2014年版高考数学专题目10圆锥曲线考二轮难点解析

2014年版高考数学专题目10圆锥曲线考二轮难点解析

专题10 圆锥曲线-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练 ‎(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B级要求；‎ ‎(2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A级要求；‎ ‎(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A级要求；曲线与方程，A级要求.‎ ‎（4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题.‎ ‎1．圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝‎2a(‎2a>|F‎1F2|)；‎ ‎(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝‎2a(‎2a<|F‎1F2|)．‎ ‎2．圆锥曲线的标准方程 ‎(1)椭圆：＋＝1(a>b>0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a>b>0)(焦点在y轴上)；‎ ‎(2)双曲线：－＝1(a>0，b>0)(焦点在x轴上)或－＝1(a>0，b>0)(焦点在y轴上)．‎ ‎3．圆锥曲线的几何性质 ‎(1)椭圆：e＝＝；‎ ‎(2)双曲线：①e＝＝.‎ ‎②渐近线方程：y＝±x或y＝±x.‎ ‎4．求圆锥曲线标准方程常用的方法 ‎(1)定义法 ‎(2)待定系数法 ‎①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义；‎ ‎②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为＋＝1(m＞0，n＞0)；‎ 双曲线方程可设为－＝1(mn＞0)．‎ 这样可以避免讨论和繁琐的计算．‎ ‎5．求轨迹方程的常用方法 ‎(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；‎ ‎(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；‎ ‎(3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；‎ 注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.‎ ‎6．有关弦长问题 有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．‎ ‎(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝ |x2－x1|或|P1P2|＝|y2－y1|.‎ ‎(2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算．‎ ‎7．圆锥曲线中的最值 ‎(1)椭圆中的最值 F1，F2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有 ‎①|OP|∈[b，a]；‎ ‎②|PF1|∈[a－c，a＋c]；‎ ‎③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；‎ ‎④∠F1PF2≤∠F1BF2.‎ ‎(2)双曲线中的最值 F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有 ‎①|OP|≥a；‎ ‎②|PF1|≥c－a.‎ ‎8．定点、定值问题 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．‎ ‎9．解决最值、范围问题的方法 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.‎ 考点1、圆锥曲线的定义与标准方程 ‎【例1】 设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是________________．‎ ‎【解析】　法一　＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，根据定义‎2a＝|－|＝4，故a＝2.又b2＝32－22＝5，故所求双曲线方程为－＝1.‎ 法二　＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，‎ eq f(16,a2)－＝1，解得a2＝4，b2＝5，故所求双曲线方程为－＝1.‎ ‎【方法技巧】本例可有三种解法：一是根据双曲线的定义直接求解，二是待定系数法；三是共焦点曲线系方程，其要点是根据题目的条件用含有一个参数的方程表示共焦点的二次曲线系，再根据另外的条件求出参数．‎ ‎【变式探究】 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为____________．‎ 考点2、圆锥曲线的几何性质 ‎【例2】 (2013·浙江卷改编)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．‎ ‎【规律方法】求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出a，c，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于a，c的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．‎ ‎【变式探究】(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝________.‎ ‎(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为‎2c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标为c，则椭圆的离心率为________．‎ 考点3、求动点的轨迹方程 ‎【例3】 在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．‎ ‎(1)求椭圆的离心率e；‎ ‎(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足A·B＝－2，求点M的轨迹方程．‎ ‎【规律方法】(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解．‎ ‎(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．‎ ‎【变式探究】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.‎ 当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.‎ 综上，|AB|＝2或.‎ 难点一、圆锥曲线的弦长问题 ‎【例1】 如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)已知△AF1B的面积为40 ，求a，b的值．‎ 法二　设|AB|＝t.‎ 因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.‎ 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝‎2a，可知|BF1|＝‎3a－t.‎ 再由余弦定理(‎3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°，‎ 可得t＝a.由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40，‎ 知a＝10，b＝5.‎ ‎【规律方法】在【解析】几何问题中，转化题目条件或者设参数解决问题时，根据题目条件，选择适当的变量是解题的一个关键，能够起到简化运算的作用(本例中可设|AB|＝t)．‎ ‎【变式探究】 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，A＝‎2F.‎ ‎(1) 求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程．‎ 难点二、定点、定值问题 ‎【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C∶＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．‎ ‎ ‎ ‎【规律方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．‎ ‎(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．‎ ‎【变式探究】 (2013·安徽卷)设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．‎ ‎(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．‎ 难点三、最值、范围问题 ‎【例3】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： ＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.‎ ‎(1)求M的方程；‎ ‎(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ABCD面积的最大值．‎ ‎ ‎ 所以四边形ACBD面积的最大值为|AB|·|CD|＝.‎ ‎[规律方法] 求最值或求范围问题常见的解法有两种：‎ ‎【变式探究】 已知椭圆C：＋y2＝1(常数m＞1)，P是曲线C上的动点，M是曲线C的右顶点，定点A的坐标为(2,0)．‎ ‎(1)若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；‎ ‎(2)若m＝3，求PA的最大值与最小值；‎ ‎(3)若PA的最小值为MA，求实数m的取值范围．‎ ‎1．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．‎ ‎2．(2013·福建卷)椭圆T：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为‎2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF‎1F2＝2∠MF‎2F1，则该椭圆的离心率等于________．‎ ‎3．已知双曲线C与椭圆＋＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于________．‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋ ‎)＝0恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2＋.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设(m，n)是椭圆C上的任意一点，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx＋ny＝1和l2：mx＋ny＝4的位置关系．‎ ‎5．已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，过点A(－2，－1)椭圆C∶＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，短轴端点为B1、B2，·＝2b2.‎ ‎(1)求a、b的值；‎ ‎(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与y轴的交点为R.过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ·AR＝3OP2，求直线l的方程．‎ 所以a＝2，b＝.‎ ‎7．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．‎ ‎8．已知A、B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B)，且满足＋＝λ(＋)，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，则k3＋k4＝________.‎ ‎9．在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(2，1)到两焦点的距离之和为4.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A，B两点，其中点A在x轴下方，且＝3.求过O，A，B三点的圆的方程．‎ ‎ ‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＜0，y2＞0)．点F的坐标为F(3，0)．‎ 则＝3，得 即①‎ 又点A，B在椭圆C上，‎ ‎10．(2013·浙江卷)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．‎ ‎11．已知椭圆的焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|＝3.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．‎ 有f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤＝3，‎ 当t＝1，m＝0时，S△F1MN＝3，又S△F1MN＝4R，‎