广东高考数学理科试题及答案

广东高考数学理科试题及答案

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）‎ 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ 1. 设为虚数单位，则复数 A． B． C． D．‎ 2. 设集合，则 A． B． C． D．‎ 3. 若向量，则 A． B． C． D．‎ 4. 下列函数中，在区间上为增函数的是 A． B． C． D．‎ 5. 已知变量满足约束条件，则的最大值为 A． B． C． D．‎ 6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A． B． ‎ C． D．‎ 7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A． B． ‎ C． D．‎ 8. 对任意两个非零向量，定义,若向量满足，的夹角，且和都在集合中，则 A． B．1 C． D．‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。‎ ‎（一）必做题（9~13题）‎ 1. 不等式的解集为 。‎ 2. 的展开式中的系数为 。（用数字作答）‎ 3. 已知递增的等差数列满足，则 。 ‎ 4. 曲线在点处的切线方程 为 。‎ 5. 执行如图2所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为 。‎ ‎（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）‎ 6. ‎（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和参数方程分别为和，则曲线和的交点坐标为 。‎ 7. ‎（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为1，为圆周上的三点，满足，过点作圆的切线与的延长线交于点，则 。‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16. （本小题满分12分）‎ 已知函数（其中）的最小正周期为 ‎1）求的值；‎ ‎2）设，求的值。‎ ‎17. （本小题满分13分）‎ 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：‎ ‎。‎ ‎1）求图中x的值；‎ ‎2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望。‎ ‎18. （本小题满分13分）‎ 如图5，在四棱锥中，底面为矩形，，点在线段上，‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）若，求二面角的正切值。‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设数列的前项和为，满足，且成等差数列。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数，有。‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ ‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到的距离的最大值为3.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由。‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 设，集合，‎ ‎（1）求集合（用区间表示）；‎ ‎（2）求函数在内的极值点。‎ ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）参考答案：‎ ‎1—8: DCAAB CDB 注：第8题解析：因为，‎ 且和都在集合中，‎ 所以，，，所以 所以，故有 ‎9. （写成集合形式也给分 ） 10. 20 11. ‎ ‎12. 13. 8 14. 15. ‎ 第9题注解：‎ x-(-2)|-|x-0| 即数轴上到-2的点与到0点距离只差小于1的点的集合。‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16. （本小题满分12分）‎ 已知函数（其中）的最小正周期为 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设，求的值。‎ ‎ 解：（1）由题意，解得。‎ ‎（2）由题，即，又，可得，‎ 所以。‎ ‎17. （本小题满分13分）‎ 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：‎ ‎。‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望。‎ ‎ 解：（1）由题意：，解得；‎ ‎（2）80~90分有人；90~100分有人。‎ 所有可能的取值为0, 1, 2‎ 故 。‎ ‎18. （本小题满分13分）‎ 如图5，在四棱锥中，底面为矩形，，点在线段上，‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）若，求二面角的正切值。‎ ‎（1）证明：∵，∴；∵，∴。‎ 又，∴。‎ ‎（2）解：设交于，连结，由题，所以即为二面角的平面角。‎ 由（1）知，，所以四边形ABCD为正方形，‎ 易得。‎ 由（1）知又，有，‎ 故，。在中，。‎ 所以二面角的正切值为3 ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设数列的前项和为，满足，且成等差数列。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数，有。‎ 解：（1）由题，解得，故 ‎（2）当时，；‎ 当时， ① ②‎ 由①-②得： ，整理得，‎ 故为公比为的等比数列，‎ 首项为，故，‎ ‎，经验证当时，‎ 综上。‎ ‎（3）当时 又因为，所以，。‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到的距离的最大值为3.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由。‎ 解：（1）由，所以 设是椭圆上任意一点，则，所以 当，即时，时，有最大值，‎ 可得，所以；‎ ‎②当，即时，时，有最大值，可得 ‎，舍去。‎ 所以故椭圆的方程为：‎ ‎（2）因为在椭圆上，所以，‎ 设，，由，得 所以，，可得 并且：，‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎（亦可，其中为圆心到直线的距离）‎ 设点O到直线AB的距离为，则 所以 设，由，得，所以，‎ ‎，‎ 所以，当时，面积最大，最大为。‎ 此时，‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 设，集合，‎ ‎（1）求集合（用区间表示）；‎ ‎（2）求函数在内的极值点。‎ 解：（1）对于方程 判别式 因为，所以 ① 当时，，此时，所以；‎ ② 当时，，此时，所以；‎ 当时，，设方程的两根为且，则 ‎ ‎，‎ ③ 当时，，，所以 此时，‎ ④ 当时，，所以 此时，‎ ‎（2），‎ 所以函数在区间上为减函数，在区间和上为增函数 ① 当时，因为，所以在D内没有极值点；‎ ② 当时，，所以在D内有极大值点；‎ ③ 当时， ‎ 由，很容易得到 ‎（可以用作差法，也可以用分析法）‎ 所以，在D内有极大值点；‎ ④ 当时，‎ 由，很容易得到 此时，在D内没有极值点。‎ 综上所述： ‎ 当时，在D内有极大值点。‎ 当或时，在D内没有极值点。‎