值. 13.已知圆C 的极坐标方程为 2cos  ,直线l 的参数方程为 1 3 2 2 1 1 2 2 x t x t       (t 为参数),点 A 的极坐标为 2 ,2 4       ,设直线l 与圆C 交于点 P 、Q . (1)写出圆C 的直角坐标方程; (2)求 AP AQ 的值. 14.在极坐标系中,点 M 坐标是 )2,3(  ,曲线C 的方程为 )4sin(22   ;以极点 为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是 1 的直线l 经过点 M . (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)求证直线l 和曲线C 相交于两点 A、 B ,并求 |||| MBMA  的值. 15.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的方程为 4 0x y   ,曲线 C 的参数方程为 x 3cos y sin       ( 为参数). (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 (4, )2  ,判断点 P 与直线l 的位置关系; (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值. 16.已知曲线 C 的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面 直角坐标系,直线 L 的参数方程为 1 2 3 x t y t     (t 为参数) (1)写出直线 L 的普通方程与 Q 曲线 C 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ' ' 1 2 x x y y    得到曲线 C ' ,设 M(x,y)为 C ' 上任意一点,求 2 23 2x xy y  的最小值,并求相应的点 M 的坐标. 17.在平面直角系 xoy 中,已知曲线 1 cos: sin xC y      ( 为参数 ) ,将 1C 上的所有点的 横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 和 2 倍后得到曲线 2C .以平面直角坐标系 xoy 的 原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标,已知直线 : ( 2 cos sin ) 4l     . (1)试写出曲线 1C 的极坐标方程与曲线 2C 的参数方程; (2)在曲线 2C 上求一点 P,使点到直线l 的距离最小,并求此最小值. 18.已知圆C 的极坐标方程为 2cos  ,直线l 的参数方程为 1 3 2 2 1 1 2 2 x t x t       (t 为参数),点 A 的极坐标为 2 ,2 4       ,设直线l 与圆C 交于点 P 、Q . (1)写出圆C 的直角坐标方程; (2)求 AP AQ 的值. 19.已知直线l 的参数方程为 31 2 ( 13 2 x t t y t        为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 4sin( )6    . (1)求圆C 的直角坐标方程; (2)若 ( , )P x y 是直线l 与圆面  ≤ 4sin( )6   的公共点,求 3 x y 的取值范围. 20.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程是 )( 242 2 2 2 是参数t ty tx         ,圆 C 的极坐标方程为 )4cos(2   . (1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 21.已知平面直角坐标系 xOy,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P 点的 极坐标为 (2 3, )6  ,曲线 C 的极坐标方程为 2 2 3 sin 1    (Ⅰ)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)若 为 C 上的动点,求 中点 到直线 (t 为参数)距离的最小值 22.(本小题满分14 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知四边形 OABC 是平行四边形, (4,0), (1, 3)A C ,点 M 是 OA 的中点,点 P 在线段 BC 上运动(包括端点),如图 (Ⅰ)求∠ABC 的大小; (II)是否存在实数λ,使 ( )OA OP CM     ?若存在,求出满足条件的实数λ的取 值范围;若不存在,请说明理由。 23.已知圆 2 2: 4C x y  ,直线 : 2l x y  ,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取 相同的单位长度建立极坐标系. (1)将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程; (2)P 是 l 上的点,射线 OP 交圆 C 于点 R,又点 Q 在 OP 上且满足 2| OQ| | OP | | OR |  , 当点 P 在l 上移动时,求点 Q 轨迹的极坐标方程. 24.平面直角坐标系中,直线l 的参数方程是 3 x t y t   (t 为参数),以坐标原点为极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 2 2 2cos sin 2 sin 3 0         . (Ⅰ)求直线l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于 ,A B 两点,求| |AB . 25.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 x y 中,以原点 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 1C 的极坐标方程为  sin cos 1    ,曲线 2C 的参数方程为 2cos sin x y      . (1)求曲线 1C 的直角坐标方程与曲线 2C 的普通方程; (2)试判断曲线 1C 与 2C 是否存在两个交点?若存在,求出两交点间的距离;若不存 在,说明理由. 26.坐标系与参数方程. 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 23 2 25 2 x t y t       (t 为参数).在极坐标系 (与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, 圆 C 的方程为 2 5 sin  . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5) ,求|PA|+|PB|. 27 . 已 知 直 线 l 经 过 点 1( ,1)2P , 倾 斜 角 α = 6  , 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 cos( )4    . (1)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (2)设 l 与圆 C 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积. 28.