近五年高考数学试题理科及解答全过程

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近五年高考数学试题理科及解答全过程

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修I)‎ 一、选择题 ‎1.复数,为z的共轭复数,则 ‎ (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i ‎ ‎2. 函数的反函数为 ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎3.下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎4.设为等差数列的前n项和,若,公差,则k=‎ ‎ (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5‎ ‎5.设函数,将的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则的最小值等于 ‎ (A) (B) 3 (C) 6 (D) 9‎ ‎6.已知直二面角,点为垂足,为垂足,若,则D到平面ABC的距离等于 ‎ (A) (B) (C) (D) 1‎ ‎7.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4为朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有 ‎ (A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 ‎8.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为 ‎ (A) (B) (C) (D) 1‎ ‎9.设是周期为2的奇函数,当时,,则 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎10.已知抛物线C:的焦点为F,直线与C交于A、B两点,则 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎11.已知平面截一球面得圆M,过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N,脱该球面的半径为4.圆M的面积为,则圆N的面积为 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎12. 设向量满足,则的最大值对于 ‎ (A) 2 (B) (C) (D) 1‎ 二、填空题 ‎13. 的二项展开式中,的系数与的系数之差为 .‎ ‎14. 已知,,则 .‎ ‎15. 已知分别为双曲线的左、右焦点,点,点M的坐标为,AM为的角平分线,则 .‎ ‎16. 已知点E、F分别在正方体 的棱上,且, ,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 的内角A、B、C的对边分别为。已知,求C ‎ ‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立。‎ ‎ (Ⅰ)求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;‎ ‎ (Ⅱ)X表示该地的100为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X的期望。‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图,四棱锥S-ABCD中,,侧面SAB为等边三角形,‎ AB=BC=2,CD=SD=1. ‎ ‎ (Ⅰ)证明:;‎ ‎ (Ⅱ)求AB与平面SBC所成的角的大小。‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 设数列满足 ‎ (Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)设,记,证明:。‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知O为坐标原点,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为的直线与C交于A、B两点,点P满足 ‎ ‎ (Ⅰ)证明:点P在C上;‎ ‎ (Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一个圆上。‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ ‎ (Ⅰ)设函数,证明:当时,‎ ‎ (Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽到的20个号码互不相同的概率为,证明:‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)‎ 数学试题参考答案 一、选择题:‎ ‎1. B 2. B 3. A 4. D 5.C ‎6. C 7. B 8. A 9. A 10.D 11. D 12. A 二、填空题: 13. 0 14. 15. 6 16. ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 解:由,得 故,‎ 由,‎ 故,‎ 又显然,故,再由,‎ 解得:,于是 ‎18.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)设购买乙种保险的概率为,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3‎ 故,‎ 所以该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为 ‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)易知,甲、乙两种保险都不购买的概率为 所以有X个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 显然,X服从二项分布,即,‎ 所以 X的期望为20‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎(Ⅰ)证明:在直角梯形ABCD中,AB=BC=2,CD=1, ,‎ 易算得:,‎ 又因为侧面SAB为等边三角形,SD=1,AB=2,‎ 所以,‎ 于是,,‎ 所以 ‎(Ⅱ)设点A到平面SBC的距离为d,‎ 因为,所以,从而,‎ 因而可以算得:,又,故 又因为,所以点C到平面SAB的距离为 另外,显然,‎ 所以 得:‎ 设AB与平面SBC所成的角为,则 ‎,‎ 即AB与平面SBC所成的角为(显然是锐角)‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)由得:‎ 数列是等差数列,首项为 故,从而 ‎ (Ⅱ)‎ 所以 ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎(Ⅰ)证明:易知:,故:,代入椭圆方程得:,‎ 设,则,,‎ 因为所以 ‎,将此坐标代入椭圆:,‎ 所以点P在C上。‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ):及,得 ‎,因为,所以 于是可以算得:,,,‎ ‎,,‎ 于是四边形APBQ对角互补,从而A、P、B、Q四点在同一个圆上。‎ ‎22 .(本小题满分12分) ‎ 证明:(Ⅰ)时,,‎ 于是在上单调增,所以 ‎(Ⅱ)‎ ‎ (共有对数相乘)‎ 由(Ⅰ),时,也有,‎ 故在上单调增,所以 即 即,两边同时取的对数得:‎ 综上所述:‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 ‎ ‎ 一、选择题 ‎(1)复数 ‎(A)i (B) (C)12-13 (D) 12+13‎ ‎(2)记,那么 A. B. - C. D. -‎ ‎(3)若变量满足约束条件则的最大值为 ‎(A)4 (B)3 (C)2 (D)1‎ ‎(4)已知各项均为正数的等比数列{}中,=5,=10,则=‎ ‎ (A) (B) ‎7 ‎ (C) 6 (D) ‎ ‎(5)的展开式中x的系数是 ‎(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4‎ ‎(6)某校开设A类选修课3门,B类选择课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 ‎(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种 ‎(7)正方体ABCD-中,B与平面AC所成角的余弦值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)设a=2,b=ln2,c=,则 ‎(A) a
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