高考圆锥曲线专题研究

高考圆锥曲线专题研究

高考圆锥曲线专题研究 ‎1、吃透圆锥曲线的两个定义：‎ 第一定义中要重视限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且﹥；当=时，轨迹是线段FF；当＜时,不存在任何图形。双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且＜|FF|；若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线；若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。‎ 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线（左焦点对应左准线，右焦点对应右准线），且“点点距为分子、点线距为分母”，商为离心率。要熟练进行点点距与点线距之间的相互转化。‎ ‎ 范例1：①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是( )‎ ‎ A． B．‎ ‎ C．        D．（答：C）；‎ ‎ ②方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）‎ ‎ ③如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）‎ ‎2、理清圆锥曲线的标准方程与参数方程关系和功能:‎ ‎（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数）。‎ ‎（2）双曲线：焦点在轴上： =1（参数方程，其中为参数）。‎ ‎（3）抛物线：焦点在x轴正半轴：（参数方程，其中为参数）。‎ 范例2：①若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：）‎ ‎②已知为抛物线上异于顶点的两个动点，且于点，求动点的轨迹。‎ 点评：圆锥曲线参数方程的主要功能：①处理最值问题；②求动点的轨迹问题。‎ ‎3、掌握圆锥曲线相关的几何性质：‎ 椭圆的几何性质主要体现在：四点（焦点、顶点）四线（准线、对称轴）两形（焦点三角形、三边关系三角形）。重点研究：①离心率；②焦半径；③焦点弦；④弦长公式。‎ 双曲线的几何性质主要体现在：四点（焦点、顶点）六线（准线、对称轴、渐近线）两形（焦点三角形、三边关系三角形）。重点研究：①离心率；②焦半径；③焦点弦；④弦长公式。‎ 抛物线的几何性质主要体现在：一动（动点）三定（定点：焦点，定直线：准线，定值：离心率）。重点研究：焦点弦的相关性质。‎ 范例4：①以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：）；‎ ‎②椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使之值最小，则点M的坐标为_______（答：）。‎ ‎③设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：）；‎ ‎④已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；‎ ‎5、理解直线与圆锥曲线的位置关系及处理办法：‎ ‎（1）设直线方程为，圆锥曲线方程为，则联立方程组并整理得：.‎ ‎①若，对双曲线，方程为平行于渐近线的任一直线；‎ ‎ 对抛物线，方程为平行于对称轴的任一直线。‎ ‎②若，且，则方程为圆锥曲线的一条切线。‎ ‎（2）若直线与圆锥曲线相交，则一般的解题思路为：直线与曲线联立方程组，转化为一元二次方程：，目的是韦达定理得：，。然后再结合其它已知条件可得解。‎ 范例5：①若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：(-,-1)）；‎ ‎②求椭圆上的点到直线的最短距离（）；‎ ‎③（2011年崇左市第五次月考理21）已知抛物线的焦点到准线的距离为1，且抛物线开口向右。求的值；是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于中，求面积的最小值。‎ ‎6、圆锥曲线中的焦点三角形问题：‎ 解题策略：①第一定义；②正弦、余弦定理；③三角形的面积公式。‎ 设为椭圆或双曲线上的一点，为两焦点，焦点三角形的面积为，则椭圆＝；‎ 双曲线。‎ 范例6：①短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________（答：6）；‎ ‎ ②双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则＝__________（答：）；‎ ‎ ③已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程（答：）；‎ ‎7、圆锥曲线中的弦长问题：‎ 若直线与圆锥曲线相交于两点A（）、B（），则＝＝；若弦AB所在直线方程设为，则＝。‎ 弦长求法的一般步骤：①确定直线的斜率；②确定直线方程；③直线与曲线联立方程组并转化为一元二次方程，利用韦达定理；④代入弦长公式。‎ 范例7：①如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是        （答：）；‎ ‎ ②已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：）；‎ ‎ ③试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：）；‎ ‎§◎§特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！‎ ‎ 8、圆锥曲线中常用方法与重要结论：‎ ‎（1）双曲线的渐近线方程为；‎ ‎（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。‎ ‎（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；‎ ‎（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；‎ ‎（5）通径是所有焦点弦（经过焦点的弦简称焦点弦）中最短的弦；‎ ‎（6）抛物线的焦点弦公式：。‎ 范例8：①过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；‎ ‎②已知斜率为1的直线L过椭圆的右焦点F，交椭圆于A、B两点，则弦AB的长为；‎ ‎9、熟悉动点的轨迹问题的求法：‎ ‎（1）求动点轨迹方程的一般步骤：①建系设元、②建立数学模型、③模型符号化、④化简整理、⑤确定点的范围；‎ ‎（2）求轨迹方程的常用方法：‎ ‎①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程，即直接利用条件建立之间的关系；‎ ‎②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。‎ ‎③定义法： 动点的轨迹满足某种已知曲线，直接由曲线定义写出轨迹方程；‎ ‎④代入转移法（设而不求）：动点与已知动点存在关系，且在某已知曲线上，则用的代数式表示，再将代入已知曲线即得所求轨迹方程；即把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系。‎ ‎⑤参数法： 动点坐标可以引进参数方程。‎ 范例9：①如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．‎ 答：或[直接法]；‎ ‎②如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 [待定系数法]；‎ ‎③由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为   答：；[定义法：圆的定义，动点P到定点O的距离]；‎ ‎④点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：）[定义法]；‎ ‎⑤ 一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为       （答：双曲线的一支）[定义法]；‎ ‎⑥AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，是MN的中点，则动点的轨迹为[参数法]；‎ ‎⑦过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：）[设而不求法]。