1996年全国高考数学试题

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1996年全国高考数学试题

一九九六年全国高考数学试题 理科试题 一.选择题:本题共15个小题;第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分,共65分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)已知全集I=N,集合,。则 ( C )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)当时,在同一坐标系中,函数与的图象是 ( A )‎ ‎(A) y (B) y (C) y (D) y ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ o 1 x o 1 x o 1 x o 1 x ‎ ‎(3)若,则x的取值范围是 ( D )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(4)复数等于 ( B )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(5)如果直线、与平面、、满足:和,那么必有 ( A )‎ ‎(A)且 (B)且 ‎(C)且 (D)且 ‎(6)当时,函数的 ( D )‎ ‎(A)最大值是1,最小值是-1‎ ‎(B)最大值是1,最小值是 ‎(C)最大值是2,最小值是-2‎ ‎(D)最大值是2,最小值是-1‎ ‎(7)椭圆的两个焦点坐标是 ( B )‎ ‎(A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3),(3,-5)‎ ‎(C)(1,1),(-7,1) (D)(7,-1),(-1,-1)‎ ‎(8)若,则等于 ( A )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(9)将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=,则三棱锥D-ABC的体积为 ( D )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(10)等比数列的首项,前n项和为,若,则等于 ( B )‎ ‎(A) (B) (C)2 (D)-2‎ ‎(11)椭圆的极坐标方程为,则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 ( C )‎ ‎(A)(3,0),(1,) (B)(),()‎ ‎(C)(2,),(2,) (D)(),()‎ ‎(12)等差数列的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为 ( C )‎ ‎(A)130 (B)170 (C)210 (D)260‎ ‎(13)设双曲线的半焦距为c,直线过(,0),(0,)两点。已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为 ( A )‎ ‎(A)2 (B) (C) (D)‎ ‎(14)母线长为1的圆锥的体积最大时,其侧面展开图圆心角等于 ( D )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(15)设是上的奇函数,,当时,,则等于 ( B )‎ ‎(A)0.5 (B)-0.5 (C)1.5 (D)-1.5‎ 二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分。把答案填在题中横线上。‎ ‎(16)已知圆与抛物线的准线相切。则p=__________‎ 答:2‎ ‎(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有_______个(用数字作答)‎ 答:32‎ ‎(18)的值是_______‎ ‎ D C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ ‎ ‎ F E ‎ 答:‎ ‎(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______‎ 答:‎ 三.解答题:本大题共5小题;共50分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。‎ ‎(20)(本小题满分11分)‎ 解不等式 解:(Ⅰ)当时,原不等式等价于不等式组:‎ 因为所以 ‎(Ⅱ)当时,原不等式等价于不等式组:‎ 由(1)得,‎ 由(2)得,‎ 综上,当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为 ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知△ABC的三个内角A,B,C满足:‎ A+C=2B,求的值。‎ 解:由题设条件知:‎ B=600,A+C=1200‎ 利用和差化积及积化和差公式,上式可化为 将代入上式并整理得 从而得 ‎(22)(本小题满分12分)‎ 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1,截面A1EC⊥侧面AC1‎ ‎ A C ‎ ‎ ‎ ‎ B ‎ ‎ ‎ ‎ E ‎ ‎ A1 C1 ‎ ‎ ‎ ‎ B1 ‎ ‎(Ⅰ)求证:BE=EB1;‎ ‎(Ⅱ)若AA1=A1B1,求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数。‎ 注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ)。‎ ‎(Ⅰ)证明:在截面A1EC内,‎ 过E作EG⊥A1C,G是垂足。‎ ‎ A F C ‎ ‎ ‎ ‎ B ‎ ‎ G ‎ ‎ E ‎ ‎ A1 C1 ‎ ‎ ‎ ‎ D B1 ‎ ‎①∵面A1EC⊥侧面AC1,‎ ‎∴EG⊥侧面AC1;取AC中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,‎ ‎②∵面ABC⊥侧面AC1,‎ ‎∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG。