- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
数学高考压轴题大全
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点； （ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 评卷人 得分 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证：． 5、已知函数： （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； ⑵若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围； ⑶求证：． 9、已知正方形的中心在原点，四个顶点都在函数图象上． （1）若正方形的一个顶点为，求，的值，并求出此时函数的单调增区间； （2）若正方形唯一确定，试求出的值． 10、已知函数，曲线在点处的切线方程为． （I）求a，b的值； （II）如果当x>0，且时，，求k的取值范围． 11、设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0. (Ⅰ)当b>时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数f(x)的极值点； （Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln)都成立. 12、如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。 （Ⅰ）求，的方程； （Ⅱ）设与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E. (i)证明：MD⊥ME; (ii)记△MAB,△MDE的面积分别是,.问：是否存在直线l,使得=? 请说明理由。 13、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且． (1)求动点P所在曲线C的方程； (2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)； (3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)． 14、如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，，满足：．直线，分别交直线于，两点． （1）求曲线弧的方程； （2）求的最小值（用表示）； （3）曲线上是否存点，使为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 15、设、是函数的两个极值点． (1)若，求函数的解析式； (2)若，求的最大值． (3)若，且，，求证：． 16、 已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）设，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围． 17、已知函数 （1）若曲线处的切线平行，求a的值； （2）求的单调区间； （3）设是否存在实数a，对均成立；若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。 18、已知函数图象的对称中心为，且的极小值为. （1）求的解析式； （2）设，若有三个零点，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，当时，使函数 在定义域[a,b] 上的值域恰为[a,b]，若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由. 19、已知函数． （1）若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围； （2）如果函数的图像与x轴交于两点，且，求证：（其中，是的导函数，正常数满足）． 20、已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a＞0，a≠1)． （1）当a＞1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； （2）若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值； （3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范围． 21、已知函数处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点A处切线的斜率为—1。 (Ⅰ)求的解析式； （Ⅱ）设函数上的值域也是，则称区间为函数的“保值区间”。证明：当不存在“保值区间”； 22、已知函数 （1）求证函数上的单调递增； （2）函数有三个零点，求t的值； （3）对恒成立，求a的取值范围。 23、已知函数，其中 （Ⅰ）若函数上有极值，求的取值范围； （Ⅱ）若函数有最大值（其中为无理数，约为2．71828）,求的值； （Ⅲ）若函数有极大值,求的值。 24、已知函数。 （1）若函数在区间上存在极值，其中，求实数的取值范围； （2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求证： 25、已知函数,，其中R． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围； （Ⅲ）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围． 26、 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）设m>0，求在[m，2m]上的最大值； （3）试证明：对任意N+，不等式＜恒成立． 27、已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）设，求证：； （3）设，求证：. 28、已知二次函数对都满足且，设函数 （，）． （Ⅰ）求的表达式； （Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）设，，求证：对于，恒有. 29、已知函数 不等式求实数的取值范围； （3）若函数 30、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，直线的斜率为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 31、已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3． ⑴求实数的值； ⑵若，且对任意恒成立，求的最大值； ⑶当时，证明． 32、已知函数在点的切线方程为. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）设，求证：在上恒成立； （Ⅲ）已知，求证：. 33、已知 （1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围； （2）当时，证明：函数只有一个零点； （3）若的图象与轴交于两点，AB中点为，求证： 参考答案 一、综合题 1、解：（1）当时，，定义域是， ， 令，得或． …2分 当或时，，当时，， 函数在、上单调递增，在上单调递减． ……………4分 的极大值是，极小值是． 