高考数学专题训练极坐标与参数方程解答题练习

高考数学专题训练极坐标与参数方程解答题练习

高考数学专题训练：极坐标与参数方程解答题练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 二、填空题（题型注释） 三、解答题（题型注释） 1．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 （ 为参数）， （ 为参数）． （1）化 的方程为普通方程； （2）若 上的点 P 对应的参数为 为 上的动点，求 中点 到直线 （ 为参数）距离的最小值． 2．在直角坐标系 xOy.圆 C1：x2＋y2＝4，圆 C2：(x－2)2＋y2＝4. (1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C1，C2 的极坐标方程， 并求出圆 C1，C2 的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程． 3．已知曲线 C 的极坐标方程是  sin2 ，直线 l 的参数方程是        ty tx 5 4 25 3 （t 为 参数）. （I）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与 x 轴的交点是 ,M N 为曲线C 上一动点，求 MN 的最大值. 4．在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 1 cos (sin x y       为参数）．以 O 为极点，x 轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆 C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线 l 的极坐标方程是 (sin 3 cos ) 3 3    ，射线 : 3OM   与圆 C 的 交点为 O,P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长． 5．在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 1C 的参数方程为        sin cos by ax （ 0 ba ， 为参数）， 在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2C 是圆心在极轴上，且经过 极点的圆．已知曲线 1C 上的点 )2 3,1(M 对应的参数 3   ，射线 3   与曲线 2C 交 于点 )3,1( D ． （I）求曲线 1C ， 2C 的方程； （II）若点 ),( 1 A ， )2,( 2  B 在曲线 1C 上，求 2 2 2 1 11   的值． 6．长为 3 的线段两端点 A，B 分别在 x 轴正半轴和 y 轴的正半轴上滑动， 2BP PA  ， 点 P 的轨迹为曲线 C. （1）以直线 AB 的倾斜角 为参数，求曲线 C 的参数方程； （2）求点 P 到点 (0, 2)D  距离的最大值. 7．平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程是 3 x t y t   （t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 2 2 2cos sin     2 sin 3 0    ． （1）求直线l 的极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于 A 、 B 两点，求| |AB ． 8．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重 合 ． 直 线 的 参 数 方 程 是 31 5 41 5 x t y t         （ 为 参 数 ）， 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2sin( )4    ． （Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线与曲线 C 相交于 M ， N 两点，求 M ， N 两点间的距离． 9．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 已知直线 l 经过点 P（ 1 2 ，1），倾斜角α＝ 6  ，圆 C 的极坐标方程为  ＝ 2 cos（θ － 4  ）． （Ⅰ）写出直线 l 的参数方程，并把圆 C 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求点 P 到 A，B 两点的距离之积． 10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 1C ： cos sin      x y （ 为参数），将 1C 上的所 有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 和 2 倍后得到曲线 2C ．以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知 直线l ： ( 2 cos sin ) 4    ． （1）试写出曲线 1C 的极坐标方程与曲线 2C 的参数方程； （2）在曲线 2C 上求一点 P ，使点 P 到直线l 的距离最小，并求此最小值． 11．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 （ 为参数）， （ 为参数）． （1）化 的方程为普通方程； （2）若 上的点 P 对应的参数为 为 上的动点，求 中点 到直线 （ 为参数）距离的最小值． 12．选修 4—4：极坐标与参数方程 已知曲线 1C 的参数方程是 2cos sin x y      （ 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程是 2sin  ． （1）写出 1C 的极坐标方程和 2C 的直角坐标方程； （2）已知点 1M 、 2M 的极坐标分别为 1, 2      和  2,0 ，直线 1 2M M 与曲线 2C 相交于 ,P Q 两点，射线 OP 与曲线 1C 相交于点 A ，射线 OQ 与曲线 1C 相交于点 B ，求 2 2 1 1 OA OB  的值． 13．已知圆C 的极坐标方程为 2cos  ，直线l 的参数方程为 1 3 2 2 1 1 2 2 x t x t       （t 为参数），点 A 的极坐标为 2 ,2 4       ，设直线l 与圆C 交于点 P 、Q . （1）写出圆C 的直角坐标方程； （2）求 AP AQ 的值. 14．在极坐标系中，点 M 坐标是 )2,3(  ，曲线C 的方程为 )4sin(22   ；以极点 为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是 1 的直线l 经过点 M ． （1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点 A、 B ，并求 |||| MBMA  的值． 15．在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的方程为 4 0x y   ，曲线 C 的参数方程为 x 3cos y sin       （ 为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴 正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为 (4, )2  ，判断点 P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 16．已知曲线 C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面 直角坐标系，直线 L 的参数方程为 1 2 3 x t y t     (t 为参数) （1）写出直线 L 的普通方程与 Q 曲线 C 的直角坐标方程； （2）设曲线 C 经过伸缩变换 ' ' 1 2 x x y y    得到曲线 C ' ，设 M(x,y)为 C ' 上任意一点，求 2 23 2x xy y  的最小值，并求相应的点 M 的坐标. 17．