在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为: 2cos 2 sin x y     ( 为参数),以原点为 极点,x 轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线 C2 是极坐标方程为: cos  , (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)若 P,Q 分别是曲线 C1 和 C2 上的任意一点,求 PQ 的最小值. 29.在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为        sin cos by ax (a>b>0, 为参数), 以Ο为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的 圆,已知曲线 C1 上的点 M )3,2( 对应的参数  = 3  , 4   与曲线 C2 交于点 D )4,2(  (1)求曲线 C1,C2 的普通方程; (2)A(ρ1,θ),Β(ρ2,θ+ 2  )是曲线 C1 上的两点,求 2 2 2 1 11   的值 30.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy中,曲线 1C 的参数方程为        sin cos3 y x ,( 为参数),以原点O 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 2C 的 极 坐 标 方 程 为 24)4sin(   . (1)求曲线 1C 的普通方程与曲线 2C 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 1C 上的动点,求点 P 到 2C 上点的距离的最小值. 31.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 ( 2, )4C  ,半径 3r (Ⅰ)求圆C 的极坐标方程; (Ⅱ)若      4,0  ,直线l 的参数方程为        sin2 cos2 ty tx (t 为参数),直线l 交圆C 于 A B、 两点,求弦长 AB 的取值范围 32.在直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为         ty tx 2 32 2 1 (t 为参数),若以原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C 的极坐标方程为  cos4 ,设 M 是圆C 上任一点,连结OM 并延长到Q ,使 MQOM  . (Ⅰ)求点Q 轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线l 与点Q 轨迹相交于 BA, 两点,点 P 的直角坐标为(0,2) ,求 PBPA  的 值. 33.已知曲线 1C 的极坐标方程是 22)4cos(   ,以极点为平面直角坐标系的原 点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,曲线 2C 的参数方程是: 24 4 x t y t     (t 是参数). (1)将曲线 1C 和曲线 2C 的方程转化为普通方程; (2)若曲线 1C 与曲线 2C 相交于 A B、 两点,求证OA OB ; (3)设直线 2y kx b C  与曲线 交于两点 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ,且 1 2y y a  ( 0a  且 a 为常数),过弦 PQ 的中点 M 作平行于 x 轴的直线交曲线 2C 于点 D ,求证: PQD 的面积是定值. 参考答案 1.(1) 2 2 1 :( 4) ( 3) 1C x y    , 2 2 2 : 164 9 x yC   ;(2) 8 5 5 . 【解析】 试题分析:(1)利用同角三角函数的基本关系,分别消去参数t 和 即可; (2)首先利用参数方程求出点 P 的坐标,把直线 3 3 2: 2 x tC y t       (t 为参数)化为直角坐 标下的一般方程,再利用点到直线的距离公式把点 M 到直线的距离表示成参数 的函数并求 出其最小值. 试题解析:(1)由 4 cos 3 sin x t y t       得 4 cos 3 sin x t y t      , 所以 2 2 1 :( 4) ( 3) 1C x y    , 由 8cos 3sin x y      得 cos8 sin3 x y       ,所以 2 2 2 : 164 9 x yC   4 分 (2)当 2t  时, ( 4,4), (8cos ,3sin )P Q   ,故 3( 2 4cos ,2 sin )2M     , 3C 为直线 2 7 0x y   , M 到 3C 的距离 5 | 4cos 3sin 13|5d     =  5 5cos 135    5 8 55 135 5    (其中, 4 3cos ,sin5 5    ) 从且仅当 4 3cos ,sin5 5     时, d 取得最小值 8 5 5 . 10 分 考点:1、参数方程的应用;2、点到直线的距离;3、三角函数的最值. 2.(1) 22, 3      , 22, 3     (2) 1 tan x y     - 3  ≤θ≤ 3  . 【解析】解:(1)圆 C1 的极坐标方程为ρ=2, 圆 C2 的极坐标方程为ρ=4cosθ. 解 2 4cos       得ρ=2,θ=± 3  . 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 22, 3      , 22, 3     . 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)(解法一) 由 cos sin x y        得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3 ),(1,- 3 ). 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 1x y t    - 3 ≤t≤ 3 . (或参数方程写成 1x y y    - 3 ≤y≤ 3 ) (解法二) 在直角坐标系下求得弦 C1C2 的方程为 x=1(- 3 ≤y≤ 3 ).将 x=1 代入 cos sin x y        , 得ρcosθ=1, 从而ρ= 1 cos . 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 1 tan x y     - 3  ≤θ≤ 3  . 3.(1) 2 2 2 0x y y   ;(2) 5 1 . 【解析】 试题分析:(1)根据 2 2 2 , cos , sinx y x y        可以将极坐标方程转化为坐标方 程,(2)将直线的参数方程转化成直角坐标方程,再根据平时熟悉的几何知识去做题. 