1992高考数学全国卷及答案文

1992高考数学全国卷及答案文

‎1992年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）‎ 考生注意：这份试卷共三道大题(28个小题).满分120分.考试时间120分钟.用钢笔直接答在试卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚.‎ 一．选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分.在每小题给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题中括号内. ‎ ‎(1)的值是 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) 1‎ ‎(C) ‎ ‎(D) 2‎ ‎(2)已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离是 ( )‎ ‎(A) 2‎ ‎(B) 3‎ ‎(C) 5‎ ‎(D) 7‎ ‎(3)如果函数y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是4π,那么常数ω为( )‎ ‎(A) 4‎ ‎(B) 2‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(4)在()8的展开式中常数项是 ( )‎ ‎(A) －28‎ ‎(B) －7‎ ‎(C) 7‎ ‎(D) 28‎ ‎(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是 ( )‎ ‎(A) 6∶5‎ ‎(B) 5∶4‎ ‎(C) 4∶3‎ ‎(D) 3∶2‎ ‎(6)图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图像.已知n取±2，±四个值，则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为 ( )‎ ‎(A) －2，，2‎ ‎(B) 2，，－2‎ ‎(C) －2，2，‎ ‎(D) 2，－2，－‎ ‎(7)若loga2< logb2<0，则 ( )‎ ‎(A) 0b>1‎ ‎(D) b>a>1‎ ‎(8)原点关于直线8x＋6y=25的对称点坐标为 ( )‎ ‎(A) ()‎ ‎(B) ()‎ ‎(C) (3，4)‎ ‎(D) (4，3)‎ ‎(9)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )‎ ‎(A) 1个 ‎(B) 2个 ‎(C) 3个 ‎(D) 4个 ‎(10)圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( )‎ ‎(A) x2＋y2－x－2y－=0‎ ‎(B) x2＋y2＋x－2y＋1=0‎ ‎(C) x2＋y2－x－2y＋1=0‎ ‎(D) x2＋y2－x－2y＋=0‎ ‎(11)在[0，2π]上满足sinx≥的x的取值范围是 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(12)已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x，如果l1的方程是ax＋by＋c=0(ab>0)，那么l2的方程是 ( )‎ ‎(A) bx＋ay＋c=0‎ ‎(B) ax－by＋c=0‎ ‎(C) bx＋ay－c=0‎ ‎(D) bx－ay＋c=0‎ ‎(13)如果α，β∈(，π)且tgα‎ ‎(14)在棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M和N分别 为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(15)已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为 ( )‎ ‎(A) 1‎ ‎(B) 2‎ ‎(C) ‎ ‎(D) 3‎ ‎(16)函数y=的反函数 ( )‎ ‎(A) 是奇函数，它在(0，＋∞)上是减函数 ‎(B) 是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数 ‎(C) 是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数 ‎(D) 是偶函数，它在(0，＋∞)上是增函数 ‎(17)如果函数f(x)=x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)=f(2－t)，那么 ( )‎ ‎(A) f(2)0，S13<0.‎ ‎(Ⅰ)求公差d的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)指出S1，S2，…S12中哪一个值最大，并说明理由.‎ ‎1992年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（文史类）参考答案及评分标准 说明：‎ 一．本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.‎ 二．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分.‎ 三．为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤.‎ 四．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ 五．