在平面直角系 xoy 中，已知曲线 1 cos: sin xC y      ( 为参数 ) ，将 1C 上的所有点的 横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 和 2 倍后得到曲线 2C .以平面直角坐标系 xoy 的 原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标，已知直线 : ( 2 cos sin ) 4l     . （1）试写出曲线 1C 的极坐标方程与曲线 2C 的参数方程； （2）在曲线 2C 上求一点 P，使点到直线l 的距离最小，并求此最小值. 18．已知圆C 的极坐标方程为 2cos  ，直线l 的参数方程为 1 3 2 2 1 1 2 2 x t x t       （t 为参数），点 A 的极坐标为 2 ,2 4       ，设直线l 与圆C 交于点 P 、Q . （1）写出圆C 的直角坐标方程； （2）求 AP AQ 的值. 19．已知直线l 的参数方程为 31 2 ( 13 2 x t t y t        为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 4sin( )6    ． （1）求圆C 的直角坐标方程； （2）若 ( , )P x y 是直线l 与圆面  ≤ 4sin( )6   的公共点，求 3 x y 的取值范围． 20．选修 4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程是 )( 242 2 2 2 是参数t ty tx         ，圆 C 的极坐标方程为 )4cos(2   ． （1）求圆心 C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值． 21．已知平面直角坐标系 xOy,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P 点的 极坐标为 (2 3, )6  ,曲线 C 的极坐标方程为 2 2 3 sin 1    (Ⅰ)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)若 为 C 上的动点,求 中点 到直线 (t 为参数)距离的最小值 22．（本小题满分14 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，已知四边形 OABC 是平行四边形， (4,0), (1, 3)A C ，点 M 是 OA 的中点，点 P 在线段 BC 上运动（包括端点），如图 （Ⅰ）求∠ABC 的大小； （II）是否存在实数λ，使 ( )OA OP CM     ？若存在，求出满足条件的实数λ的取 值范围；若不存在，请说明理由。 23．已知圆 2 2: 4C x y  ，直线 : 2l x y  ，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取 相同的单位长度建立极坐标系. （1）将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程； （2）P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上且满足 2| OQ| | OP | | OR |  ， 当点 P 在l 上移动时，求点 Q 轨迹的极坐标方程. 24．平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是 3 x t y t   （t 为参数），以坐标原点为极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 2 2 2cos sin 2 sin 3 0         ． (Ⅰ)求直线l 的极坐标方程； (Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于 ,A B 两点，求| |AB ． 25．（本题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 x y 中，以原点 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 1C 的极坐标方程为  sin cos 1    ，曲线 2C 的参数方程为 2cos sin x y      ． （1）求曲线 1C 的直角坐标方程与曲线 2C 的普通方程； （2）试判断曲线 1C 与 2C 是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存 在，说明理由． 26．坐标系与参数方程. 在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为 23 2 25 2 x t y t       （t 为参数）.在极坐标系 （与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中， 圆 C 的方程为 2 5 sin  . （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）设圆 C 与直线l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为 (3, 5) ，求|PA|+|PB|. 27 ． 已 知 直 线 l 经 过 点 1( ,1)2P ， 倾 斜 角 α ＝ 6  ， 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 cos( )4    . (1)写出直线 l 的参数方程，并把圆 C 的方程化为直角坐标方程； (2)设 l 与圆 C 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、B 两点的距离之积． 28．在直角坐标系中，曲线 C1 的参数方程为： 2cos 2 sin x y     （ 为参数），以原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线 C2 是极坐标方程为： cos  ， (1)求曲线 C2 的直角坐标方程； (2)若 P，Q 分别是曲线 C1 和 C2 上的任意一点，求 PQ 的最小值. 29．在平面直角坐标系中，曲线 C1 的参数方程为        sin cos by ax （a＞b＞0， 为参数）， 以Ο为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的 圆，已知曲线 C1 上的点 M )3,2( 对应的参数  = 3  ， 4   与曲线 C2 交于点 D )4,2(  （1）求曲线 C1，C2 的普通方程； （2）A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+ 2  ）是曲线 C1 上的两点，求 2 2 2 1 11   的值 30．（本小题满分 10 分）选修 4－4：极坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy中，曲线 1C 的参数方程为        sin cos3 y x ，（ 为参数），以原点O 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 2C 的 极 坐 标 方 程 为 24)4sin(   ． （1）求曲线 1C 的普通方程与曲线 2C 的直角坐标方程； （2）设 P 为曲线 1C 上的动点，求点 P 到 2C 上点的距离的最小值． 31．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 ( 2, )4C  ，半径 3r （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）若      4,0  ，直线l 的参数方程为        sin2 cos2 ty tx （t 为参数），直线l 交圆C 于 A B、 两点，求弦长 AB 的取值范围 32．