试题解析:(1)  sin2 两边同时乘以  得 2 2 sin   ,则 2 2 2x y y  曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程为: 2 2 2 0x y y   (2)直线 l 的参数方程化为直角坐标方程得: 4 ( 2)3y x   令 0y  得 2x  ,即 (2,0)M ,又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为 (0,1) , 半径 1r  ,则 5MC  . 5 1MN MC r     . 考点:1.极坐标与直角坐标的转化,2.参数方程与直角坐标方程的转化. 4.(Ⅰ) 2cos  ;(Ⅱ)2. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)利用 cos , sinx y     代换可得;(Ⅱ)依题意分别求出 P 、Q 的极 坐标,利用 1 2  ,则 |||| 21  PQ 求解. 试题解析:(Ⅰ)圆C 的普通方程是 2 2( 1) 1x y   ,又 cos , sinx y     , 所以圆C 的极坐标方程是 2cos  . (5 分) (Ⅱ)设 1 1( , )  为点 P 的极坐标,则有 1 1 1 2cos 3      解得 1 1 1 3     . 设 2 2( , )  为点Q 的极坐标,则有 2 2 2 2 (sin 3 cos ) 3 3 3         解得 2 2 3 3     由于 1 2  ,所以 1 2 2PQ     ,所以线段 PQ 的长为 2. (10 分) 考点:圆的参数方程,直线的极坐标方程. 5.(I)曲线 2C 的方程为  cos2 ,或 1)1( 22  yx . (II) 4 5)cos4 sin()sin4 cos(11 2 2 2 2 2 2 2 1    【解析】 试题分析:(I)将 )2 3,1(M 及对应的参数 3   ,代入        sin cos by ax , 得        3sin2 3 3cos1   b a ,即      1 2 b a , 所以曲线 1C 的方程为        sin cos2 y x ( 为参数),或 14 2 2  yx . 设圆 2C 的半径为 R ,由题意,圆 2C 的方程为  cos2R ,(或 222)( RyRx  ). 将点 )3,1( D 代入  cos2R , 得 3cos21 R ,即 1R . (或由 )3,1( D ,得 )2 3,2 1(D ,代入 222)( RyRx  ,得 1R ), 所以曲线 2C 的方程为  cos2 ,或 1)1( 22  yx . (II)因为点 ),( 1 A , )2,( 2  B 在在曲线 1C 上, 所以 1sin4 cos 22 1 22 1   , 1cos4 sin 22 2 22 2   , 所以 4 5)cos4 sin()sin4 cos(11 2 2 2 2 2 2 2 1    考点:本题主要考查简单曲线的极坐标方程,直角坐标与极坐标的互化,参数方程与普通方 程的互化。 点评:中档题,此类问题往往不难,解的思路比较明确。(3)是恒等式证明问题,利用点在 曲线上,得到 1sin4 cos 22 1 22 1   , 1cos4 sin 22 2 22 2   ,从中解出 2 1 , 2 2 , 利用三角函数“平方关系”,达到证明目的。 6.(1) 2cos sin x y       (α为参数,90<α<180);(2) 2 21 3 . 【解析】 试题分析:本题主要考查参数方程、两点间距离公式、直角三角形中的正弦、余弦值的计算、 平方关系、配方法、三角函数的有界性等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、 数形结合的能力、计算能力.第一问,设出点 P 的坐标,在三角形 AOB 中,利用正弦公式、 余弦公式计算 x,y 的值,得到曲线 C 的参数方程,注意角 的取值范围;第二问,利用第 一问求出的点 P 坐标的 x,y 值,用两点间距离公式得到表达式,利用平方关系、配方法、 三角函数的有界性求表达式的最值. 试题解析:(1)设 P (x,y),由题设可知, 则 x= 2 3 |AB|cos(-α)=-2cos α,y= 1 3 |AB|sin(-α)=sin α, 所以曲线 C 的参数方程为 2cos sin x y       (α为参数,90<α<180). 5 分 (2)由(1)得 |PD|2=(-2cos α)2+(sin α+2)2=4cos2α+sin2α+4sin α+4 =-3sin2α+4sin α+8= 22 283(sin )3 3    . 当 2sin 3   时,|PD|取最大值 2 21 3 . 10 分 考点:参数方程、两点间距离公式、直角三角形中的正弦、配方法、三角函数的有界性. 7.(1) 3   (2) 15 【解析】. 试题分析:解:(Ⅰ)消去参数得直线 l 的直角坐标方程: xy 3 由 cos sin x y        代入得 sin 3 cos    ( )3 R    . ( 也可以是: 3   或 4 ( 0)3    ) (Ⅱ) 2 2 2 2cos sin 2 sin 3 0 3              得 2 3 3 0    设 1( , )3A  , 2( , )3B  ,则 154)(|||| 21 2 2121  AB (若学生化成直角坐标方程求解,按步骤对应给分) 考点:直线与圆的极坐标方程 点评:主要是考查了极坐标方程的运用,属于基础题。 8.(Ⅰ) 2 2 0x y x y    (Ⅱ) MN 1 2t t  2 1 2 1 2( ) 4t t t t   41 5  . 【解析】(Ⅰ)利用极坐标的定义转化方程即可;(Ⅱ)联立直线方程,利用韦达定理和弦长 公式即可求出弦长 (Ⅰ)由 2sin( )4    得, sin cos    ,两边同乘  得, 2 cos sin 0       ,再由 2 2 2x y   , cos x   , sin y   ,得 曲线 C 的直角坐标方程是 2 2 0x y x y    ;----5 分 (Ⅱ)将直线参数方程代入圆C 方程得, 25 21 20 0t t   , 1 2 21 5t t  , 1 2 4t t  , MN 1 2t t  2 1 2 1 2( ) 4t t t t   41 5  9 .( Ⅰ ) 直 线 l 的 参 数 方 程 1 3 2 2 11 2 x t y t       ( t 为 参 数 ) , 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    ; (Ⅱ) .4 1 【解析】 试 题 分 析 :( Ⅰ ) 利 用 { 0 0 sin   txosxx tyy   可 求 出 直 线 l 的 参 数 方 程 , 可 利 用 ,222  yx  sin,cos  yx 将极坐标方程转化为直角坐标方程;(Ⅱ)将直线的 参数方程代入圆的方程,整理可得 2 1 1 02 4t t   ,由参数的几何意义 21 ttPBPA  , 可得 1 2 1 4PA PB t t    . 试题解析:(Ⅰ)直线 l 的参数方程为 1 cos2 6 1 sin 6 x t y t         ,即 1 3 2 2 11 2 x t y t       (t 为参数) 2 分 由 2 cos( )4    ,得 cos sin    , 所以 2 cos sin      , 4 分 得 2 2x y x y   ,即 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    . 