湖北高考数学试卷理科答案

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湖北高考数学试卷理科答案

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北A卷)‎ 数学(理工类)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分 ,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1. 方程的一个根是 A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i ‎ ‎,所以,故选A ‎2. 命题“”的否定是 A B ‎ C D ‎ 存在性命题的否定为“”改为“”,后面结论加以否定,故为,选D ‎3. 已知二次函数的图像如图所示 ,‎ 则它与轴所围图形的面积为 ‎ A. B. C. D.‎ 由图像可知,二次函数解析式为 设面积为,则,故选B ‎4.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ 此几何体为一个圆柱切去了一部分,此圆柱底面半径为 1,高为 4,现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体 ,从而构成一个底面半径为1,高为6的圆柱,这个圆柱的体积为,要求几何体的体积为圆柱体积的一半,为,故选B ‎5.设,且,若能被13整除,则 A.0 B‎.1 ‎‎ C.11 D.12‎ ‎,显然上式除了外,其余各个因式都能被13整除,所以能被13整除,只需,故选 D ‎6.设是正数,且,则 A. B. C. D. ‎ 由柯西不等式知,而此时恰好满足取等条件,令代入到中得 ‎,所以由合比定理得,故选C ‎7.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数,如果对于任意给定的等比数列,仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”。现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①;②;③;④。‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④‎ 令等比数列的公比为,①,是等比数列;②,‎ 不一定是 常数,不一定是等比数列;③,‎ 是等比数列;④,举个特例,令是等差数列不是等比数列,从而选C ‎8.如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 A. B. C. D. ‎ 设大圆的半径为2,则小圆半径为1,扇形面积为,而阴影部分的面积为,在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率,故选A ‎9.函数在区间[0,4]上的零点个数为 A.4 B‎.5 C.6 D.7‎ 当时,,当,而使余弦为零的角的弧度数为,令 则时对应角分别为均满足条件,当时,不满足条件,综上零点个数为6个,故选C ‎10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径,“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据=3.14159…..判断,下列近似公式中最精确的一个是 A. B. ‎5 C. D. ‎ 由球的体积公式得,由此得,经验证最精确的为D 二、填空题:本大题共6小题,考试共需作答5小题,每小题5分,共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。‎ ‎(一)必考题(11-14题)‎ ‎ 11.设△ABC的内角A,B,C,所对的边分别是a,b,c.若,则角C=______________。‎ 由 得,所以,‎ ‎ 12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s=___________.‎ ‎;,当时,输出 ‎13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22,,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个:11,22,33…,99.3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999。则 ‎(Ⅰ)4位回文数有______个;‎ ‎(Ⅱ)2n+1(n∈N+)位回文数有______个。‎ ‎4位回文数有1001,1111,1221,1331,…,1991,2002,2112,2222,2332,…,‎ ‎2992,,9009,9119,…,9999共90个 ‎2n+1(n∈N+)位回文数有,共有n个10,所以为个 ‎14.如图,双曲线的两顶点为,虚轴两端点为,两焦点为。若以为直径的圆内切于菱形,切点分别为A,B,C,D。则 ‎(1)双曲线的离心率e=______;‎ ‎(2)菱形的面积与矩形的面积的比值__________。‎ ‎(1)由已知 ‎,解得 ‎(2)由已知得,又直线的方程为,而直线的方程为联立解得 ‎,所以,‎ ‎(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分。)‎ ‎15.(选修4-1:几何证明选讲)‎ 如图,点D在⊙O的弦AB上移动,AB=4,连接OD,过点D作OD的垂线交⊙O于点C,则CD的最大值为_____________。‎ 设圆的半径为,由已知,又,显然 最小时,CD有最大值,而取最小值时,,此时,所以CD有最大值2‎ ‎16.(选修4-4:坐标系与参数方程)‎ 在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知射线与曲线(t为参数)相较于A,B来两点,则线段AB的中点的直角坐标为_________。‎ 射线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为联立方程解得 ‎,所以线段AB的中点的直角坐标为 三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知向量,设函数的图像关于直线x=π对称,其中为常数,且 ‎(1)求函数的最小正周期;‎ ‎(2)若y=f(x)的图像经过点,求函数在区间上的取值范围。‎ ‎(1)函数的图像关于直线x=π对称,所以 又,所以的周期为 ‎(2)若y=f(x)的图像经过点,则有,所以 ‎,函数在区间上的取值范围为 ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列前三项的和为-3,前三项的积为8.‎ ‎(1)求等差数列的通项公式;‎ ‎(2)若成等比数列,求数列的前n项的和。‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图1,∠ACB=45°,BC=3,过动点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90°(如图2所示),‎ ‎(1)当BD的长为多少时,三棱锥A-BCD的体积最大;‎ ‎(2)当三棱锥A-BCD的体积最大时,设点E,M分别为棱BC,AC的中点,试在棱CD上确定一点N,使得EN⊥BM,并求EN与平面BMN所成角的大小 ‎20.(本小题满分12分)‎ 根据以往的经验,某工程施工期间的将数量X(单位:mm)对工期的影响如下表:‎ 降水量X X<300‎ ‎300≤X<700‎ ‎700≤X<900‎ X≥900‎ 工期延误天数Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:‎ ‎(I)工期延误天数Y的均值与方差;‎ ‎(Ⅱ)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率。‎ ‎21.(本小题满分13分)‎ 设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与轴的交点,点在直线上,且满足.当点在圆上运动时,记点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求焦点坐标;‎ ‎(2)过原点且斜率为的直线交曲线于两点,其中在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线交曲线于另一点,是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ ‎(1)已知函数,其中为有理数,且.求的最小值;‎ ‎(2)试用(1)的结果证明如下命题:‎ 设为正有理数,若,则;‎ ‎(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题。注:当为正有理数时,有求导公式
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