在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为         ty tx 2 32 2 1 （t 为参数），若以原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为  cos4 ，设 M 是圆C 上任一点，连结OM 并延长到Q ，使 MQOM  ． （Ⅰ）求点Q 轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与点Q 轨迹相交于 BA, 两点，点 P 的直角坐标为(0,2) ，求 PBPA  的 值． 33．已知曲线 1C 的极坐标方程是 22)4cos(   ，以极点为平面直角坐标系的原 点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线 2C 的参数方程是： 24 4 x t y t     （t 是参数). （1）将曲线 1C 和曲线 2C 的方程转化为普通方程； （2）若曲线 1C 与曲线 2C 相交于 A B、 两点，求证OA OB ； （3）设直线 2y kx b C  与曲线 交于两点 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ，且 1 2y y a  （ 0a  且 a 为常数），过弦 PQ 的中点 M 作平行于 x 轴的直线交曲线 2C 于点 D ，求证： PQD 的面积是定值． 参考答案 1．（1） 2 2 1 :( 4) ( 3) 1C x y    ， 2 2 2 : 164 9 x yC   ；（2） 8 5 5 . 【解析】 试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系，分别消去参数t 和 即可； （2）首先利用参数方程求出点 P 的坐标，把直线 3 3 2: 2 x tC y t       （t 为参数）化为直角坐 标下的一般方程，再利用点到直线的距离公式把点 M 到直线的距离表示成参数 的函数并求 出其最小值. 试题解析：（1）由 4 cos 3 sin x t y t       得 4 cos 3 sin x t y t      ， 所以 2 2 1 :( 4) ( 3) 1C x y    ， 由 8cos 3sin x y      得 cos8 sin3 x y       ，所以 2 2 2 : 164 9 x yC   4 分 （2）当 2t  时， ( 4,4), (8cos ,3sin )P Q   ，故 3( 2 4cos ,2 sin )2M     ， 3C 为直线 2 7 0x y   ， M 到 3C 的距离 5 | 4cos 3sin 13|5d     =  5 5cos 135    5 8 55 135 5    （其中， 4 3cos ,sin5 5    ） 从且仅当 4 3cos ,sin5 5     时， d 取得最小值 8 5 5 ． 10 分 考点：1、参数方程的应用；2、点到直线的距离；3、三角函数的最值. 2．（1） 22, 3      ， 22, 3     （2） 1 tan x y     － 3  ≤θ≤ 3  . 【解析】解：(1)圆 C1 的极坐标方程为ρ＝2， 圆 C2 的极坐标方程为ρ＝4cosθ. 解 2 4cos       得ρ＝2，θ＝± 3  . 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 22, 3      ， 22, 3     . 注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)(解法一) 由 cos sin x y        得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1， 3 )，(1，－ 3 )． 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 1x y t    － 3 ≤t≤ 3 . (或参数方程写成 1x y y    － 3 ≤y≤ 3 ) (解法二) 在直角坐标系下求得弦 C1C2 的方程为 x＝1(－ 3 ≤y≤ 3 )．将 x＝1 代入 cos sin x y        ， 得ρcosθ＝1， 从而ρ＝ 1 cos . 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 1 tan x y     － 3  ≤θ≤ 3  . 3．（1） 2 2 2 0x y y   ；（2） 5 1 . 【解析】 试题分析：（1）根据 2 2 2 , cos , sinx y x y        可以将极坐标方程转化为坐标方 程，（2）将直线的参数方程转化成直角坐标方程，再根据平时熟悉的几何知识去做题. 试题解析：（1）  sin2 两边同时乘以  得 2 2 sin   ，则 2 2 2x y y  曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程为： 2 2 2 0x y y   （2）直线 l 的参数方程化为直角坐标方程得： 4 ( 2)3y x   令 0y  得 2x  ，即 (2,0)M ，又曲线 C 为圆，圆 C 的圆心坐标为 (0,1) ， 半径 1r  ，则 5MC  . 5 1MN MC r     . 考点：1.极坐标与直角坐标的转化，2.参数方程与直角坐标方程的转化. 4．（Ⅰ） 2cos  ；（Ⅱ）2. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）利用 cos , sinx y     代换可得；（Ⅱ）依题意分别求出 P 、Q 的极 坐标，利用 1 2  ，则 |||| 21  PQ 求解. 试题解析：(Ⅰ)圆C 的普通方程是 2 2( 1) 1x y   ，又 cos , sinx y     ， 所以圆C 的极坐标方程是 2cos  . (5 分) (Ⅱ)设 1 1( , )  为点 P 的极坐标，则有 1 1 1 2cos 3      解得 1 1 1 3     . 设 2 2( , )  为点Q 的极坐标，则有 2 2 2 2 (sin 3 cos ) 3 3 3         解得 2 2 3 3     由于 1 2  ，所以 1 2 2PQ     ，所以线段 PQ 的长为 2. (10 分) 考点：圆的参数方程，直线的极坐标方程. 5．（I）曲线 2C 的方程为  cos2 ,或 1)1( 22  yx . （II） 4 5)cos4 sin()sin4 cos(11 2 2 2 2 2 2 2 1    【解析】 试题分析：（I）将 )2 3,1(M 及对应的参数 3   ，代入        sin cos by ax ， 得        3sin2 3 3cos1   b a ，即      1 2 b a ， 所以曲线 1C 的方程为        sin cos2 y x （ 为参数），或 14 2 2  yx . 设圆 2C 的半径为 R ,由题意,圆 2C 的方程为  cos2R ,(或 222)( RyRx  ). 将点 )3,1( D 代入  cos2R , 得 3cos21 R ,即 1R . (或由 )3,1( D ,得 )2 3,2 1(D ,代入 222)( RyRx  ,得 1R ), 所以曲线 2C 的方程为  cos2 ,或 1)1( 22  yx . （II）因为点 ),( 1 A ， )2,( 2  B 在在曲线 1C 上, 所以 1sin4 cos 22 1 22 1   , 1cos4 sin 22 2 22 2   , 所以 4 5)cos4 sin()sin4 cos(11 2 2 2 2 2 2 2 1    考点：本题主要考查简单曲线的极坐标方程，直角坐标与极坐标的互化，参数方程与普通方 程的互化。 点评：中档题，此类问题往往不难，解的思路比较明确。（3）是恒等式证明问题，利用点在 曲线上，得到 1sin4 cos 22 1 22 1   , 1cos4 sin 22 2 22 2   ，从中解出 2 1 , 2 2 ， 利用三角函数“平方关系”，达到证明目的。 6．（1） 2cos sin x y       （α为参数，90＜α＜180）；（2） 2 21 3 . 