‎ ‎③∵BE∥侧面AC1,‎ ‎∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,‎ ‎④∵BE∥AA1,‎ ‎∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,‎ ‎⑤∵AF=FC,‎ ‎∴FG=AA1=BB1,即BE=BB1,故BE=EB1。‎ ‎(Ⅱ)解:分别延长CE、C1B1交于点D,连结A1D ‎∵EB1∥CC1,EB1=BB1=CC1,‎ ‎∴DB1=DC1=B1C1=A1B1,‎ ‎∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=600,∠DA1B1=∠A1DB1=(1800-∠DB1A1)=300,‎ ‎∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=900,即DA1⊥A1C1。‎ ‎∵CC1⊥面A1C1B1,即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影,根据三垂线定理得DA1⊥A1C 所以∠CA1C1是所求二面角的平面角。‎ ‎∵CC1=AA1=A1B1=A1C1,∠A1C1C=900,‎ ‎∴∠CA1C1=450,即所求二面角为450。‎ ‎(23)(本小题满分10分)‎ 某地现有耕地10000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?‎ ‎(=,=)‎ 解:设耕地平均每年至多只能减少x公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷。‎ 依题意得不等式 化简得 答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。‎ ‎(24)(本小题满分12分)‎ 已知是过点P()的两条互相垂直的直线,且与双曲线各有两交点,分别为A1、B1和A2、B2。‎ ‎(Ⅰ)求的斜率k1的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若|A1B1|=|A2B2|,求的方程。‎ 解:(Ⅰ)依题意,的斜率都存在。因为过点P()且与双曲线有两个交点,故方程组 ‎ (1)‎ 有两个不同的解。在方程组(1)中消去y,整理得 ‎ (2)‎ 若,则方程组(1)只有一个解,即与双曲线只有一个交点,与题设矛盾。‎ 故,即。方程(2)的判别式为 设的斜率为k2,因为过点P()且与双曲线有两个交点,故方程组 ‎ (3)‎ 有两个不同的解。在方程组(3)中消去y,整理得 ‎ (4)‎ 同理有,‎ 又因为,所以有 于是,与双曲线各有两个交点,等价于 ‎(Ⅱ)设A1(x1,y1)B1(x2,y2).由方程(2)知 同理,由方程(4)可求得|A2B2|2,整理得 由|A1B1|=|A2B2|,得|A1B1|2=5|A2B2|2.‎ 将(5)、(6)代入上式得 解得 取时,‎ 取时,‎ ‎(25)(本小题满分12分)‎ 已知是实数,函数当时,‎ ‎(Ⅰ)证明:‎ ‎(Ⅱ)证明:当时,‎ ‎(Ⅲ)设当时,的最大值为2,求.‎ ‎(Ⅰ)证明:由条件当时,,‎ 取x=0得,即 ‎(Ⅱ)证法一:当时,在[-1,1]上是增函数,‎ 由此得 ‎ 当时,在[-1,1]上是减函数,‎ 由此得 ‎ 当时,‎ 综上得 ‎ 证法二:由可得 当时,有 根据含绝对值的不等式的性质,得 即 ‎(Ⅲ)因为时,在[-1,1]上是增函数,‎ 当x=1时取最大值2,‎ 即 因为当时,,即 根据二次函数的性质,直线x=0为的图象的对称轴,由此得 由(1)得 所以 文科试题 一.选择题:本题共15个小题;第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分,共65分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)已知全集I={1,2,3,4,5,6,7}集合A={1,3,5,7},B={3,5}.则 ( C )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)当时,在同一坐标系中,函数与的图象是 ( A )‎ ‎(A) y (B) y (C) y (D) y ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ o 1 x o 1 x o 1 x o 1 x ‎ ‎(3)若,则x的取值范围是 ( D )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(4)复数等于 ( B )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(5)6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 ( C )‎ ‎(A)720种 (B)360种 (C)240种 (D)120种 ‎(6)已知是第三象限角且,则 ( D )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(7)如果直线、与平面、、满足:和,那么必有 ( A )‎ ‎(A)且 (B)且 ‎(C)且 (D)且 ‎(8)当时,函数的 ( D )‎ ‎(A)最大值是1,最小值是-1‎ ‎(B)最大值是1,最小值是 ‎(C)最大值是2,最小值是-2‎ ‎(D)最大值是2,最小值是-1‎ ‎(9)中心在原点,准线方程为,离心率为的椭圆方程是 ‎(A) (B) ( A )‎ ‎(C) (D)‎ ‎(10)圆锥母线长为1,侧面展开图圆心角为2400,该圆锥的体积是 ( C )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(11)椭圆的两个焦点坐标是 ( B )‎ ‎(A)(-3,5),(-3,-5) (B)(3,3),(3,-5)‎ ‎(C)(1,1),(-7,1) (D)(7,-1),(-1,-1)‎ ‎(12)将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=‎ ‎,则三棱锥D-ABC的体积为 ( D )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(13)等差数列的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为 ( C )‎ ‎(A)130 (B)170 (C)210 (D)260‎ ‎(14)设双曲线的半焦距为c,直线过(,0),(0,)两点。