5 分 (Ⅱ)把 1 3 2 2 11 2 x t y t       代入 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    ,得 2 1 1 02 4t t   , 8 分 ∴ 1 2 1 4PA PB t t    . 10 分 考点:1、直线的参数方程;2、极坐标方程化为直角坐标方程;3、参数的几何意义. 10.(1)参考解析;(2) (1, 2)P , 4 3 2 6 3  【解析】 试题分析:(1)由曲线 1C : cos sin      x y ( 为参数),写出相应的直坐标方程,在转化为极 坐标方程.由 1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 和 2 倍后得到曲线 2C . 得到直角坐标方程,在转化为参数方程. (2)将直线l : ( 2 cos sin ) 4    ,化为直角坐标方程. 点 P 在曲线 2C 上.用点 P 的 参数方程的形式带入,点到直线的距离公式,通过求三角函数的最值即可得到结论. (1)由已知得曲线 1C 的直角坐标方程是 2 2 1x y  ,所以曲线 1C 的极坐标方程是 1  , 因为曲线 1C 的直角坐标方程是 2 2 1x y  ,所以根据已知的伸缩变换得曲线 2C 的直角坐标 方程是 2 2 12 4 x y  ,所以曲线 2C 的参数方程是 2 cos 2sin x y      ( 是参数). 5 分 ( 2 ) 设 ( 2 cos ,2sin )P   . 由 已 知 得 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 是 2 4x y  , 即 2 4 0x y   . 所 以 点 P 到 直 线 l 的 距 离 2 2 2 sin( ) 22 2 cos 2sin 4 4 ( 2) 1 3 d         . 当 sin( ) 14    即 2 ,4k k z    时. min 2(2 2) 4 3 2 6 33 d    .此时点 P 的坐标是 (1, 2) .所以 曲线 2C 上的一点 (1, 2)P 到直线l 的距离最小,最小值是 4 3 2 6 3  . 考点:1.极坐标知识.2.参数方程知识.3.几种方程间的互化.4.函数的最值问题. 11.(1) 2 2 1 :( 4) ( 3) 1C x y    , 2 2 2 : 164 9 x yC   ;(2) 8 5 5 . 【解析】 试题分析:(1)利用同角三角函数的基本关系,分别消去参数t 和 即可; (2)首先利用参数方程求出点 P 的坐标,把直线 3 3 2: 2 x tC y t       (t 为参数)化为直角坐 标下的一般方程,再利用点到直线的距离公式把点 M 到直线的距离表示成参数 的函数并求 出其最小值. 试题解析:(1)由 4 cos 3 sin x t y t       得 4 cos 3 sin x t y t      , 所以 2 2 1 :( 4) ( 3) 1C x y    , 由 8cos 3sin x y      得 cos8 sin3 x y       ,所以 2 2 2 : 164 9 x yC   4 分 (2)当 2t  时, ( 4,4), (8cos ,3sin )P Q   ,故 3( 2 4cos ,2 sin )2M     , 3C 为直线 2 7 0x y   , M 到 3C 的距离 5 | 4cos 3sin 13|5d     =  5 5cos 135    5 8 55 135 5    (其中, 4 3cos ,sin5 5    ) 从且仅当 4 3cos ,sin5 5     时, d 取得最小值 8 5 5 . 10 分 考点:1、参数方程的应用;2、点到直线的距离;3、三角函数的最值. 12 .( 1 ) 1C 的 极 坐 标 方 程 为 2 2 2 2cos sin 14      ; 2C 的 直 角 坐 标 方 程 为  22 1 1x y   ; (2) 2 2 1 1 5 4OA OB   . 【解析】 试题分析:(1)利用 2 2sin cos 1   进行消参得到 1C 的直角坐标方程,再利用 cos , sinx y     ,得到 1C 的极坐标方程,同时得到 2C 的直角坐标方程;(2)首先 确定 1 2,M M 的直角坐标,进而确定 PQ 与曲线 2C 的关系,进而判断出OA OB ,设点 ,A B 的参数方程分别为  1 2, , , 2A B        ,代入 1C 中化简整理得到 2 2 1 1 5 4OA OB   :. 试题解析:(1)曲线 1C 的普通方程为 2 2 14 x y  , 化成极坐标方程为 2 2 2 2cos sin 14      3 分 曲线 2C 的直角坐标方程为  22 1 1x y   5 分 (2)在直角坐标系下,  1 0,1M ,  2 2,0M , 线段 PQ 是圆  22 1 1x y   的一条直径  90POQ   由OP OQ 得OA OB ,A B 是椭圆 2 2 14 x y  上的两点, 在极坐标下,设  1 2, , , 2A B        分别代入 2 2 2 21 1 cos sin 14      中, 有 2 2 2 21 1 cos sin 14      和 2 2 2 2 2 2 cos 2 sin 14 2                2 2 2 1 1 cos sin ,4     2 2 2 2 1 sin cos4     则 2 2 1 2 1 1 5 4   即 2 2 1 1 5 4OA OB   . 10 分 考点:1.参数方程化为直角坐标;2.极坐标化为直角坐标方程. 13.(1)  2 21 1x y   ;(2) 1 2 . 【解析】 试题分析:(1)在极坐标方程 2cos  的两边同时乘以  ,然后由 2 2 2x y   , cos x   即可得到圆 C 的直角坐标方程;(2)将直线l 的标准参数方程代入圆的直角坐 标方程,消去 x 、 y 得到有关t 的参数方程,然后利用韦达定理求出 AP AQ 的值. (1)由 2cos  ,得 2 2 cos   2 2 2x y   , cos x   , 2 2 2x y x   即 2 21 1x y   , 即圆 C 的直角坐标方程为  2 21 1x y   ; (2)由点 A 的极坐标 2 ,2 4       得点 A 直角坐标为 1 1,2 2      , 将 1 3 2 2 1 1y 2 2 x t t       代入 2 21 1x y   消去 x 、 y ,整理得 2 3 1 1 02 2t t   , 设 1t 、 2t 为方程 2 3 1 1 02 2t t   的两个根,则 1 2 1 2t t   , 所以 1 2 1 2AP AQ t t   . 考点:1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化;2.韦达定理 14.