【解析】 试题分析：本题主要考查参数方程、两点间距离公式、直角三角形中的正弦、余弦值的计算、 平方关系、配方法、三角函数的有界性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、 数形结合的能力、计算能力.第一问，设出点 P 的坐标，在三角形 AOB 中，利用正弦公式、 余弦公式计算 x，y 的值，得到曲线 C 的参数方程，注意角 的取值范围；第二问，利用第 一问求出的点 P 坐标的 x，y 值，用两点间距离公式得到表达式，利用平方关系、配方法、 三角函数的有界性求表达式的最值. 试题解析：（1）设 P (x，y)，由题设可知， 则 x＝ 2 3 |AB|cos(－α)＝－2cos α，y＝ 1 3 |AB|sin(－α)＝sin α， 所以曲线 C 的参数方程为 2cos sin x y       （α为参数，90＜α＜180）． 5 分 （2）由（1）得 |PD|2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2＝4cos2α＋sin2α＋4sin α＋4 ＝－3sin2α＋4sin α＋8＝ 22 283(sin )3 3    ． 当 2sin 3   时，|PD|取最大值 2 21 3 ． 10 分 考点：参数方程、两点间距离公式、直角三角形中的正弦、配方法、三角函数的有界性. 7．（1） 3   （2） 15 【解析】. 试题分析：解：（Ⅰ）消去参数得直线 l 的直角坐标方程： xy 3 由 cos sin x y        代入得 sin 3 cos    ( )3 R    . （ 也可以是： 3   或 4 ( 0)3    ） （Ⅱ） 2 2 2 2cos sin 2 sin 3 0 3              得 2 3 3 0    设 1( , )3A  ， 2( , )3B  ，则 154)(|||| 21 2 2121  AB （若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分） 考点：直线与圆的极坐标方程 点评：主要是考查了极坐标方程的运用，属于基础题。 8．（Ⅰ） 2 2 0x y x y    （Ⅱ） MN 1 2t t  2 1 2 1 2( ) 4t t t t   41 5  ． 【解析】（Ⅰ）利用极坐标的定义转化方程即可；（Ⅱ）联立直线方程，利用韦达定理和弦长 公式即可求出弦长 （Ⅰ）由 2sin( )4    得， sin cos    ，两边同乘  得， 2 cos sin 0       ，再由 2 2 2x y   ， cos x   ， sin y   ，得 曲线 C 的直角坐标方程是 2 2 0x y x y    ；----5 分 （Ⅱ）将直线参数方程代入圆C 方程得， 25 21 20 0t t   ， 1 2 21 5t t  ， 1 2 4t t  ， MN 1 2t t  2 1 2 1 2( ) 4t t t t   41 5  9 ．（ Ⅰ ） 直 线 l 的 参 数 方 程 1 3 2 2 11 2 x t y t       （ t 为 参 数 ） , 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    ; （Ⅱ） .4 1 【解析】 试 题 分 析 ：（ Ⅰ ） 利 用 { 0 0 sin   txosxx tyy   可 求 出 直 线 l 的 参 数 方 程 ， 可 利 用 ,222  yx  sin,cos  yx 将极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的 参数方程代入圆的方程，整理可得 2 1 1 02 4t t   ，由参数的几何意义 21 ttPBPA  ， 可得 1 2 1 4PA PB t t    . 试题解析：（Ⅰ）直线 l 的参数方程为 1 cos2 6 1 sin 6 x t y t         ，即 1 3 2 2 11 2 x t y t       （t 为参数） 2 分 由 2 cos( )4    ，得 cos sin    ， 所以 2 cos sin      , 4 分 得 2 2x y x y   ，即 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    ． 5 分 （Ⅱ）把 1 3 2 2 11 2 x t y t       代入 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    ，得 2 1 1 02 4t t   ， 8 分 ∴ 1 2 1 4PA PB t t    ． 10 分 考点：1、直线的参数方程；2、极坐标方程化为直角坐标方程；3、参数的几何意义. 10．（1）参考解析；（2） (1, 2)P ， 4 3 2 6 3  【解析】 试题分析：（1）由曲线 1C ： cos sin      x y （ 为参数），写出相应的直坐标方程，在转化为极 坐标方程.由 1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 和 2 倍后得到曲线 2C . 得到直角坐标方程，在转化为参数方程. （2）将直线l ： ( 2 cos sin ) 4    ，化为直角坐标方程. 点 P 在曲线 2C 上.用点 P 的 参数方程的形式带入，点到直线的距离公式，通过求三角函数的最值即可得到结论. （1）由已知得曲线 1C 的直角坐标方程是 2 2 1x y  ，所以曲线 1C 的极坐标方程是 1  ， 因为曲线 1C 的直角坐标方程是 2 2 1x y  ，所以根据已知的伸缩变换得曲线 2C 的直角坐标 方程是 2 2 12 4 x y  ，所以曲线 2C 的参数方程是 2 cos 2sin x y      （ 是参数）． 5 分 （ 2 ） 设 ( 2 cos ,2sin )P   . 由 已 知 得 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 是 2 4x y  ， 即 2 4 0x y   . 所 以 点 P 到 直 线 l 的 距 离 2 2 2 sin( ) 22 2 cos 2sin 4 4 ( 2) 1 3 d         . 当 sin( ) 14    即 2 ,4k k z    时. min 2(2 2) 4 3 2 6 33 d    .此时点 P 的坐标是 (1, 2) .所以 曲线 2C 上的一点 (1, 2)P 到直线l 的距离最小，最小值是 4 3 2 6 3  . 考点：1.极坐标知识.2.参数方程知识.3.几种方程间的互化.4.函数的最值问题. 11．（1） 2 2 1 :( 4) ( 3) 1C x y    ， 2 2 2 : 164 9 x yC   ；（2） 8 5 5 . 【解析】 试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系，分别消去参数t 和 即可； （2）首先利用参数方程求出点 P 的坐标，把直线 3 3 2: 2 x tC y t       （t 为参数）化为直角坐 标下的一般方程，再利用点到直线的距离公式把点 M 到直线的距离表示成参数 的函数并求 出其最小值. 试题解析：（1）由 4 cos 3 sin x t y t       得 4 cos 3 sin x t y t      ， 所以 2 2 1 :( 4) ( 3) 1C x y    ， 由 8cos 3sin x y      得 cos8 sin3 x y       ，所以 2 2 2 : 164 9 x yC   4 分 （2）当 2t  时， ( 4,4), (8cos ,3sin )P Q   ，故 3( 2 4cos ,2 sin )2M     ， 3C 为直线 2 7 0x y   ， M 到 3C 的距离 5 | 4cos 3sin 13|5d     =  5 5cos 135    5 8 55 135 5    （其中， 4 3cos ,sin5 5    ） 从且仅当 4 3cos ,sin5 5     时， d 取得最小值 8 5 5 ． 10 分 考点：1、参数方程的应用；2、点到直线的距离；3、三角函数的最值. 12 ．