已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为 ( A )‎ ‎(A)2 (B) (C) (D)‎ ‎(15)设是上的奇函数,,当时,,则等于 ( B )‎ ‎(A)0.5 (B)-0.5 (C)1.5 (D)-1.5‎ 二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分。把答案填在题中横线上。‎ ‎(16)已知点(-2,3)与抛物线的焦点的距离是5,则p=__________‎ 答:4‎ ‎(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有_______个(用数字作答)‎ 答:32‎ ‎(18)的值是_______‎ ‎ D C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ ‎ ‎ F E ‎ 答:‎ ‎(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______‎ 答:‎ 三.解答题:本大题共5小题;共50分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。‎ ‎(20)(本小题满分11分)‎ 解不等式 解:(Ⅰ)当时,原不等式等价于不等式组:‎ ‎(Ⅱ)当时,原不等式等价于不等式组:‎ 综上,当时,不等式的解集为 当时,不等式的解集为 ‎(21)(本小题满分12分)‎ 设等比数列的前n项和为.若S3+S6=2S9,求数列的公比q.‎ 解:q=1,则有S3=3,S6=6,S9=9.但,即得S3+S6≠2S9,与题设矛盾,故.‎ 又依题意S3+S6=2S9可得 ‎(22)(本小题满分12分)‎ 已知△ABC的三个内角A,B,C满足:‎ A+C=2B,求的值。‎ 解:由题设条件知:‎ B=600,A+C=1200‎ 利用和差化积及积化和差公式,上式可化为 将代入上式并整理得 从而得 ‎(23)(本小题满分12分)‎ ‎【注意:本题的要求是,参照标本①的写法,在标本②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤,完成(Ⅰ)证明的全过程;并解答(Ⅱ).】‎ 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=,E、F分别是BB1、CC1上的点,且BE=,CF=2‎ ‎ A1 C1 ‎ ‎ ‎ ‎ B1 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ F ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ E ‎ ‎ A C ‎ ‎ ‎ ‎ B ‎ ‎(Ⅰ)求证:面AEF⊥面ACF;‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥A1-AEF的体积。‎ ‎(Ⅰ)证明:‎ ‎①∵BE=,CF=2,BE∥CF,延长FE与CB延长线交于D,连结AD。‎ ‎∴△DBE∽△DCF,‎ ‎∴‎ ‎②∵BE:CF=1:2,∴DC=2DB,∴DB=BC,‎ ‎∴DB=AB.‎ ‎③∵△ABD是等腰三角形,‎ 且∠ABD=1200,∴∠BAD=300,‎ ‎∴∠CAD=900,∴DA⊥AC.‎ ‎④∵FC⊥面ACD,∴CA是FA在面ACD上的射影,‎ 且CA⊥AD,∴FA⊥AD.‎ ‎⑤∵FF∩AC=A,DA⊥面ACF,而DA 面ADF,‎ ‎ A1 G C1 ‎ ‎ ‎ ‎ B1 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ F ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ E ‎ ‎ ‎ ‎ A C ‎ ‎ B ‎ ‎ D ‎ ‎∴面ADF⊥面ACF.∴面AEF⊥面ACF.‎ ‎(Ⅱ)解:∵VA1-AEF=VE-AA1F.‎ 在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1,‎ 垂足为G. B1G=.‎ 面A1B1C1⊥面A1C,‎ ‎∴EBB1,而BB1∥面A1C,‎ ‎∴三棱锥E-AA1F的高为.‎ S△A1AF=·AA1·AC=.‎ ‎∴VA1-AEF=VE-AA1F=‎ ‎(24)(本小题满分10分)‎ 某地现有耕地10000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?‎ ‎(=,=)‎ 解:设耕地平均每年至多只能减少x公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷。‎ 依题意的不等式 化简得 答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。‎ ‎(25)(本小题满分12分)‎ 已知是过点P()的两条互相垂直的直线,且与双曲线各有两交点,分别为A1、B1和A2、B2。‎ ‎(Ⅰ)求的斜率k1的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若A1恰是双曲线的一个顶点,求|A2B2|的值。‎ 解:(Ⅰ)依题意,的斜率都存在。因为过点P()且与双曲线有两个交点,故方程组 ‎ (1)‎ 有两个不同的解。在方程组(1)中消去y,整理得 ‎ (2)‎ 若,则方程组(1)只有一个解,即与双曲线只有一个交点,与题设矛盾。‎ 故,即。方程(2)的判别式为 设的斜率为k2,因为过点P()且与双曲线有两个交点,故方程组 ‎ (3)‎ 有两个不同的解。在方程组(3)中消去y,整理得 ‎ (4)‎ 同理有,‎ 又因为,所以有 于是,与双曲线各有两个交点,等价于 ‎(Ⅱ)双曲线的顶点为(0,1)、(0,-1)。‎ 取A1(0,1)时,有 解得从而,‎ 将代入方程(4)得 ‎ (5)‎ 记与双曲线的两交点为A2(x1,y1)B2(x2,y2).则 由(5)知 同理,由方程(4)可求得|A2B2|2,整理得 当取A1(0,-1)时,由双曲线关于x轴的对称性,知 所以过双曲线的一个顶点时,。‎
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