广东高考数学理科试题及答案

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广东高考数学理科试题及答案

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(理科)‎ 一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,满分40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ 1. 设为虚数单位,则复数 A. B. C. D.‎ 2. 设集合,则 A. B. C. D.‎ 3. 若向量,则 A. B. C. D.‎ 4. 下列函数中,在区间上为增函数的是 A. B. C. D.‎ 5. 已知变量满足约束条件,则的最大值为 A. B. C. D.‎ 6. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 A. B. ‎ C. D.‎ 7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是 A. B. ‎ C. D.‎ 8. 对任意两个非零向量,定义,若向量满足,的夹角,且和都在集合中,则 A. B.1 C. D.‎ 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。‎ ‎(一)必做题(9~13题)‎ 1. 不等式的解集为 。‎ 2. 的展开式中的系数为 。(用数字作答)‎ 3. 已知递增的等差数列满足,则 。 ‎ 4. 曲线在点处的切线方程 为 。‎ 5. 执行如图2所示的程序框图,若输入的值为8,则输出的值为 。‎ ‎(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)‎ 6. ‎(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,曲线和参数方程分别为和,则曲线和的交点坐标为 。‎ 7. ‎(几何证明选讲选做题)如图3,圆的半径为1,为圆周上的三点,满足,过点作圆的切线与的延长线交于点,则 。‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16. (本小题满分12分)‎ 已知函数(其中)的最小正周期为 ‎1)求的值;‎ ‎2)设,求的值。‎ ‎17. (本小题满分13分)‎ 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:‎ ‎。‎ ‎1)求图中x的值;‎ ‎2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望。‎ ‎18. (本小题满分13分)‎ 如图5,在四棱锥中,底面为矩形,,点在线段上,‎ ‎(1)证明:‎ ‎(2)若,求二面角的正切值。‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 设数列的前项和为,满足,且成等差数列。‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求数列的通项公式;‎ ‎(3)证明:对一切正整数,有。‎ ‎20. (本小题满分14分)‎ ‎ 在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且椭圆上的点到的距离的最大值为3.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)在椭圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由。‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 设,集合,‎ ‎(1)求集合(用区间表示);‎ ‎(2)求函数在内的极值点。‎ ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(理科)参考答案:‎ ‎1—8: DCAAB CDB 注:第8题解析:因为,‎ 且和都在集合中,‎ 所以,,,所以 所以,故有 ‎9. (写成集合形式也给分 ) 10. 20 11. ‎ ‎12. 13. 8 14. 15. ‎ 第9题注解:‎ x-(-2)|-|x-0| 即数轴上到-2的点与到0点距离只差小于1的点的集合。‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16. (本小题满分12分)‎ 已知函数(其中)的最小正周期为 ‎(1)求的值;‎ ‎(2)设,求的值。‎ ‎ 解:(1)由题意,解得。‎ ‎(2)由题,即,又,可得,‎ 所以。‎ ‎17. (本小题满分13分)‎ 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:‎ ‎。‎ ‎(1)求图中x的值;‎ ‎(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望。‎ ‎ 解:(1)由题意:,解得;‎ ‎(2)80~90分有人;90~100分有人。‎ 所有可能的取值为0, 1, 2‎ 故 。‎ ‎18. (本小题满分13分)‎ 如图5,在四棱锥中,底面为矩形,,点在线段上,‎ ‎(1)证明:‎ ‎(2)若,求二面角的正切值。‎ ‎(1)证明:∵,∴;∵,∴。‎ 又,∴。‎ ‎(2)解:设交于,连结,由题,所以即为二面角的平面角。‎ 由(1)知,,所以四边形ABCD为正方形,‎ 易得。‎ 由(1)知又,有,‎ 故,。在中,。‎ 所以二面角的正切值为3 ‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 设数列的前项和为,满足,且成等差数列。‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求数列的通项公式;‎ ‎(3)证明:对一切正整数,有。‎ 解:(1)由题,解得,故 ‎(2)当时,;‎ 当时, ① ②‎ 由①-②得: ,整理得,‎ 故为公比为的等比数列,‎ 首项为,故,‎ ‎,经验证当时,‎ 综上。‎ ‎(3)当时 又因为,所以,。‎ 所以,‎ 所以,‎ ‎20. (本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且椭圆上的点到的距离的最大值为3.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)在椭圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由。‎ 解:(1)由,所以 设是椭圆上任意一点,则,所以 当,即时,时,有最大值,‎ 可得,所以;‎ ‎②当,即时,时,有最大值,可得 ‎,舍去。‎ 所以故椭圆的方程为:‎ ‎(2)因为在椭圆上,所以,‎ 设,,由,得 所以,,可得 并且:,‎ 所以,‎ 所以,‎ ‎(亦可,其中为圆心到直线的距离)‎ 设点O到直线AB的距离为,则 所以 设,由,得,所以,‎ ‎,‎ 所以,当时,面积最大,最大为。‎ 此时,‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 设,集合,‎ ‎(1)求集合(用区间表示);‎ ‎(2)求函数在内的极值点。‎ 解:(1)对于方程 判别式 因为,所以 ① 当时,,此时,所以;‎ ② 当时,,此时,所以;‎ 当时,,设方程的两根为且,则 ‎ ‎,‎ ③ 当时,,,所以 此时,‎ ④ 当时,,所以 此时,‎ ‎(2),‎ 所以函数在区间上为减函数,在区间和上为增函数 ① 当时,因为,所以在D内没有极值点;‎ ② 当时,,所以在D内有极大值点;‎ ③ 当时, ‎ 由,很容易得到 ‎(可以用作差法,也可以用分析法)‎ 所以,在D内有极大值点;‎ ④ 当时,‎ 由,很容易得到 此时,在D内没有极值点。‎ 综上所述: ‎ 当时,在D内有极大值点。‎ 当或时,在D内没有极值点。‎
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