（ 1 ） 1C 的 极 坐 标 方 程 为 2 2 2 2cos sin 14      ； 2C 的 直 角 坐 标 方 程 为  22 1 1x y   ； （2） 2 2 1 1 5 4OA OB   ． 【解析】 试题分析：（1）利用 2 2sin cos 1   进行消参得到 1C 的直角坐标方程，再利用 cos , sinx y     ，得到 1C 的极坐标方程，同时得到 2C 的直角坐标方程；（2）首先 确定 1 2,M M 的直角坐标，进而确定 PQ 与曲线 2C 的关系，进而判断出OA OB ，设点 ,A B 的参数方程分别为  1 2, , , 2A B        ，代入 1C 中化简整理得到 2 2 1 1 5 4OA OB   ：． 试题解析：（1）曲线 1C 的普通方程为 2 2 14 x y  ， 化成极坐标方程为 2 2 2 2cos sin 14      3 分 曲线 2C 的直角坐标方程为  22 1 1x y   5 分 （2）在直角坐标系下，  1 0,1M ，  2 2,0M ， 线段 PQ 是圆  22 1 1x y   的一条直径  90POQ   由OP OQ 得OA OB ,A B 是椭圆 2 2 14 x y  上的两点， 在极坐标下，设  1 2, , , 2A B        分别代入 2 2 2 21 1 cos sin 14      中， 有 2 2 2 21 1 cos sin 14      和 2 2 2 2 2 2 cos 2 sin 14 2                2 2 2 1 1 cos sin ,4     2 2 2 2 1 sin cos4     则 2 2 1 2 1 1 5 4   即 2 2 1 1 5 4OA OB   ． 10 分 考点：1．参数方程化为直角坐标；2．极坐标化为直角坐标方程． 13．（1）  2 21 1x y   ；（2） 1 2 . 【解析】 试题分析：（1）在极坐标方程 2cos  的两边同时乘以  ，然后由 2 2 2x y   ， cos x   即可得到圆 C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的标准参数方程代入圆的直角坐 标方程，消去 x 、 y 得到有关t 的参数方程，然后利用韦达定理求出 AP AQ 的值. （1）由 2cos  ，得 2 2 cos   2 2 2x y   ， cos x   ， 2 2 2x y x   即 2 21 1x y   ， 即圆 C 的直角坐标方程为  2 21 1x y   ； （2）由点 A 的极坐标 2 ,2 4       得点 A 直角坐标为 1 1,2 2      ， 将 1 3 2 2 1 1y 2 2 x t t       代入 2 21 1x y   消去 x 、 y ，整理得 2 3 1 1 02 2t t   ， 设 1t 、 2t 为方程 2 3 1 1 02 2t t   的两个根，则 1 2 1 2t t   ， 所以 1 2 1 2AP AQ t t   . 考点：1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理 14．解：（1）∵点 M 的直角坐标是 )3,0( ，直线 l 倾斜角是 135 ， …………（1 分） ∴直线 l 参数方程是        135sin3 135cos ty tx ，即         ty tx 2 23 2 2 ， ………（3 分） )4sin(22   即 2(sin cos )    ， 两边同乘以  得 2 2( sin cos )      ，曲线 C 的直角坐标方程 曲线 C 的直角坐标方程为 02222  yxyx ；………………（5 分） （2）         ty tx 2 23 2 2 代入 02222  yxyx ，得 03232  tt ∵ 06  ，∴直线 l 的和曲线 C 相交于两点 A 、 B ，………（7 分） 设 03232  tt 的两个根是 21 tt 、 ， 321 tt ， ∴ |||| MBMA  3|| 21  tt ． ………………（10 分） 【解析】略 15．（1）点 P 在直线l 上；（2） 2. 【解析】 试题分析：（1）因为 P 的极坐标为 (4, )2  将极坐标转化为普通方程中对应的点为 (0,4)P ， 所以可知点 P 在直线l 上. （2）求点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.解法一是计算曲线C 的 参数方程中的点到直线的距离，再用最值得到结论.解法二是将曲线C 的参数方程转化为普 通方程，然后利用平行于l 的直线与曲线 C 相切，再计算两平行间的距离即可得到结论. 试题解析：（1）把极坐标系下的点 (4, )2P  化为直角坐标得 (0,4)P ，  (0,4)P 满足方程 4 0x y   ，点 P 在直线l 上. （2）解法一、因为点Q 是曲线C 上的点，故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ,sin )  ， 所以点Q 到直线l 的距离 | 2cos( ) 4 || 3 cos sin 4 | 6 ( ) 2 2 d R         所以当 cos( ) 16     时， d 取得最小值 2. 解法二、曲线 C 的普通方程为： 2 2 13 x y  ， 平移直线l 到l 使之与曲线C 相切，设 : 0l x y m    ， 由 2 2 0 13 x y m x y      得： 2 23( ) 3x x m   ，即： 2 24 6 3 3 0x mx m    由 2 2 236 48( 1) 48 12 0m m m       ，解得： 2m  ， 曲线 C 上的点Q 到l 距离的最小值 | 4 2 | 2 2 d   . 考点：1.极坐标、参数方程的知识.2.直线与椭圆的位置关系.3.点与直线的位置关系. 16 ．（ 1 ） 3 3 2 0x y    （ 2 ） 2 2 min( 3 2 ) 1x xy y   ；       2 31，M 或        2 31，M 【解析】 试题分析：（1）由直线 L 的参数方程为 1 2 3 x t y t     ，消去参数 t 即可求得直线 L 的方程； 由 2  即可求得圆 C 的方程为 2 2 4x y  ； （ 2 ） 先 跟 据 伸 缩 变 换 得 到 曲 线 'C 的 方 程 ， 然 后 设 点 M 为 2cos sin x y      带 入 2 23 2x xy y  ，再根据三角函数的性质即可求得结果. 试题解析：（1） 2  ，故圆C 的方程为 2 2 4x y  直线 L 的参数方程为 1 2 3 x t y t     ，直线 L 方程为 3 3 2 0x y    （2）由 ' ' 1 2 x x y y    和 2 2 4x y  得 'C 2 2 14 x y  设点 M 为 2cos sin x y      则 2 23 2 3 2cos(2 )3x xy y      所以当       2 31，M 或        2 31，M 时，原式的最小值为1 . 考点：极坐标方程；参数方程的应用. 17．（1）参考解析；（2） (1, 2)P ， 4 3 2 6 3  【解析】 试题分析：（1）由曲线 1C ： cos sin      x y （ 为参数），写出相应的直坐标方程，在转化为极 坐标方程.由 1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 和 2 倍后得到曲线 2C . 得到直角坐标方程，在转化为参数方程. （2）将直线l ： ( 2 cos sin ) 4    ，化为直角坐标方程．点 P 在曲线 2C 上.用点 P 的 参数方程的形式带入，点到直线的距离公式，通过求三角函数的最值即可得到结论. （1）由已知得曲线 1C 的直角坐标方程是 2 2 1x y  ，所以曲线 1C 的极坐标方程是 1  ， 因为曲线 1C 的直角坐标方程是 2 2 1x y  ，所以根据已知的伸缩变换得曲线 2C 的直角坐标 方程是 2 2 12 4 x y  ，所以曲线 2C 的参数方程是 2 cos 2sin x y      （ 是参数）． 5 分 （ 2 ） 设 ( 2 cos ,2sin )P   . 