只给整数分数.‎ 一、选择题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分，满分54分.‎ ‎(1)A (2)D (3)D (4)C (5)D (6)B (7)B (8)D (9)D ‎(10)D (11)B (12)A (13)C (14)D (15)D (16)C (17)A (18)C 二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分，满分15分.‎ ‎(19) (20) (21)x=－1 (22) (23)‎ 三、解答题 ‎(24)本小题主要考查三角函数恒等变形知识和运算能力.满分9分.‎ 解 sin220º+cos280º＋sin220ºcos80º ‎=(sin100º－sin60º) ——3分 ‎=1＋(cos160º－cos40º)+sin100º－ ——5分 ‎=－·2sin100ºsin60º＋sin100º ——7分 ‎=－sin100º＋sin100º ‎=. ——9分 ‎(25)本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识.满分10分.‎ 解 设 z=x＋yi (x，y∈R).‎ 依题意有 x＋yi－2=－7+4i ——2分 由复数相等的定义，得 ‎①②‎ ‎ ——5分 将②代入①式，得 x－2=－7.‎ 解此方程并经检验得 x1=3， x2=. ——8分 ‎∴ z1 =3＋4i， z2=＋4i. ——10分 ‎(26)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分10分.‎ 解法一 ∵ EB=BF=FD1=D1E==a，‎ ‎∴ 四棱锥A1－EBFD1的底面是菱形. ——2分 连结A‎1C1、EF、BD1，则A‎1C1∥EF.‎ 根据直线和平面平行的判定定理，A‎1C1平行于A1－EBFD1的底面，从而A‎1C1到底面EBFD1的距离就是A1－EBFD1的高 ——4分 设G、H分别是A‎1C1、EF的中点，连结D‎1G、GH，则FH⊥HG， FH⊥HD1‎ 根据直线和平面垂直的判定定理，有 FH⊥平面HGD1，‎ 又，四棱锥A1－EBFD1的底面过FH，根据两平面垂直的判定定理，有 A1－EBFD1的底面⊥平面HGD1.‎ 作GK⊥HD1于K，根据两平面垂直的性质定理，有 GK垂直于A1－EBFD1的底面. ——6分 ‎∵ 正方体的对角面AA1CC1垂直于底面A1B‎1C1D1,∴ ∠HGD1=90º.‎ 在Rt△HGD1内，GD1=a，HG=a，HD1==a.‎ ‎∴ a·GK=a·a，从而GK=a. ——8分 ‎∴ =·GK ‎=··EF·BD1·GK ‎=·a·a·a=a3 ——10分 解法二 ∵ EB=BF=FD1=D1E==a，‎ ‎∴ 四菱锥A1－EBFD1的底面是菱形. ——2分 连结EF，则△EFB≌△EFD1.‎ ‎∵ 三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1等底同高，‎ ‎∴ .‎ ‎∴ . ——4分 又 ，‎ ‎∴ ， ——6分 ‎∵ CC1∥平面ABB‎1A1，‎ ‎∴ 三棱锥F－EBA1的高就是CC1到平面ABB‎1A1的距离，即棱长a. ——8分 又 △EBA1边EA1上的高为a.‎ ‎∴ =2···a=a3. ——10分 ‎(27)本小题主要考查有关直线方程的知识及综合运用知识的能力.满分10分.‎ 解 由 ‎ 得 顶点A(－1，0). ——2分 又，AB的斜率 kAB==1.‎ ‎∵ x轴是∠A的平分线，‎ 故AC的斜率为－1，AC所在直线的方程为 y=－(x＋1) ① ——5分 已知BC上的高所在直线的方程为x－2y＋1=0，故BC的斜率为－2，BC所在的直线方程为 y－2=－2(x－1) ② ——8分 解①，②得顶点C的坐标为(5，－6). ——10分 ‎(28)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力.满分12分.‎ 解(Ⅰ)依题意，有 ‎·d>0，‎ ‎·d<0.‎ ‎①‎ ‎②‎ 即 ——4分 由a3=12，得 a1＋2d=12. ③‎ 将③式分别代入①、②式，得 解此不等式组得 ‎－ ——6分 ‎(Ⅱ)解法一 由d<0可知 ‎ a1> a2> a3>…> a12> a13.‎ 因此，若1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+1<0，‎ 则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值. ——9分 由于 S12=6(a6+a7)>0，‎ ‎ S13=‎13a7<0，‎ 即 a6+a7>0，‎ a7<0，‎ 由此得 a6>－a7>0.‎ 因 a6>0，a7<0.‎ 故在S1，S2，…，S12中S6的值最大.‎ ‎(Ⅱ)解法二 Sn=na1＋‎ ‎ =n(12－2d)＋n(n－1)d ‎ =[n－(5－)]2－,‎ ‎∵ d<0，‎ ‎∴ [n－(5－)]2最小时，Sn最大. ——9分 当 －时 ‎6<(5－)<6.5，‎ ‎∴ 正整数n=6时[n－(5－)]2最小，‎ ‎∴ S6最大. ——12分 ‎(Ⅱ)解法三 由d<0可知 a1> a2> a3>…> a12> a13.‎ 因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+1<0，‎ 则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值. ——9分 ‎ ‎ ‎ ‎ 故在S1，S2，…，S12中S6的值最大. ——12分 注：如果只答出S6的值最大，而未说明理由者，在(Ⅱ)中只给3分.‎