解:(1)∵点 M 的直角坐标是 )3,0( ,直线 l 倾斜角是 135 , …………(1 分) ∴直线 l 参数方程是        135sin3 135cos ty tx ,即         ty tx 2 23 2 2 , ………(3 分) )4sin(22   即 2(sin cos )    , 两边同乘以  得 2 2( sin cos )      ,曲线 C 的直角坐标方程 曲线 C 的直角坐标方程为 02222  yxyx ;………………(5 分) (2)         ty tx 2 23 2 2 代入 02222  yxyx ,得 03232  tt ∵ 06  ,∴直线 l 的和曲线 C 相交于两点 A 、 B ,………(7 分) 设 03232  tt 的两个根是 21 tt 、 , 321 tt , ∴ |||| MBMA  3|| 21  tt . ………………(10 分) 【解析】略 15.(1)点 P 在直线l 上;(2) 2. 【解析】 试题分析:(1)因为 P 的极坐标为 (4, )2  将极坐标转化为普通方程中对应的点为 (0,4)P , 所以可知点 P 在直线l 上. (2)求点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.解法一是计算曲线C 的 参数方程中的点到直线的距离,再用最值得到结论.解法二是将曲线C 的参数方程转化为普 通方程,然后利用平行于l 的直线与曲线 C 相切,再计算两平行间的距离即可得到结论. 试题解析:(1)把极坐标系下的点 (4, )2P  化为直角坐标得 (0,4)P ,  (0,4)P 满足方程 4 0x y   ,点 P 在直线l 上. (2)解法一、因为点Q 是曲线C 上的点,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ,sin )  , 所以点Q 到直线l 的距离 | 2cos( ) 4 || 3 cos sin 4 | 6 ( ) 2 2 d R         所以当 cos( ) 16     时, d 取得最小值 2. 解法二、曲线 C 的普通方程为: 2 2 13 x y  , 平移直线l 到l 使之与曲线C 相切,设 : 0l x y m    , 由 2 2 0 13 x y m x y      得: 2 23( ) 3x x m   ,即: 2 24 6 3 3 0x mx m    由 2 2 236 48( 1) 48 12 0m m m       ,解得: 2m  , 曲线 C 上的点Q 到l 距离的最小值 | 4 2 | 2 2 d   . 考点:1.极坐标、参数方程的知识.2.直线与椭圆的位置关系.3.点与直线的位置关系. 16 .( 1 ) 3 3 2 0x y    ( 2 ) 2 2 min( 3 2 ) 1x xy y   ;       2 31,M 或        2 31,M 【解析】 试题分析:(1)由直线 L 的参数方程为 1 2 3 x t y t     ,消去参数 t 即可求得直线 L 的方程; 由 2  即可求得圆 C 的方程为 2 2 4x y  ; ( 2 ) 先 跟 据 伸 缩 变 换 得 到 曲 线 'C 的 方 程 , 然 后 设 点 M 为 2cos sin x y      带 入 2 23 2x xy y  ,再根据三角函数的性质即可求得结果. 试题解析:(1) 2  ,故圆C 的方程为 2 2 4x y  直线 L 的参数方程为 1 2 3 x t y t     ,直线 L 方程为 3 3 2 0x y    (2)由 ' ' 1 2 x x y y    和 2 2 4x y  得 'C 2 2 14 x y  设点 M 为 2cos sin x y      则 2 23 2 3 2cos(2 )3x xy y      所以当       2 31,M 或        2 31,M 时,原式的最小值为1 . 考点:极坐标方程;参数方程的应用. 17.(1)参考解析;(2) (1, 2)P , 4 3 2 6 3  【解析】 试题分析:(1)由曲线 1C : cos sin      x y ( 为参数),写出相应的直坐标方程,在转化为极 坐标方程.由 1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 和 2 倍后得到曲线 2C . 得到直角坐标方程,在转化为参数方程. (2)将直线l : ( 2 cos sin ) 4    ,化为直角坐标方程.点 P 在曲线 2C 上.用点 P 的 参数方程的形式带入,点到直线的距离公式,通过求三角函数的最值即可得到结论. (1)由已知得曲线 1C 的直角坐标方程是 2 2 1x y  ,所以曲线 1C 的极坐标方程是 1  , 因为曲线 1C 的直角坐标方程是 2 2 1x y  ,所以根据已知的伸缩变换得曲线 2C 的直角坐标 方程是 2 2 12 4 x y  ,所以曲线 2C 的参数方程是 2 cos 2sin x y      ( 是参数). 5 分 ( 2 ) 设 ( 2 cos ,2sin )P   . 由 已 知 得 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 是 2 4x y  , 即 2 4 0x y   . 所 以 点 P 到 直 线 l 的 距 离 2 2 2 sin( ) 22 2 cos 2sin 4 4 ( 2) 1 3 d         . 当 sin( ) 14    即 2 ,4k k z    时. min 2(2 2) 4 3 2 6 33 d    .此时点 P 的坐标是 (1, 2) .所以 曲线 2C 上的一点 (1, 2)P 到直线l 的距离最小,最小值是 4 3 2 6 3  . 考点:1.极坐标知识.2.参数方程知识.3.几种方程间的互化.4.函数的最值问题. 18.(1)  2 21 1x y   ;(2) 1 2 . 【解析】 试题分析:(1)在极坐标方程 2cos  的两边同时乘以  ,然后由 2 2 2x y   , cos x   即可得到圆 C 的直角坐标方程;(2)将直线l 的标准参数方程代入圆的直角坐 标方程,消去 x 、 y 得到有关t 的参数方程,然后利用韦达定理求出 AP AQ 的值. (1)由 2cos  ,得 2 2 cos   2 2 2x y   , cos x   , 2 2 2x y x   即 2 21 1x y   , 即圆 C 的直角坐标方程为  2 21 1x y   ; (2)由点 A 的极坐标 2 ,2 4       得点 A 直角坐标为 1 1,2 2      , 将 1 3 2 2 1 1y 2 2 x t t       代入 2 21 1x y   消去 x 、 y ,整理得 2 3 1 1 02 2t t   , 设 1t 、 2t 为方程 2 3 1 1 02 2t t   的两个根,则 1 2 1 2t t   , 所以 1 2 1 2AP AQ t t   . 考点:1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化;2.韦达定理 19.(1) 2 2 2 2 3 0x y x y    ;(2)[ 2,2] 【解析】(1)因为圆 C 的极坐标方程为 4sin( )6    所以 2 3 14 sin( ) 4 ( sin cos )6 2 2          又 2 2 2 , cos , sinx y x y        所以 2 2x y 2 3 2y x  所以圆C 的直角坐标方程为: 2 2x y 2 2 3 0x y   . 