由 已 知 得 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 是 2 4x y  ， 即 2 4 0x y   . 所 以 点 P 到 直 线 l 的 距 离 2 2 2 sin( ) 22 2 cos 2sin 4 4 ( 2) 1 3 d         . 当 sin( ) 14    即 2 ,4k k z    时． min 2(2 2) 4 3 2 6 33 d    .此时点 P 的坐标是 (1, 2) .所以 曲线 2C 上的一点 (1, 2)P 到直线l 的距离最小，最小值是 4 3 2 6 3  . 考点：1.极坐标知识.2.参数方程知识.3.几种方程间的互化.4.函数的最值问题. 18．（1）  2 21 1x y   ；（2） 1 2 . 【解析】 试题分析：（1）在极坐标方程 2cos  的两边同时乘以  ，然后由 2 2 2x y   ， cos x   即可得到圆 C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的标准参数方程代入圆的直角坐 标方程，消去 x 、 y 得到有关t 的参数方程，然后利用韦达定理求出 AP AQ 的值. （1）由 2cos  ，得 2 2 cos   2 2 2x y   ， cos x   ， 2 2 2x y x   即 2 21 1x y   ， 即圆 C 的直角坐标方程为  2 21 1x y   ； （2）由点 A 的极坐标 2 ,2 4       得点 A 直角坐标为 1 1,2 2      ， 将 1 3 2 2 1 1y 2 2 x t t       代入 2 21 1x y   消去 x 、 y ，整理得 2 3 1 1 02 2t t   ， 设 1t 、 2t 为方程 2 3 1 1 02 2t t   的两个根，则 1 2 1 2t t   ， 所以 1 2 1 2AP AQ t t   . 考点：1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理 19．（1） 2 2 2 2 3 0x y x y    ；（2）[ 2,2] 【解析】（1）因为圆 C 的极坐标方程为 4sin( )6    所以 2 3 14 sin( ) 4 ( sin cos )6 2 2          又 2 2 2 , cos , sinx y x y        所以 2 2x y 2 3 2y x  所以圆C 的直角坐标方程为： 2 2x y 2 2 3 0x y   . 5 分 （2）『解法 1』： 设 3z x y  由圆 C 的方程 2 2x y 2 2 3 0x y    2 2( 1) ( 3) 4x y    所以圆C 的圆心是 ( 1, 3) ，半径是 2 将 31 2 13 2 x t y t        代入 3z x y  得 z t  8 分 又直线l 过 ( 1, 3)C  ，圆C 的半径是 2 ，由题意有： 2 2t   所以 2 2t    即 3 x y 的取值范围是[ 2,2] . 10 分 『解法 2』： 直线l 的参数方程化成普通方程为： 23  yx 6 分 由      4)3()1( 23 22 yx yx 解得 )13,31(1 P ， )13,31(2 P 8 分 ∵ ( , )P x y 是直线 l 与圆面 4sin( )6    的公共点， ∴点 P 在线段 21PP 上， ∴ yx 3 的最大值是 2)13()31(3  ， 最小值是 2)13()31(3  ∴ yx 3 的取值范围是 ]2,2[ . 10 分 20．（1） 2 2( , )2 2  ；（2） 6215 22  . 【解析】本试题主要考查了将及坐标方程化为直角坐标方程的运用，以及利用直线与圆的位 置关系，求解了圆的切线长的最小值问题。运用了转化与划归思想，也考查了同学们对于参 数方程的运用。 解：（1）  sin2cos2  ，  sin2cos22  ， …………（2 分） 02222  yxyxC的直角坐标方程为圆 ， …………（3 分） 即 1)2 2()2 2( 22  yx ， )2 2,2 2( 圆心直角坐标为 ．…………（5 分） （2）方法 1：直线l 上的点向圆 C 引切线长是 6224)4(4081)242 2 2 2()2 2 2 2( 2222  ttttt ， …………（8 分） ∴直线l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 62 …………（10 分） 方法 2： 024  yxl的普通方程为直线 ， 圆心 C 到 l直线 距离是 5 2 |242 2 2 2|   ， …………（8 分 ∴直线l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 6215 22  …………………(10 分) 21．（1）点 P 的直角坐标 3, 3 ，曲线C 的直角坐标方程为  22 3 4x y   ；（2）点 M 到直线l 的最小距离为11 5 110  【解析】 试题分析：本题考查极坐标和直角坐标的互化，参数方程和普通方程的互化，考查学生的转 化能力和计算能力 第一问，利用极坐标与直角坐标的互化公式得出 P 点的直角坐标和曲线 C 的方程；第二问，先把曲线C 的直角坐标方程化为参数方程，得到 ,Q M 点坐标，根据点 到直线的距离公式列出表达式，根据三角函数的值域求距离的最小值 试题解析：（1） 点 P 的直角坐标 3, 3 由 2 2 3 sin 1    得 2 2 2 3 1x y y   ,即  22 3 4x y   所以曲线 C 的直角坐标方程为  22 3 4x y   4 分 （ 2 ） 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 2cos 3 2sin x y       （  为 参 数 ） 直 线 l 的 普 通 方 程 为 2 7 0x y   设  2cos , 3 2sinQ    ,则 3 cos ,sin2M      那么点 M 到直线l 的距离   2 2 3 11 11cos 2sin 7 cos 2sin 5 sin2 2 2 5 51 2 d                 115 11 52 1105      ,所以点 M 到直线l 的最小距离为 11 5 110  10 分 考点：1 极坐标与直角坐标的互化；2 参数方程与普通方程的互化；3 点到直线的距离公式 22．（Ⅰ）∠ABC= 3  （II） 3 1 1,4 2 2 t        故存在实数 1 1,2 2       ，使 ( )OA OP CM     【解析】解：（Ⅰ）由题意，得 (4,0), (1, 3)OA OC   ，因为四边形 OABC 是平行四边形， 所以， 1cos cos 2 OA OCABC AOC OA OC           ，于是，∠ABC= 3  ………6 分 （II）设 ( , 3)P t ，其中 1≤t≤5， 于是 ( , 3), (4 , 3), (1, 3)OP t OA OP t CM           ………9 分 若 ( )OA OP CM     ，则 ( ) 0OA OP CM      ， 即 34 3 0 4 tt       ………12 分 又 1 ≤ t ≤ 5 ， 所 以 3 1 1,4 2 2 t        故 存 在 实 数 1 1,2 2       ， 使 ( )OA OP CM     ………14 分 23．（1） : 2C   ， : (cos sin ) 2l     ；（2） 2(cos sin )    ( 0)  ． 【解析】 试题分析：本题主要考查直角坐标系与极坐标之间的互化，考查学生的转化能力和计算能力. 第一问，利用直角坐标方程与极坐标方程的互化公式 cosx   ， siny   进行转化； 第二问，先设出 , ,P Q R 的极坐标，代入到 2| OQ| | OP | | OR |  中，化简表达式，又可以由 已知得 2 和 1 的值，代入上式中，可得到  的关系式即点 Q 轨迹的极坐标方程. 试题解析：（Ⅰ）将 cosx   ， siny   分别代入圆 C 和直线l 的直角坐标方程得其极 坐标方程为 : 2C   ， : (cos sin ) 2l     ． 4 分 （Ⅱ）设 , ,P Q R 的极坐标分别为 1( , )  ， ( , )  ， 2( , )  ，则 由 2| OQ| | OP | | OR |  得 2 1 2  ． 