高考中的二项式定理问题分类解析

高考中的二项式定理问题分类解析

高考中的二项式定理问题分类解析 二项式定理问题相对独立，高考对二项式定理的考查，以二项展开式及其通项公式内容为主，题型繁多，解法灵活且较难掌握。本文结合近年来的高考试题，将二项式定理的问题归为十类进行解法探讨，希望能对大家的学习有所帮助。‎ 1． 确定二项式中有关元素 ‎ 例1（1994年全国高考题）在展开式中，x5的系数是x6系数与x4系数的等差中项，则m=____________。‎ ‎ 解：依题意，，∴42m2=7m+35m3，‎ ‎ 结合得，m=1 。‎ 2． 求二项展开式中的常数项 例2（2001年上海高考题）在展开式中，常数项为__________。‎ ‎ 解：‎ ‎ 令6-r-2r=0得，r=2 ，所以常数项为 。‎ 3． 求二项展开式中条件项的系数 例3（2001年全国高考题）在的二项展开式中，x3的系数为_____________。‎ ‎ 解：‎ ‎ 令10-r=3得，r=7，所以x3的系数为 。‎ 例4（1999年上海高考题）在的展开式中，含x5项的系数是_____________。‎ ‎ 解：‎ ‎ 令15-5r=5得，r=2，所以含x5项的系数是 。‎ 4． 确定和（积）展开式中条件项系数 例5（1990年全国高考题）在的展开式 中，x2的系数等于_____________。‎ ‎ 解：x2的系数等于四个展开式中含x2的系数和，即为 ‎ 。‎ 例6（1998年全国高考题）在的展开式中x10的系数为__________。‎ 解：的展开式中x10的项为的展开式中x10 、x8‎ 的项分别与(-1)、x2相乘而得的和。因此x10的系数为： 。‎ 1． 求展开式各项系数和（差）‎ 例7（1989年全国高考题）如果，那么a1+a2+…‎ ‎+a7的值等于 （ ）‎ ‎ A -2 B -1 C 1 D 2‎ 解：令x=0，则有a0=(1-20)7=1 ；‎ 令x=1，则有a0+a1+a2+…+a7 =(1-21)7= -1 。‎ ‎∴a1+a2+…+a7= -1-1= -2 。‎ 例8（1999年全国高考题）若，则 的值为 （ ）‎ ‎ A 1 B -1 C 0 D 2‎ ‎ 解：令x=1，则有a0+a1+a2+a3+a4 =‎ ‎ 令x= -1，则有a0-a1+a2-a3+a4 = ，从而 ‎ ‎ ‎ 故选（A） 。‎ 2． 确定展开式的最大（小）项 ‎ 例9（1993年上海高考题）(x-1)9按x降幂排列的展开式中，系数最大的项是 （ ）‎ A 第4项和第5项 B 第5项 C 第5项和第6项 D 第6项 ‎ 解：根据二项式系数的性质，(x-1)9的展开式中的中间两项即第5项和第6项的二项式系数相等，同时取得最大值。但考察项的系数时，第6项系数需乘以（-1）得负，而第5项的系数为正，因此只有第5项的系数最大，而第6项的系数最小，选（B）。‎ 3． 求展开式有理数的项数 例10（1993年全国高考题）将展开所得的x的多项式中系数为有理数 的项共有 （ ）‎ A 50项 B 17项 C 16项 D 15项 ‎ 解：‎ ‎ 由于是整数，要使系数为有理数，当且仅当均为整数，即r是6的倍数。而在0到100之间6的倍数共有17个，故选（B）。‎ 4． 利用二项式定理解整除问题 例11（1992年“三南”高考题）除以100的余数是________________。‎ ‎ 解：‎ ‎=‎ ‎ ∴除以100的余数是81 。‎ 1． 利用二项式定理进行近似计算 例12（1996年全国高考题）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增 加22℅，人均粮食占有量比现在提高10℅，如果人口年增长率为1℅，那么耕地平均每年至多减少多少公顷（精确到1公顷）？‎ ‎ 解：设耕地平均每年至多减少x公顷，又设该地区现有人口P人，粮食单产M吨/公顷。‎ 依题意得，‎ 化简得 ‎∵‎ ‎∴，即耕地平均每年至多只能减少4公顷。‎ ‎10．与其它数学知识交汇考查 例13（2003年上海高考题）已知数列｛an｝（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列。（1）求和：，；（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明。‎ 解：（1）=a1－2a1q＋a1q2=a1(1－q)2；‎ ‎ = a1－3a1q＋3a1q2－a1q3=a1(1－q)3。‎ ‎ （2）归纳概括的结论为：若数列｛an｝是首项为a1，公比为q的等比数列，则，n为正整数。证明如下： ‎ ‎ ‎ ‎ 。‎ 评述：本题是二项式定理知识与数列知识的综合应用。‎ 例14（2003年江苏高考题）若a＞0，n，设y=（x－a）n，求证：y ’=n（x－a）n；‎ 证明：根据二项式定理可得，（x－a）n=‎ 所以y ’=。 ‎ 评述：本题是2003年江苏高考第21题的第（1）小问，它很好地体现了二项式定理与导数知识的交汇作用。‎