5 分 (2)『解法 1』: 设 3z x y  由圆 C 的方程 2 2x y 2 2 3 0x y    2 2( 1) ( 3) 4x y    所以圆C 的圆心是 ( 1, 3) ,半径是 2 将 31 2 13 2 x t y t        代入 3z x y  得 z t  8 分 又直线l 过 ( 1, 3)C  ,圆C 的半径是 2 ,由题意有: 2 2t   所以 2 2t    即 3 x y 的取值范围是[ 2,2] . 10 分 『解法 2』: 直线l 的参数方程化成普通方程为: 23  yx 6 分 由      4)3()1( 23 22 yx yx 解得 )13,31(1 P , )13,31(2 P 8 分 ∵ ( , )P x y 是直线 l 与圆面 4sin( )6    的公共点, ∴点 P 在线段 21PP 上, ∴ yx 3 的最大值是 2)13()31(3  , 最小值是 2)13()31(3  ∴ yx 3 的取值范围是 ]2,2[ . 10 分 20.(1) 2 2( , )2 2  ;(2) 6215 22  . 【解析】本试题主要考查了将及坐标方程化为直角坐标方程的运用,以及利用直线与圆的位 置关系,求解了圆的切线长的最小值问题。运用了转化与划归思想,也考查了同学们对于参 数方程的运用。 解:(1)  sin2cos2  ,  sin2cos22  , …………(2 分) 02222  yxyxC的直角坐标方程为圆 , …………(3 分) 即 1)2 2()2 2( 22  yx , )2 2,2 2( 圆心直角坐标为 .…………(5 分) (2)方法 1:直线l 上的点向圆 C 引切线长是 6224)4(4081)242 2 2 2()2 2 2 2( 2222  ttttt , …………(8 分) ∴直线l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 62 …………(10 分) 方法 2: 024  yxl的普通方程为直线 , 圆心 C 到 l直线 距离是 5 2 |242 2 2 2|   , …………(8 分 ∴直线l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 6215 22  …………………(10 分) 21.(1)点 P 的直角坐标 3, 3 ,曲线C 的直角坐标方程为  22 3 4x y   ;(2)点 M 到直线l 的最小距离为11 5 110  【解析】 试题分析:本题考查极坐标和直角坐标的互化,参数方程和普通方程的互化,考查学生的转 化能力和计算能力 第一问,利用极坐标与直角坐标的互化公式得出 P 点的直角坐标和曲线 C 的方程;第二问,先把曲线C 的直角坐标方程化为参数方程,得到 ,Q M 点坐标,根据点 到直线的距离公式列出表达式,根据三角函数的值域求距离的最小值 试题解析:(1) 点 P 的直角坐标 3, 3 由 2 2 3 sin 1    得 2 2 2 3 1x y y   ,即  22 3 4x y   所以曲线 C 的直角坐标方程为  22 3 4x y   4 分 ( 2 ) 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 2cos 3 2sin x y       (  为 参 数 ) 直 线 l 的 普 通 方 程 为 2 7 0x y   设  2cos , 3 2sinQ    ,则 3 cos ,sin2M      那么点 M 到直线l 的距离   2 2 3 11 11cos 2sin 7 cos 2sin 5 sin2 2 2 5 51 2 d                 115 11 52 1105      ,所以点 M 到直线l 的最小距离为 11 5 110  10 分 考点:1 极坐标与直角坐标的互化;2 参数方程与普通方程的互化;3 点到直线的距离公式 22.(Ⅰ)∠ABC= 3  (II) 3 1 1,4 2 2 t        故存在实数 1 1,2 2       ,使 ( )OA OP CM     【解析】解:(Ⅰ)由题意,得 (4,0), (1, 3)OA OC   ,因为四边形 OABC 是平行四边形, 所以, 1cos cos 2 OA OCABC AOC OA OC           ,于是,∠ABC= 3  ………6 分 (II)设 ( , 3)P t ,其中 1≤t≤5, 于是 ( , 3), (4 , 3), (1, 3)OP t OA OP t CM           ………9 分 若 ( )OA OP CM     ,则 ( ) 0OA OP CM      , 即 34 3 0 4 tt       ………12 分 又 1 ≤ t ≤ 5 , 所 以 3 1 1,4 2 2 t        故 存 在 实 数 1 1,2 2       , 使 ( )OA OP CM     ………14 分 23.(1) : 2C   , : (cos sin ) 2l     ;(2) 2(cos sin )    ( 0)  . 【解析】 试题分析:本题主要考查直角坐标系与极坐标之间的互化,考查学生的转化能力和计算能力. 第一问,利用直角坐标方程与极坐标方程的互化公式 cosx   , siny   进行转化; 第二问,先设出 , ,P Q R 的极坐标,代入到 2| OQ| | OP | | OR |  中,化简表达式,又可以由 已知得 2 和 1 的值,代入上式中,可得到  的关系式即点 Q 轨迹的极坐标方程. 试题解析:(Ⅰ)将 cosx   , siny   分别代入圆 C 和直线l 的直角坐标方程得其极 坐标方程为 : 2C   , : (cos sin ) 2l     . 4 分 (Ⅱ)设 , ,P Q R 的极坐标分别为 1( , )  , ( , )  , 2( , )  ,则 由 2| OQ| | OP | | OR |  得 2 1 2  . 6 分 又 2 2  , 1 2 cos sin     , 所以 2 4cos sin     , 故点 Q 轨迹的极坐标方程为 2(cos sin )    ( 0)  . 10 分 考点:1.直角坐标方程与极坐标方程的互化;2.点的轨迹问题. 24.(Ⅰ)  3   R  ;(Ⅱ) 15 . 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先消去参数 t 求得直线的普通方程,然后将极坐标与直角坐标的关系式 cos sin     x y    代入直线方程,根据特殊角的三角函数值即可求解;(Ⅱ)直线的极坐标方程 与曲线的极坐标方程联立方程组,消去一个未知数,求得 2 3 3 0    ,根据方程的根 与系数的关系以及两点间的距离公式求解. 试题解析:(Ⅰ)消去参数得直线l 的直角坐标方程为: 3y x . 2 分 由 cos sin     x y    代入得, sin 3 cos    , 解得  3   R  . (也可以是: 3   或  4 03    .) 5 分 (Ⅱ)由 2 2 2 2cos sin 2 sin 3 0 3             得, 2 3 3 0    , 设 1, 3 A     , 2 , 3 B     ,则  2 1 2 1 2 1 24 15     AB       . 10 分 考点:1.参数方程与普通方程的互化;2.两点间的距离公式;3.极坐标方程的简单应用;4. 