6 分 又 2 2  ， 1 2 cos sin     ， 所以 2 4cos sin     ， 故点 Q 轨迹的极坐标方程为 2(cos sin )    ( 0)  ． 10 分 考点：1.直角坐标方程与极坐标方程的互化；2.点的轨迹问题. 24．(Ⅰ)  3   R  ；(Ⅱ) 15 . 【解析】 试题分析：(Ⅰ)先消去参数 t 求得直线的普通方程，然后将极坐标与直角坐标的关系式 cos sin     x y    代入直线方程，根据特殊角的三角函数值即可求解；(Ⅱ)直线的极坐标方程 与曲线的极坐标方程联立方程组，消去一个未知数，求得 2 3 3 0    ，根据方程的根 与系数的关系以及两点间的距离公式求解. 试题解析：(Ⅰ)消去参数得直线l 的直角坐标方程为： 3y x . 2 分 由 cos sin     x y    代入得， sin 3 cos    ， 解得  3   R  . (也可以是： 3   或  4 03    .) 5 分 (Ⅱ)由 2 2 2 2cos sin 2 sin 3 0 3             得， 2 3 3 0    ， 设 1, 3 A     ， 2 , 3 B     ，则  2 1 2 1 2 1 24 15     AB       . 10 分 考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.两点间的距离公式；3.极坐标方程的简单应用；4. 特殊角的三角函数值 25．（1） ； （ 2 ） 与 存 在 两 个 交 点 ， 由 ， ， 得 ． 【解析】（1）对于曲线 ：  sin cos 1    ，得 sin cos 1     ，故有 ， 对于曲线 ： 2cos sin x y      ，消去参数得 ．（5 分） （2）显然曲线 ： 为直线，则其参数方程可写为 （t 为参数），与曲 线 ： 联 立 方 程 组 得 25 12 2 8 0t t   ， 可 知 ，所以 与 存在两个交点， 由 ， ，得 ． （10 分） 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，涉及极坐标方程与平面直角 坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，利用直线的参数方程的几何意义求解直线与 曲线交点的距离等内容．意在考查转化与化归能力、基本运算能力，方程思想与数形结合思 想． 26．（1） 2 2( 5) 5x y   。 （2） 1 2 1 2 3 2PA PB t t t t      。 【解析】 试题分析：（1）由 2 5 sin  得 2 2 2 5 0x y y   ，即 2 2( 5) 5x y   4 分 （2）将 l 的参数方程代入圆 c 的直角坐标方程，得 2 22 2(3 ) ( ) 52 2t t   2 3 2 4 0t t   ，由于 2(3 2) 4 4 2 0      ，可设 1 2t t 是上述方程的两个实根。 所以 1 2 1 2 3 2 4 t t t t     1 2 1 2 3 2 4 t t t t     ，又直线 l 过点 P（3 5 ），可得： 1 2 1 2 3 2PA PB t t t t      10 分 考点：极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，参数方程的应用。 点评：中档题，极坐标方程化为普通方程，常用的公式有， cos , sinx y     ， 2 2 2 ,tan yx y x     等。参数方程化为普通方程，常用的“消参”方法有，代入消参、 加减消参、平方关系消参等。利用参数方程，往往会将问题转化成三角函数问题，或利用韦 达定理，化难为易。 27．（1） 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    ；（2） 1 4 . 【解析】 试题分析：（1）由参数方程的概念可以写成 l 的参数方程为 1 cos2 6 1 sin 6 x t y t         ，化简为 1 3 2 2 11 2 x t y t       (t 为参数) ；在 2 cos( )4    两边同时乘以  ，且ρ2 ＝x2＋y2， ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴ 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    .（2）在 l 取一点，用参数形式表示 1 3 2 2 11 2 x t y t       ，再代入 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    ，得到 t2＋ 1 2 t－ 1 4 ＝0，|PA|·|PB|＝|t1t2| ＝ 1 4 .故点 P 到点 A、B 两点的距离之积为 1 4 . 试题解析：(1)直线 l 的参数方程为 1 cos2 6 1 sin 6 x t y t         ,即 1 3 2 2 11 2 x t y t       (t 为参数) 由 2 cos( )4    ,得ρ＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ， ∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴ 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    . (2)把 1 3 2 2 11 2 x t y t       代入 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y    . 得 t2＋ 1 2 t－ 1 4 ＝0，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝ 1 4 .故点 P 到点 A、B 两点的距离之积为 1 4 . 考点：1.参数方程的应用；2.极坐标方程与直角坐标方程的转化. 28．(1) 2 21 1 2 4x y      ;(2) min 7 1 2PQ  【解析】 试题分析：(1)把 2 2 2cos , x y     代入曲线 C2 是极坐标方程 cos  中，即可得到 曲线 C2 的直角坐标方程； (2)由已知可知 P（  sin2,cos2 ）, )0,2 1(2C ，由两点间的距离公式求出 2PC 的表达 式，再根据二次函数的性质，求出 2PC 的最小值，然后可得 minPQ  2PC min－ 1 2 . 试题解析： (1)  cos ， 2 分 2 2x y x  2 21 1 2 4x y      . 4 分 (2)设 P（  sin2,cos2 ）, )0,2 1(2C  2 2 2 2 2 2 12cos 2 sin2 14cos 2cos 2sin4 92cos 2cos 4 PC                     6 分 1cos 2   时， 2 min 7 2PC  ， 8 分 min 7 1 2PQ  . 10 分 考点：1.极坐标方程和直角坐标方程的互化；2.曲线与曲线间的位置关系以及二次函数的性 质. 29．（1） 1416 22  yx ， 1)1( 22  yx ；（2） 16 5 【解析】 试题分析：（1）由曲线 C1 点 M )3,2( 对应的参数 = 3  可得 a=4，b=2，所以 C1 的方程 为 1416 22  yx ；设出圆 C2 的方程，将点 D )4,2(  代入得圆 C2 的方程可得其方程为：ρ=2cos θ（或（x-1）2+y2=1）；（2）曲线 C1 的极坐标方程为： 14 sin 16 cos 2222   ，将 A、 Β坐标代入极坐标方程可得 16 511 2 2 2 1   . 