2018版高考数学(理)(苏教版,江苏专用)大一轮教师文档讲义:第九章9-4直线与圆、圆与圆的位置关系

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2018版高考数学(理)(苏教版,江苏专用)大一轮教师文档讲义:第九章9-4直线与圆、圆与圆的位置关系

‎1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 ‎(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.‎ dr⇔相离.‎ ‎(2)代数法: ‎2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r(r1>0),‎ 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r(r2>0).‎ 方法 位置关系 几何法:圆心距d与r1,r2的关系 代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1+r2‎ 无解 外切 d=r1+r2‎ 一组实数解 相交 ‎|r1-r2|1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d==<1.‎ 所以直线与圆相交.‎ ‎(2)直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),‎ ‎∵12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,‎ ‎∴点(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内.‎ ‎∴直线2tx-y-2-2t=0与圆x2+y2-2x+4y=0相交.‎ 思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 ‎(1)几何法:利用d与r的关系.‎ ‎(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.‎ ‎(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.‎ 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.‎ ‎ (2016·江苏省扬州中学月考)已知方程x2+-=0有两个不等实根a和b ‎,那么过点A(a,a2),B(b,b2)的直线与圆x2+y2=1的位置关系是________.‎ 答案 相切 解析 由题意可知过A,B两点的直线方程为(a+b)x-y-ab=0,圆心到直线AB的距离d=,而a+b=-,ab=-,因此d=,‎ 化简后得d=1,故直线与圆相切.‎ 题型二 圆与圆的位置关系 例2 (1)(2016·山东改编)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是________.‎ ‎(2)如果圆C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆O:x2+y2=4总相交,那么实数a的取值范围是______________________.‎ 答案 (1)相交 (2)(-2,0)∪(0,2)‎ 解析 (1)∵圆M:x2+(y-a)2=a2(a>0),‎ ‎∴圆心坐标为M(0,a),半径r1为a,‎ 圆心M到直线x+y=0的距离d=,‎ 由勾股定理得2+()2=a2,解得a=2.‎ ‎∴M(0,2),r1=2.‎ 又圆N的圆心坐标N(1,1),半径r2=1,‎ ‎∴MN==,r1+r2=3,r1-r2=1.‎ ‎∴r1-r2<MN<r1+r2,∴两圆相交.‎ ‎(2)圆C的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=4,圆心坐标为(a,a),半径为2.‎ 依题意得0<<2+2,∴0<|a|<2.‎ ‎∴a∈(-2,0)∪(0,2).‎ 思维升华 判断圆与圆的位置关系时,一般用几何法,其步骤为 ‎(1)确定两圆的圆心坐标和半径长.‎ ‎(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d,求r1+r2,|r1-r2|.‎ ‎(3)比较d,r1+r2,|r1-r2|的大小,写出结论.‎ ‎ 已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.‎ ‎(1)m取何值时两圆外切;‎ ‎(2)m取何值时两圆内切;‎ ‎(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.‎ 解 (1)两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,‎ ‎(x-5)2+(y-6)2=61-m,‎ 圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为和.‎ 当两圆外切时,‎ =+,‎ 解得m=25+10.‎ ‎(2)当两圆内切时,因为定圆的半径小于两圆圆心间距离5,‎ 故只有-=5,解得m=25-10.‎ ‎(3)两圆的公共弦所在直线方程为 ‎(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,‎ 即4x+3y-23=0,所以公共弦长为 ‎2 =2.‎ 题型三 直线与圆的综合问题 命题点1 求弦长问题 例3 (2016·全国丙卷)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若AB=2,则CD=________.‎ 答案 4‎ 解析 设AB的中点为M,由题意知,圆的半径R=2,AB=2,所以OM=3,解得m=-,由解得A(-3,),B(0,2),则AC的直线方程为y-=-(x+3),‎ BD的直线方程为y-2=-x,令y=0,解得C(-2,0),D(2,0),所以CD=4.‎ 命题点2 直线与圆相交求参数范围 例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)若·=12,其中O为坐标原点,求MN.‎ 解 (1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1,‎ 因为l与C交于两点,所以<1.‎ 解得0},N={(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a>0},且M∩N≠∅,求a的最大值和最小值.‎ 解 M={(x,y)|y=,a>0},即{(x,y)|x2+y2=2a2,y≥0},‎ 表示以原点O为圆心,半径等于a的半圆(位于横轴或横轴以上的部分).‎ N={(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a>0},‎ 表示以O′(1,)为圆心,半径等于a的一个圆.‎ 再由M∩N≠∅,可得半圆和圆有交点,‎ 故半圆和圆相交或相切.‎ 当半圆和圆相外切时,由OO′=2=a+a,‎ 得a=2-2;‎ 当半圆和圆相内切时,由OO′=2=a-a,‎ 得a=2+2,‎ 故a的取值范围是[2-2,2+2],‎ 即a的最大值为2+2,最小值为2-2.‎ ‎*13.(2016·湖南六校联考)已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解 (1)设圆心C(a,0)(a>-),‎ 则=2⇒a=0或a=-5(舍).‎ 所以圆C的方程为x2+y2=4.‎ ‎(2)当直线AB⊥x轴时,x轴平分∠ANB.‎ 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,‎ 所以x1+x2=,x1x2=.‎ 若x轴平分∠ANB,‎ 则kAN=-kBN⇒+=0‎ ‎⇒+=0‎ ‎⇒2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0‎ ‎⇒-+2t=0⇒t=4,‎ 所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.‎
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