‎ ‎10、与圆锥曲线有关的常见向量结论：‎ ‎（1）在中，给出,等于已知是中边的中线;‎ ‎（2） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.‎ ‎（3）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。‎ ‎（4）给出,等于已知是的平分线。‎ ‎（5）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；‎ ‎（6） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；‎ ‎（7）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；‎ ‎（8）在中，给出等于已知通过的内心；‎ ‎11、圆锥曲线中常见类型题解题展示：‎ 类型一（存在性问题）已知点C（1，0），点A、B是⊙O：上任意两个不同的点，且满足，设P为弦AB的中点，‎ ‎（1）求点P的轨迹T的方程；‎ ‎（2）试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解：（1）法一：连结CP，由，知AC⊥BC ‎∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝，由垂径定理知 即………………3分 设点P（x，y），有 化简，得到………………6分 法二：设A，B，P，‎ 根据题意，知，， ‎ ‎∴‎ 故①………3分 又，有 ‎∴，故 代入①式，得到 化简，得到………………6分 ‎（2）根据抛物线的定义，到直线的距离等于到点C（1，0）的距离的点都在抛物线上，其中，∴，故抛物线方程为………8分 由方程组得，解得……10分 由于，故取，此时,‎ 故满足条件的点存在的，其坐标为和………………12分 类型二（定性问题）：已知点和直线，作垂足为Q，且 ‎（Ⅰ）求点P的轨迹方程;‎ ‎（Ⅱ）过点C的直线与点P轨迹交于两点，，点，若的面积为，求直线的方程.‎ 解：(Ⅰ) 由已知知.‎ 所以……………………………………………2分 设，代入上式得 平方整理得． …………………………………4分 ‎（Ⅱ）由题意可知设直线的斜率不为零，且恰为双曲线的右焦点，‎ 设直线的方程为，‎ 由…………………5分 若，则直线与双曲线只有一个交点，这与矛盾，故.‎ 由韦达定理可得……………………………6分 ‎………8分 ‎………………10分 故直线的方程为. ……………12分 类型三（定值问题）：设上的两点，已知向量，,若且椭圆的离心率短轴长为，为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点，（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；‎ ‎（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.‎ 解：（Ⅰ）‎ 椭圆的方程为…………………………3分 ‎（Ⅱ）由题意，设AB的方程为 由已知得： ‎ ‎…………7分 ‎(Ⅲ) （1）当直线AB斜率不存在时，即,由 ‎，又 在椭圆上，所以 为定值. ………………8分 ‎（2）当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b ‎……10分 为定值…12分 类型四（取值范围问题）设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与 垂直的直线交轴负半轴于点，且．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎ （Ⅱ）若过、、三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程；‎ ‎ （III）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由．‎ 解：（Ⅰ）设Q（x0，0），由（c，0）,A（0，b）知 ‎ ，‎ ‎ 由于 即为中点．‎ ‎ 故 ‎ 故椭圆的离心率…………………3分 ‎ （Ⅱ）由⑴知得于是（，0） Q，‎ ‎△AQF的外接圆圆心为（-，0），半径r=|FQ|=‎ ‎ 所以，解得=2，∴c =1，b=，‎ ‎ 所求椭圆方程为…………………6分 ‎ （III）由（Ⅱ）知，设：， ，‎ ‎ 由得：…………7分 ‎ 则，……………8分 ‎ 由于菱形对角线垂直，则…………9分 ‎ 故 ‎ 则 ‎，由已知条件知且 ‎…………………11分 ‎ 故存在满足题意的点P且的取值范围是．……12分 类型五（定点问题）已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．‎ ‎ （1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设M、N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的横坐标之积为-4，直线MO,NO与抛物线的交点分别为点A、B,求证：动直线AB恒过一个定点.‎ ‎ 解：略。‎ ‎12、圆锥曲线中的高考链接：‎ ‎1、（2009年浙江理21）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．‎ ‎ （I）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．‎ 分析：本题属于类型四（取值范围问题）‎ 解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，‎ ‎（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，‎ 所以，‎ 设线段MN的中点的横坐标是，则， ‎ 设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，‎ 即：，其中的或；‎ 当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．‎ ‎2、（2009年四川理20）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。‎ 分析：本题属于类型二（定性问题）：‎ 解：（Ⅰ）由条件有，解得。。‎ 所以，所求椭圆的方程为。…………………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知、。‎ ‎ 若直线的斜率不存在，则直线的方程为 ‎ 将代入椭圆方程得。‎ 不妨设、，‎ ‎.‎ ‎,与题设矛盾。‎ 直线的斜率存在。‎ 设直线的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。‎ 设、，‎ 联立，消y得。‎ 由根与系数的关系知，从而，‎ 又，，‎ ‎。‎ ‎，化简得 解得或者（舍），‎ ‎∴所求直线的方程为或者…………………12分 ‎3、（2009年重庆理21）已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．‎ ‎（Ⅰ）若的坐标分别是，求 的最大值；‎ ‎（Ⅱ）如（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程；‎ 分析：本题属于类型二（定性问题）：‎ 解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a ＞b＞ 0 ）.‎ 设，由准线方程得，由得，解得，从而b = 1，椭圆的方程为 又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以,‎ 从而，当且仅当，即点M的坐标为　时上式取等号，的最大值为4　.‎ ‎（II）如（20）图，设 ‎.因为，故 ‎①‎ ‎ 因为 所以. ②‎ 记P点的坐标为，因为P是BQ的中点，所以 又因为，结合①，②得：‎ 故动点P的轨迹方程为：‎ ‎4、（2010年全国理科21）已知抛物线C =4x的焦点为F，过点K（-1,0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.‎ ‎(Ⅰ)证明：点F在直线BD上；‎ ‎(Ⅱ)设=，求△BDK的内切圆M的方程.‎ 分析：本题属于类型五（定点问题）‎