试题解析：（1）将 M )3,2( 及对应的参数  = 3  ， 4   ；代入 cos sin x a y b      得        3sin3 3cos2   b a ，所以      2 4 b a ，所以 C1 的方程为 1416 22  yx ， 设圆 C2 的半径 R，则圆 C2 的方程为：ρ=2Rcosθ（或（x-R）2+y2=R2），将点 D )4,2(  代入 得：∴R=1 ∴圆 C2 的方程为：ρ=2cosθ（或（x-1）2+y2=1） （2）曲线 C1 的极坐标方程为： 14 sin 16 cos 2222   ， 将 A （ ρ 1 ， θ ） ， Β （ ρ 2 ， θ + 2  ） 代 入 得 ： 14 sin 16 cos 22 1 22 1   ， 14 )2(sin 16 )2(cos 22 2 22 2      所以 16 5 4 1 16 1)4 cos 16 sin()4 sin 16 cos(11 2222 2 2 2 1    考点：极坐标方程及其应用 30．（1） 13 2 2  yx ， 08  yx ；（2） 23 【解析】 试题分析：（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征， 选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将 参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若 yx, 有范围限 制，要标出 yx, 的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式  cosx 及  siny 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如  cos ，  sin ， 2 的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）  及 方程的两边平方是常用的变形方法. 试题解析：（1）由曲线 1C ：        sin cos3 y x 得        sin cos 3 y x 即：曲线 1C 的普通方程为： 13 2 2  yx 由曲线 2C ： 24)4sin(   得： 24)cos(sin2 2   即：曲线 2C 的直角坐标方程为： 08  yx 5 分 （2） 由（1）知椭圆 1C 与直线 2C 无公共点， 椭圆上的点 )sin,cos3( P 到直线 08  yx 的距离为 2 8)3sin(2 2 8sincos3      d 所以当 1)3sin(   时， d 的最小值为 23 10 分 考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、点到直线的距离公式. 31．①   01sincos22   ;②  32,22 【解析】 试题分析：（Ⅰ） 先建立圆的直角坐标方程,再化成极坐标方程,或直接建立极坐标方程 （Ⅱ）直线参数方程中参数的几何意义及应用于求弦长,再运用三角函数求范围 试题解析：（Ⅰ）【法一】∵      4,2 C 的直角坐标为  1,1 ， ∴圆 C 的直角坐标方程为     311 22  yx 化为极坐标方程是   01sincos22   O x MC 【法二】设圆 C 上任意一点  ,M ，则 如图可得，    222 34cos222        化简得   01sincos22   4 分 （Ⅱ）将        sin2 cos2 ty tx 代入圆 C 的直角坐标方程     311 22  yx ， 得    3sin1cos1 22   tt 即   01cossin22  tt 有   1,cossin2 2121  tttt  故      2sin224cossin44 2 21 2 2121  ttttttAB ， ∵          2,024,0  ， ∴ 3222  AB ， 即弦长 AB 的取值范围是  32,22 10 分[来 考点：1 极坐标与直角坐标之间的互化;2 极坐标系下建立曲线方程;3 直线参数方程的应 用;4 三角函数求值域 32．（Ⅰ） 2 2( 4) 16x y   ；（Ⅱ） 4 2 3 ． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）化圆C 的直角坐标方程为 2 2( 2) 4x y   ，设 ( , )Q x y ，根据 ( , )2 2 x yM 代入上述方程化简即得． （Ⅱ）把 1 2 32 2 x t y t       代入 2 2( 4) 16x y   ，可得 2 (4 2 3) 4 0t t    令 ,A B 对应参数分别为 1 2,t t ，则 0)324(21  tt ， 1 2 4 0t t   根据参数的几何意义即得． 试题解析：（Ⅰ）圆 C 的直角坐标方程为 2 2( 2) 4x y   ，设 ( , )Q x y ，则 ( , )2 2 x yM ， ∴ 2 2( 2) ( ) 42 2 x y   ∴ 2 2( 4) 16x y   这就是所求的直角坐标方程． 3 分 （Ⅱ）把 1 2 32 2 x t y t       代入 2 2( 4) 16x y   ，即代入 2 2 8 0x y x   得 2 21 3 1( ) (2 ) 8( ) 02 2 2t t t      ，即 2 (4 2 3) 4 0t t    令 ,A B 对应参数分别为 1 2,t t ，则 0)324(21  tt ， 1 2 4 0t t   所以 3242121  ttttPBPA ． 7 分 考点：1．极坐标与参数方程;2．直线与圆的位置关系． 33．（1） 1 : 4 0C x y   ； 2 2 : 4C y x ；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析. 【解析】 试 题 分 析 ： （ 1 ） 先 将 极 坐 标 方 程 cos( ) 2 24     转 化 为 cos cos sin sin 2 24 4       ，后由极坐标与普通方程转化的关系式 cos sin x y        得 出 1 : 4 0C x y   ； 由 24 4 x t y t     消 去 参 数 t 即 可 得 到 2 2 : 4C y x ；（ 2 ） 联 立 方 程 2 4 4 0 y x x y       消去 x 得到 2 4 16 0y y   ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，根据根与系数的关系 得到 1 2 1 24, 16y y y y    ，进而得到 1 2 1 2( 4)( 4)x x y y   ，再检验 0OA OB   即可证 明 OA OB ；（ 3 ） 联 立 方 程 2 4 y kx b y x     ， 消 x 得 2 4 4 0ky y b   ， 进 而 得 到 1 2 1 2 4 4, by y y yk k    ，由 1 2y y a  得出 2 2 16(1 )a k kb  ，进而确定 ,M D 的坐标， 最后计算 3 1 2 2 1 1 1 2 2 32PQD bk aS DM y y ak        可得结论. （1）由极坐标方程 cos( ) 2 24     可得 cos cos sin sin 2 24 4       而 cos sin x y        ，所以 2 2 2 22 2x y   即 1 : 4 0C x y   由 24 4 x t y t     消去参数 t 得到 2 2 : 4C y x （2）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，联立方程并消元得： 2 4 16 0y y   1 2 1 24, 16y y y y    ， 1 2 1 2 1 2 1 2( 4)( 4) 0OA OB x x y y y y y y         OA OB  （3） 2 4 y kx b y x     ，消 x 得 2 4 4 0ky y b   ， 1 2 1 2 4 4, by y y yk k    由 1 2y y a  （ 0a  且 a 为常数），得 2 2 1 2 1 2( ) 4y y y y a   2 2 16(1 )a k kb   ，又可得 PQ 中点 M 的坐标为 1 2 1 2 2 2 2( , ) ( , )2 2 x x y y bk k k    所以点 2 1 2( , )D k k ， 3 1 2 2 1 1 1 2 2 32PQD bk aS DM y y ak        ，面积是定值． 考点：1.极坐标；2.参数方程；3.直线与抛物线的位置关系；4.三角形的面积计算公式.