2015高考数学（理）（第九章 平面解析几何）一轮复习题

2015高考数学（理）（第九章 平面解析几何）一轮复习题

压轴题目突破练——平面解析几何 A 组　专项基础训练 (时间：40 分钟) 一、选择题 1． 已知两条直线 l1：y＝x，l2：ax－y＝0，其中 a 为实数，当这两条直线的夹角在(0， π 12)内变动时，a 的取值范围是 (　　) A．(0,1) B.( 3 3 ， 3) C.( 3 3 ，1)∪(1， 3) D．(1， 3) 答案　C 解析　直线 l1 的倾斜角为π 4，依题意 l2 的倾斜角的取值范围为( π 4－ π 12，π 4)∪( π 4，π 4＋ π 12)， 即( π 6，π 4 )∪( π 4，π 3 )，从而 l2 的斜率 a 的取值范围为( 3 3 ，1)∪(1， 3)． 2． 若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2 上有且只有两个点到直线 4x－3y－2＝0 的距离等于 1，则半径 r 的取值范围是 (　　) A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6] 答案　A 解析　因为圆心(3，－5)到直线 4x－3y－2＝0 的距离为|4 × 3－3 × (－5)－2| 42＋32 ＝5，所 以当半径 r＝4 时，圆上有 1 个点到直线 4x－3y－2＝0 的距离等于 1，当半径 r＝6 时， 圆上有 3 个点到直线 4x－3y－2＝0 的距离等于 1，所以圆上有且只有两个点到直线 4x －3y－2＝0 的距离等于 1 时，40，b>0)与抛物线 y2＝8x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一 个交点为 P，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为 (　　) A．y＝± 3x B．y＝± 3 3 x C．y＝± 2x D．y＝± 2 2 x 答案　A 解析　设点 P(x0，y0)．依题意得，焦点 F(2,0)， Error!于是有 x0＝3，y20＝24； Error!由此解得 a2＝1，b2＝3， 因此该双曲线的渐近线方程是 y＝±b ax＝± 3x. 4． 已知抛物线 y2＝8x 的焦点 F 到双曲线 C：y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为4 5 5 ， 点 P 是抛物线 y2＝8x 上的一动点，P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0，c)的距离与到直线 x＝ －2 的距离之和的最小值为 3，则该双曲线的方程为 (　　) A.y2 2－x2 3＝1 B．y2－x2 4＝1 C.y2 4－x2＝1 D.y2 3－x2 2＝1 答案　C 解析　由题意得，抛物线 y2＝8x 的焦点 F(2,0)， 双曲线 C：y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为 ax－by＝0， ∵抛物线 y2＝8x 的焦点 F 到双曲线 C：y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为4 5 5 ，∴ 2a a2＋b2＝4 5 5 ，∴a＝2b. ∵P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0，c)的距离与到直线 x＝－2 的距离之和的最小值为 3， ∴|FF1|＝3，∴c2＋4＝9，∴c＝ 5， ∵c2＝a2＋b2，a＝2b，∴a＝2，b＝1. ∴双曲线的方程为y2 4－x2＝1，故选 C. 5． 已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1 且斜率为 2 的直线交椭圆 E 于 P、Q 两 点，若△PF1F2 为直角三角形，则椭圆 E 的离心率为 (　　) A. 5 3 B.2 3 C. 2 3 D.1 3 答案　A 解析　由题意可知，∠F1PF2 是直角，且 tan∠PF1F2＝2，∴|PF2| |PF1|＝2， 又|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴|PF1|＝2a 3 ，|PF2|＝4a 3 . 根据勾股定理得 ( 2a 3 )2＋( 4a 3 )2＝(2c)2， 所以离心率 e＝c a＝ 5 3 . 二、填空题 6． 如果 x2 k－2＋ y2 1－k＝－1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，那么它的半焦距 c 的取值范围是 ________． 答案　(1，＋∞) 解析　将原方程化成标准方程为 y2 k－1－ x2 k－2＝1. 由题意知 k－1>0 且 k－2>0，解得 k>2. 又 a2＝k－1，b2＝k－2，所以 c2＝a2＋b2＝2k－3>1， 所以 c>1，故半焦距 c 的取值范围是(1，＋∞)． 7． 若点(3,1)是抛物线 y2＝2px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为 2，则 p＝________. 答案　2 解析　设弦两端点为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则Error!，两式相减得，y1－y2 x1－x2＝ 2p y1＋y2＝2. 又∵y1＋y2＝2，∴p＝2. 8． 已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，经过 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，则以 AB 为 直径的圆在 x 轴上所截得的弦长的最小值是________． 答案　2 3 解析　由抛物线定义得以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股 定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值．设以 AB 为直径的圆的半径为 r，则|AB|＝ 2r≥4，r≥2，且圆心到 x 轴的距离是 r－1，所以在 x 轴上所截得的弦长为 2 r2－(r－1)2 ＝2 2r－1≥2 3，即弦长的最小值是 2 3. 三、解答题 9． 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所 组成的四边形为正方形，直线 l 与 y 轴交于点 P(0，m)，与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的 两点 A，B，且AP → ＝2PB → . (1)求椭圆的方程； (2)求 m 的取值范围． 