特殊角的三角函数值 25.(1) ; ( 2 ) 与 存 在 两 个 交 点 , 由 , , 得 . 【解析】(1)对于曲线 :  sin cos 1    ,得 sin cos 1     ,故有 , 对于曲线 : 2cos sin x y      ,消去参数得 .(5 分) (2)显然曲线 : 为直线,则其参数方程可写为 (t 为参数),与曲 线 : 联 立 方 程 组 得 25 12 2 8 0t t   , 可 知 ,所以 与 存在两个交点, 由 , ,得 . (10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,涉及极坐标方程与平面直角 坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化,利用直线的参数方程的几何意义求解直线与 曲线交点的距离等内容.意在考查转化与化归能力、基本运算能力,方程思想与数形结合思 想. 26.(1) 2 2( 5) 5x y   。 (2) 1 2 1 2 3 2PA PB t t t t      。 【解析】 试题分析:(1)由 2 5 sin  得 2 2 2 5 0x y y   ,即 2 2( 5) 5x y   4 分 (2)将 l 的参数方程代入圆 c 的直角坐标方程,得 2 22 2(3 ) ( ) 52 2t t   2 3 2 4 0t t   ,由于 2(3 2) 4 4 2 0      ,可设 1 2t t 是上述方程的两个实根。 所以 1 2 1 2 3 2 4 t t t t     1 2 1 2 3 2 4 t t t t     ,又直线 l 过点 P(3 5 ),可得: 1 2 1 2 3 2PA PB t t t t      10 分 考点:极坐标方程、参数方程与普通方程的互化,参数方程的应用。 点评:中档题,极坐标方程化为普通方程,常用的公式有, cos , sinx y     , 2 2 2 ,tan yx y x     等。参数方程化为普通方程,常用的“消参”方法有,代入消参、 加减消参、平方关系消参等。利用参数方程,往往会将问题转化成三角函数问题,或利用韦 达定理,化难为易。 27.(1) 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    ;(2) 1 4 . 【解析】 试题分析:(1)由参数方程的概念可以写成 l 的参数方程为 1 cos2 6 1 sin 6 x t y t         ,化简为 1 3 2 2 11 2 x t y t       (t 为参数) ;在 2 cos( )4    两边同时乘以  ,且ρ2 =x2+y2, ρcosθ=x,ρsinθ=y,∴ 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    .(2)在 l 取一点,用参数形式表示 1 3 2 2 11 2 x t y t       ,再代入 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    ,得到 t2+ 1 2 t- 1 4 =0,|PA|·|PB|=|t1t2| = 1 4 .故点 P 到点 A、B 两点的距离之积为 1 4 . 试题解析:(1)直线 l 的参数方程为 1 cos2 6 1 sin 6 x t y t         ,即 1 3 2 2 11 2 x t y t       (t 为参数) 由 2 cos( )4    ,得ρ=cosθ+sinθ,所以ρ2=ρcosθ+ρsinθ, ∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y,∴ 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    . (2)把 1 3 2 2 11 2 x t y t       代入 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    . 得 t2+ 1 2 t- 1 4 =0,|PA|·|PB|=|t1t2|= 1 4 .故点 P 到点 A、B 两点的距离之积为 1 4 . 考点:1.参数方程的应用;2.极坐标方程与直角坐标方程的转化. 28.(1) 2 21 1 2 4x y      ;(2) min 7 1 2PQ  【解析】 试题分析:(1)把 2 2 2cos , x y     代入曲线 C2 是极坐标方程 cos  中,即可得到 曲线 C2 的直角坐标方程; (2)由已知可知 P(  sin2,cos2 ), )0,2 1(2C ,由两点间的距离公式求出 2PC 的表达 式,再根据二次函数的性质,求出 2PC 的最小值,然后可得 minPQ  2PC min- 1 2 . 试题解析: (1)  cos , 2 分 2 2x y x  2 21 1 2 4x y      . 4 分 (2)设 P(  sin2,cos2 ), )0,2 1(2C  2 2 2 2 2 2 12cos 2 sin2 14cos 2cos 2sin4 92cos 2cos 4 PC                     6 分 1cos 2   时, 2 min 7 2PC  , 8 分 min 7 1 2PQ  . 10 分 考点:1.极坐标方程和直角坐标方程的互化;2.曲线与曲线间的位置关系以及二次函数的性 质. 29.(1) 1416 22  yx , 1)1( 22  yx ;(2) 16 5 【解析】 试题分析:(1)由曲线 C1 点 M )3,2( 对应的参数 = 3  可得 a=4,b=2,所以 C1 的方程 为 1416 22  yx ;设出圆 C2 的方程,将点 D )4,2(  代入得圆 C2 的方程可得其方程为:ρ=2cos θ(或(x-1)2+y2=1);(2)曲线 C1 的极坐标方程为: 14 sin 16 cos 2222   ,将 A、 Β坐标代入极坐标方程可得 16 511 2 2 2 1   . 试题解析:(1)将 M )3,2( 及对应的参数  = 3  , 4   ;代入 cos sin x a y b      得        3sin3 3cos2   b a ,所以      2 4 b a ,所以 C1 的方程为 1416 22  yx , 设圆 C2 的半径 R,则圆 C2 的方程为:ρ=2Rcosθ(或(x-R)2+y2=R2),将点 D )4,2(  代入 得:∴R=1 ∴圆 C2 的方程为:ρ=2cosθ(或(x-1)2+y2=1) (2)曲线 C1 的极坐标方程为: 14 sin 16 cos 2222   , 将 A ( ρ 1 , θ ) , Β ( ρ 2 , θ + 2  ) 代 入 得 : 14 sin 16 cos 22 1 22 1   , 14 )2(sin 16 )2(cos 22 2 22 2      所以 16 5 4 1 16 1)4 cos 16 sin()4 sin 16 cos(11 2222 2 2 2 1    考点:极坐标方程及其应用 30.