2020高考二轮复习导数
第3讲 导数的简单应用
[全国卷3年考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2019
求切线方程·T13
利用导数讨论函数的单调性及公切线问题·T20
已知切线方程求参数·T6
利用导数研究函数的极值点·T20
利用导数讨论函数的单调性及最值问题·T20
2018
奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程·T5
利利用导数的几何意义求切线方程·T13
利用导数的几何意义求参数值·T14
利用导数讨论函数的单调性·T21(1)
2017
利用导数讨论函数的单调性·T21(1)
导数的运算、利用导数求函数极值·T11
利用导数研究函数单调性求参数·T21(1)
(1)高考对导数的几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问．
(2)高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等；有时也出现在解答题第一问．
(3)近几年全国课标卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能忽略．
考点一 导数的几何意义
[例1] (1)(2019·福州市第一学期抽测)曲线f(x)＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.2 B. C. D.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1
(3)(2019·成都市第二次诊断性检测)已知直线l既是曲线C1：y＝ex的切线，又是曲线C2：y＝e2x2的切线，则直线l在x轴上的截距为( )
A.2 B.1
C.e2 D.－e2
1．(2019·武汉市调研测试)设曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲线C上一点M(1，－4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．
3．(2019·广州市综合检测(一))若函数f(x)＝ax－的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，4)，则a＝________．
考点二 利用导数研究函数的单调性
题型一 求函数的单调区间或判断函数的单调性
[例2] 已知函数f(x)＝ln(x＋1)－，且1
0时，x<－1或x>2；
②f′(x)<0时，－10，曲线f(x)＝3x2－4ax与曲线g(x)＝2a2ln x－b有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b的最小值为( )
A．0 B.－
C．－ D.－
6．若函数f(x)＝ex－(m＋1)ln x＋2(m＋1)x－1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为( )
A．(－e2，－e) B.
C. D.(－∞，－e－1)
二、填空题
7．已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是________．
8．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为________．
9．若函数f(x)＝x＋aln x不是单调函数，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
10．(2019·江西七校第一次联考)已知函数f(x)＝ex(x2－2x＋a)(其中a∈R，a为常数，e为自然对数的底数)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设曲线y＝f(x)在(a，f(a))处的切线为l，当a∈[1，3]时，求直线l在y轴上截距的取值范围．
11．(2019·重庆市学业质量调研)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＋.
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)为增函数，且f(x)的图象与直线y＝bx有3个交点，求b的取值范围．
12．(2019·长春市质量监测(一))已知函数f(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x(其中常数a≠0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且在(0，e]上的最大值为1，求实数a的值．
B组
1．已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性．
2．已知函数f(x)＝，其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若直线x－y－1＝0是曲线y＝f(x)的切线，求实数a的值；
(3)设g(x)＝xln x－x2f(x)，求g(x)在区间[1，e]上的最小值．(其中e为自然对数的底数)
3．设函数f(x)＝ln(x＋a)－x.
(1)若直线l：y＝－x＋ln 3－是函数f(x)的图象的一条切线，求实数a的值；
(2)当a＝0时，关于x的方程f(x)＝x2－x＋m在区间[1，3]上有解，求m的取值范围．
4．已知常数a≠0，f(x)＝aln x＋2x.
(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；
(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．
第4讲 导数的综合应用
[全国卷3年考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2019
利用导数研究函数的极值、零点问题·T20
利用导数研究函数的单调性、零点以及曲线的公切线问题·T20
利用导数研究函数的单调性、最值问题·T20
2018
利用导数研究函数的单调性、函数极值与不等式证明·T21
函数的单调性、不等式的证明、函数的零点问题·T21
导数在研究不等式及极值问题的应用·T21
2017
利用导数研究函数的单调性、函数的零点问题·T21
利用导数研究函数的单调性及极值、函数的零点、不等式的证明·T21
导数在研究函数单调性中的应用、不等式的放缩·T21
导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程等的交汇命题，是高考的热点和难点．
解答题的热点题型有：
(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式或探讨方程根；(3)利用导数求解参数的范围或值．
第1课时 导数与不等式
考点一 单变量不等式的证明
[例1] (2019·湖北部分重点中学高三测试)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当x>1时，g(x)>0；
(3)如果f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a的取值范围．
1．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝λ(x2－1)(λ为常数)．
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处有相同的切线，求实数λ的值；
(2)若λ＝，且x≥1，证明：f(x)≤g(x)．
2．已知函数f(x)＝aex－bln x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋1.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>0.
考点二 双变量不等式的证明
[例2] 已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R.
(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，证明：x1＋x2≥.
(2019·昆明市诊断测试)已知函数f(x)＝2ln x－x＋.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若a>0，b>0，证明：<<.
考点三 不等式的恒成立问题
[例3] 已知函数f(x)＝xln x，若对于所有x≥1都有 f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．
(2019·江西省五校协作体试题)已知函数f(x)＝ln x－a(x－1)(a∈R)．
(1)若a＝－2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若不等式f(x)<0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
[例4] 已知函数f(x)＝x－aln x，g(x)＝－(a∈R)．若在[1，e]上存在一点x0，使得f(x0)x2＋2.
2．设函数f(x)＝2ln x－mx2＋1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当f(x)有极值时，若存在x0，使得f(x0)>m－1成立，求实数m的取值范围．
3．(2019·贵阳模拟)已知函数f(x)＝(m≥0)，其中e为自然对数的底数．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若m∈(1，2)，证明：当 x1，x2∈[1，m]时，f(x1)>－x2＋1＋恒成立．
4．(2019·武汉市调研测试)已知函数f(x)＝ex＋1－aln(ax)＋a(a>0)．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若关于x的不等式f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
第2课时 导数与函数的零点问题
考点一 确定函数零点的个数
[例1] (2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：
(1)f′(x)在区间存在唯一极大值点；
(2)f(x)有且仅有2个零点．
(2019·广东省七校联考)已知函数f(x)＝ln x＋ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a<0时，求函数f(x)的零点个数．
考点二 根据函数零点的个数确定参数的取值范围
[例2] 已知函数f(x)＝xex－a(x＋1)2.
(1)若a＝e，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
(2019·江西八所重点中学联考)已知函数f(x)＝ax－a＋1－(其中a为常数，且a∈R)．
(1)若函数f(x)为减函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围，并说明理由．
考点三 函数零点性质的探索与证明
[例3] (2019·陕西榆林一模)已知函数f(x)＝x2－2.
(1)已知函数g(x)＝f(x)＋2(x＋1)＋aln x在区间(0，1)上单调，求实数a的取值范围；
(2)函数h(x)＝ln(1＋x2)－f(x)－k有几个零点？
已知函数f(x)＝(x－1)ex－mx2＋2，其中m∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)当m＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当常数m∈(2，＋∞)时，函数f(x)在[0，＋∞)上有两个零点x1，x2(x1ln.
【课后专项练习】
1．(2019·济南市模拟考试)已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a>0)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若1
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