当时，； 当时，， 当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分 （2）当时，，定义域为． 令， ， 在上是增函数． …………………………………7分 ①当时，，即； ②当时，，即； ③当时，，即． …………………………………9分 （3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即． 令，则有， ． ……………12分 ． ……………………………………14分 (法二)当时，． ，，即时命题成立． ………………………………10分 设当时，命题成立，即 ． 时，． 根据（2）的结论，当时，，即． 令，则有， 则有，即时命题也成立．……………13分 因此，由数学归纳法可知不等式成立． ………………………………14分 （法三）如图，根据定积分的定义， 得．……11分 ， ． ………………………………12分 ， 又，， ． ． …………………………………14分 【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识． 2、解：（1）由题意知，的定义域为， 当时， ，函数在定义域上单调递增． （2）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点． ②时，有两个相同的解， 时， 时，函数在上无极值点． ③当时，有两个不同解， 时，， , 此时 ，随在定义域上的变化情况如下表： 减 极小值 增 由此表可知：时，有惟一极小值点， ii) 当时，0<<1 此时，，随的变化情况如下表： 增 极大值 减 极小值 增 由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点； 综上所述： 当且仅当时有极值点; 当时，有惟一最小值点； 当时，有一个极大值点和一个极小值点 （3）由(2)可知当时，函数， 此时有惟一极小值点 且 令函数 3、【解析】（Ⅰ）由题意:设直线, 由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即, ,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得 ，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2. （Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙，所以,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0). （ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上, 由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为 .综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为. 二、计算题 4、（Ⅰ）解：由已知得：． ……………1分 由为偶函数，得为偶函数， 显然有． …………2分 又，所以，即． …………3分 又因为对一切实数恒成立， 即对一切实数，不等式恒成立． …………4分 显然，当时，不符合题意． …………5分 当时，应满足 注意到 ，解得． …………7分 所以． ……………8分 （Ⅱ）证明：因为，所以．………9分 要证不等式成立, 即证． …………10分 因为, …………12分 所以 ． 所以成立． ……………14分 5、解：（1） (1分), 当时，的单调增区间为，减区间为；…………2分 当时，的单调增区间为，减区间为；…………3分 当时，不是单调函数…………4分 （2）因为函数的图像在点处的切线的倾斜角为， 所以，所以，， ……………..…6分 ， …………………………………….……7分 要使函数在区间上总存在极值，所以只需， ………………ks5u……..……9分 解得………………………………………………………10分 ⑶令此时，所以， 由⑴知在上单调递增，∴当时， 即，∴对一切成立，………12分 ∵，则有，∴ …………14分 6、 解：(Ⅰ) 在区间上单调递增，在区间上单调递减,且 的值域为 ………………3分 （Ⅱ）令，则由(Ⅰ)可得，原问题等价于：对任意的在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数 …………………5分 当时, ,.s 在区间上递减，不合题意 当时, ,在区间上单调递增，不合题意 当时, ,在区间上单调递减，不合题意 当即时, 在区间上单调递减; 在区间上单递增，由上可得，此时必有的最小值小于等于0 而由可得，则 综上，满足条件的不存在。………………………..8分 （Ⅲ）设函数具备性质“”，即在点处的切线斜率等于，不妨设，则，而在点处的切线斜率为， 故有………………10分 即，令，则上式化为， ………………12分 令，则由可得在上单调递增，故，即方程无解，所以函数不具备性质“”. ……………………14分 7、解（Ⅰ） 1分 若函数在上递增，则对恒成立，即对恒成立，而当时， 若函数在上递减，则对恒成立，即对恒成立，这是不可能的． 综上， 的最小值为1． 4分 （Ⅱ）解1、由 令 得=0的根为1，所以 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 所以在处取到最大值，又 ，， 所以要使与有两个不同的交点，则有 ……………8分 （Ⅲ）假设存在，不妨设 9分 若则，即，即． （*） 12分 令，（)， 则＞0．∴在上增函数， ∴， ∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴ 因此，满足条件的不存在． 15分 8、 9、⑴因为，所以，因此， 所以函数的图象在点处的切线方程为，…………………………2分 由得，由，得．…4分 ⑵因为， 所以，由题意知在上有解， 因为，设，因为， 则只要解得， 所以b的取值范围．………………………………………………………………8分 ⑶不妨设．因为函数在区间上是增函数，所以， 函数图象的对称轴为，且， （ⅰ）当时，函数在区间上是减函数，所以， 所以等价于， 即， 等价于在区间上是增函数， 等价于在区间上恒成立， 等价于在区间上恒成立， 所以，又， 所以；………………………………………………………………………………………10分 （ⅱ）当时，函数在区间上是减函数，在上为增函数． ①当时， 等价于， 等价于在区间上是增函数， 等价于在区间上恒成立， 等价于在区间上恒成立， 所以，又， 所以；……………………………………………………………………………12分 ②当时， 等价于， 等价于在区间上是增函数， 等价于在区间上恒成立， 等价于在区间上恒成立， 所以，故．………………………………………………………………14分 ③当时， 由图象的对称性知，只要对于①②同时成立，那么对于③， 则存在， 使恒成立； 或存在， 使恒成立． 因此，． 综上，b的取值范围是．……………………………………………………16分 10、解： （Ⅰ） 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 。 考虑函数，则 。 (i)设，由知，当时，。而，故 当时，，可得； 当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0 从而当x>0，且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+. （ii）设0查看更多