(1) 13 2 2  yx , 08  yx ;(2) 23 【解析】 试题分析:(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程,需要根据参数方程的结构特征, 选取恰当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法;(2)将 参数方程转化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若 yx, 有范围限 制,要标出 yx, 的取值范围;(3)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式  cosx 及  siny 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形,构造形如  cos ,  sin , 2 的形式,进行整体代换,其中方程的两边同乘以(或同除以)  及 方程的两边平方是常用的变形方法. 试题解析:(1)由曲线 1C :        sin cos3 y x 得        sin cos 3 y x 即:曲线 1C 的普通方程为: 13 2 2  yx 由曲线 2C : 24)4sin(   得: 24)cos(sin2 2   即:曲线 2C 的直角坐标方程为: 08  yx 5 分 (2) 由(1)知椭圆 1C 与直线 2C 无公共点, 椭圆上的点 )sin,cos3( P 到直线 08  yx 的距离为 2 8)3sin(2 2 8sincos3      d 所以当 1)3sin(   时, d 的最小值为 23 10 分 考点:1、参数方程与普通方程的互化;2、点到直线的距离公式. 31.①   01sincos22   ;②  32,22 【解析】 试题分析:(Ⅰ) 先建立圆的直角坐标方程,再化成极坐标方程,或直接建立极坐标方程 (Ⅱ)直线参数方程中参数的几何意义及应用于求弦长,再运用三角函数求范围 试题解析:(Ⅰ)【法一】∵      4,2 C 的直角坐标为  1,1 , ∴圆 C 的直角坐标方程为     311 22  yx 化为极坐标方程是   01sincos22   O x MC 【法二】设圆 C 上任意一点  ,M ,则 如图可得,    222 34cos222        化简得   01sincos22   4 分 (Ⅱ)将        sin2 cos2 ty tx 代入圆 C 的直角坐标方程     311 22  yx , 得    3sin1cos1 22   tt 即   01cossin22  tt 有   1,cossin2 2121  tttt  故      2sin224cossin44 2 21 2 2121  ttttttAB , ∵          2,024,0  , ∴ 3222  AB , 即弦长 AB 的取值范围是  32,22 10 分[来 考点:1 极坐标与直角坐标之间的互化;2 极坐标系下建立曲线方程;3 直线参数方程的应 用;4 三角函数求值域 32.(Ⅰ) 2 2( 4) 16x y   ;(Ⅱ) 4 2 3 . 【解析】 试题分析:(Ⅰ)化圆C 的直角坐标方程为 2 2( 2) 4x y   ,设 ( , )Q x y ,根据 ( , )2 2 x yM 代入上述方程化简即得. (Ⅱ)把 1 2 32 2 x t y t       代入 2 2( 4) 16x y   ,可得 2 (4 2 3) 4 0t t    令 ,A B 对应参数分别为 1 2,t t ,则 0)324(21  tt , 1 2 4 0t t   根据参数的几何意义即得. 试题解析:(Ⅰ)圆 C 的直角坐标方程为 2 2( 2) 4x y   ,设 ( , )Q x y ,则 ( , )2 2 x yM , ∴ 2 2( 2) ( ) 42 2 x y   ∴ 2 2( 4) 16x y   这就是所求的直角坐标方程. 3 分 (Ⅱ)把 1 2 32 2 x t y t       代入 2 2( 4) 16x y   ,即代入 2 2 8 0x y x   得 2 21 3 1( ) (2 ) 8( ) 02 2 2t t t      ,即 2 (4 2 3) 4 0t t    令 ,A B 对应参数分别为 1 2,t t ,则 0)324(21  tt , 1 2 4 0t t   所以 3242121  ttttPBPA . 7 分 考点:1.极坐标与参数方程;2.直线与圆的位置关系. 33.(1) 1 : 4 0C x y   ; 2 2 : 4C y x ;(2)证明详见解析;(3)证明详见解析. 【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 先 将 极 坐 标 方 程 cos( ) 2 24     转 化 为 cos cos sin sin 2 24 4       ,后由极坐标与普通方程转化的关系式 cos sin x y        得 出 1 : 4 0C x y   ; 由 24 4 x t y t     消 去 参 数 t 即 可 得 到 2 2 : 4C y x ;( 2 ) 联 立 方 程 2 4 4 0 y x x y       消去 x 得到 2 4 16 0y y   ,设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,根据根与系数的关系 得到 1 2 1 24, 16y y y y    ,进而得到 1 2 1 2( 4)( 4)x x y y   ,再检验 0OA OB   即可证 明 OA OB ;( 3 ) 联 立 方 程 2 4 y kx b y x     , 消 x 得 2 4 4 0ky y b   , 进 而 得 到 1 2 1 2 4 4, by y y yk k    ,由 1 2y y a  得出 2 2 16(1 )a k kb  ,进而确定 ,M D 的坐标, 最后计算 3 1 2 2 1 1 1 2 2 32PQD bk aS DM y y ak        可得结论. (1)由极坐标方程 cos( ) 2 24     可得 cos cos sin sin 2 24 4       而 cos sin x y        ,所以 2 2 2 22 2x y   即 1 : 4 0C x y   由 24 4 x t y t     消去参数 t 得到 2 2 : 4C y x (2)设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,联立方程并消元得: 2 4 16 0y y   1 2 1 24, 16y y y y    , 1 2 1 2 1 2 1 2( 4)( 4) 0OA OB x x y y y y y y         OA OB  (3) 2 4 y kx b y x     ,消 x 得 2 4 4 0ky y b   , 1 2 1 2 4 4, by y y yk k    由 1 2y y a  ( 0a  且 a 为常数),得 2 2 1 2 1 2( ) 4y y y y a   2 2 16(1 )a k kb   ,又可得 PQ 中点 M 的坐标为 1 2 1 2 2 2 2( , ) ( , )2 2 x x y y bk k k    所以点 2 1 2( , )D k k , 3 1 2 2 1 1 1 2 2 32PQD bk aS DM y y ak        ,面积是定值. 考点:1.极坐标;2.参数方程;3.直线与抛物线的位置关系;4.三角形的面积计算公式.
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