解　(1)由题意，知椭圆的焦点在 y 轴上， 设椭圆方程为y2 a2＋x2 b2＝1(a>b>0)， 由题意，知 a＝2，b＝c，又 a2＝b2＋c2，则 b＝ 2， 所以椭圆方程为y2 4＋x2 2＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线 l 的斜率存在， 设其方程为 y＝kx＋m，与椭圆方程联立， 即Error!消去 y，得 (2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0， Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0， 由根与系数的关系，知Error! 又AP → ＝2PB → ，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)， 所以－x1＝2x2. 则Error! 所以m2－4 2＋k2 ＝－2( 2mk 2＋k2 )2. 整理，得(9m2－4)k2＝8－2m2， 又 9m2－4＝0 时等式不成立， 所以 k2＝8－2m2 9m2－4>0，得4 90. 所以 m 的取值范围为(－2，－2 3)∪( 2 3，2 ). 10．已知中心在原点的椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1 的一个焦点为 F1(0,3)，M(x,4)(x>0)为椭圆 C 上一 点，△MOF1 的面积为3 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)是否存在平行于 OM 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由． 解　(1)因为椭圆 C 的一个焦点为 F1(0,3)， 所以 c＝3，b2＝a2＋9，则椭圆 C 的方程为x2 a2＋ y2 a2＋9＝1， 因为 x>0，所以 S△OMF1＝1 2×3×x＝3 2，解得 x＝1. 故点 M 的坐标为(1,4)．因为点 M(1,4)在椭圆上，所以 1 a2＋ 16 a2＋9＝1，得 a4－8a2－9＝0， 解得 a2＝9 或 a2＝－1(不合题意，舍去)， 则 b2＝9＋9＝18，所以椭圆 C 的方程为x2 9＋y2 18＝1. (2)假设存在符合题意的直线 l 与椭圆 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其方程为 y＝ 4x＋m(因为直线 OM 的斜率 k＝4)， 由Error!消去 y 化简，得 18x2＋8mx＋m2－18＝0. 进而得到 x1＋x2＝－8m 18，x1·x2＝m2－18 18 . 因为直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点， 所以 Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)>0， 化简得 m2<162，解得－9 2b>0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为 M，与 y 轴的交点为 B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________． 答案　 6 3 解析　由题意知 A 点的坐标为(－a,0)， 设直线的方程为 y＝x＋a， ∴B 点的坐标为(0，a)，故 M 点的坐标为(－a 2，a 2)， 代入椭圆方程得 a2＝3b2，∴2a2＝3c2，∴e＝ 6 3 . 4． 设抛物线 y2＝2x 的焦点为 F，过 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，则|AF|＋4|BF|的最 小值为________． 答案　9 2 解析　设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|＋4|BF|＝x1＋p 2＋4(x2＋p 2)＝x1＋ 1 2＋4(x2＋1 2)＝x1＋4x2＋5 2，设直线 AB 的方程为 ky＝x－ 1 2，联立抛物线方程得方程组 Error!消元整理得 y2－2ky－1＝0，由根与系数的关系可得 y1y2＝－1，又 A，B 在抛物线 上，代入方程得 y21y22＝2x1·2x2＝4x1x2＝1，即 x1x2＝1 4，因此根据基本不等式|AF|＋4|BF|＝x1 ＋4x2＋5 2≥2 x1 × 4x2＋5 2＝2＋5 2＝9 2，当且仅当 x1＝4x2 时取得最小值9 2. 5． 已知抛物线 Ω 的顶点是坐标原点 O，焦点 F 在 y 轴正半轴上，过点 F 的直线 l 与抛物 线交于 M，N 两点，且满足OM → ·ON → ＝－3. (1)求抛物线 Ω 的方程； (2)若直线 y＝x 与抛物线 Ω 交于 A，B 两点，在抛物线 Ω 上是否存在异于 A，B 的点 C， 使得经过 A，B，C 三点的圆和抛物线 Ω 在点 C 处有相同的切线？若存在，求出点 C 的 坐标；若不存在，请说明理由． 解　(1)依题意，设抛物线 Ω 的方程为 x2＝2py(p>0)， 则 F(0，p 2)， 由直线 l 的斜率存在，设为 k， 得 l 的方程为 y＝kx＋p 2， 联立方程Error!消去 y 并整理， 得 x2－2pkx－p2＝0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝2pk，x1x2＝－p2， 又 y1y2＝(kx1＋p 2)(kx2＋p 2) ＝k2x1x2＋1 2kp(x1＋x2)＋p2 4 ＝k2·(－p2)＋1 2kp·2kp＋p2 4 ＝p2 4 . 所以OM → ·ON → ＝x1x2＋y1y2＝－p2＋p2 4 ＝－3， 因为 p>0，解得 p＝2， 故所求抛物线 Ω 的方程为 x2＝4y. (2)联立方程Error!可求得 A(0,0)，B(4,4)， 假设抛物线 Ω 上存在异于 A，B 的点 C，且设 C 的坐标为(t，t2 4)(t≠0，t≠4)，使得经过 A，B，C 三点的圆和抛物线 Ω 在点 C 处有相同的切线， 令圆心为 E(a，b)，则由Error! 得Error! 即Error!解得Error! ① 因为抛物线 Ω 在点 C 处的切线斜率 k′＝y′|x＝t＝t 2(t≠0，t≠4)， 又该切线与 EC 垂直，所以 b－t2 4 a－t · t 2＝－1， 即 2a＋bt－2t－t3 4＝0. ② 将①代入②得，2(－t2＋4t 8 )＋t·t2＋4t＋32 8 －2t－t3 4＝0， 即 t3－2t2－8t＝0，因为 t≠0，t≠4，解得 t＝－2. 故存在点 C 且坐标为(－2,1)．