衡水中学高考理科数学模拟试题精编十

衡水中学高考理科数学模拟试题精编十

高考理科数学模拟试题精编(十)‎ ‎ (考试用时：120分钟　试卷满分：150分)‎ 注意事项：‎ ‎1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋1,0≤x≤1}，集合B＝{(x，y)|y＝2x,0≤x≤10}，则集合A∩B＝(　　)‎ A．{1,2}　　　　　　 B．{x|0≤x≤1}　　　　　　‎ C．{(1,2)}　　　　　　 D．∅‎ ‎2．设i是虚数单位，复数(a＋1＋i)2－‎2a－1为纯虚数，则实数a为(　　)‎ A．1 B．－‎1 ‎ C．1或－1 D．－ ‎3．若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎4．已知A(1,2)，B(2,4)，C(－2,1)，D(－3,2)，则向量在向量上的投影为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ ‎6．某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　)‎ A．A种 B．A种 C．AAA种 D．AA种 ‎7．M＝dx，N＝∫0cos xdx，由程序框图输出S的值为(　　)‎ A．ln 2 B．0‎ C. D．1‎ ‎8．如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱后得到的几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为(　　)‎ A.－1 B.－ C. D.＋1‎ ‎9．已知平面向量a＝(2cos2x，sin2x)，b＝(cos2x，－2sin2x)，f(x)＝a·b，要得到y＝sin 2x＋cos 2x的图象，只需要将y＝f(x)的图象(　　)‎ A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位 C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 ‎10．在线段AB上任取一点C，若AC2＝AB·BC，则点C是线段AB的“黄金分割点”，以AC、BC为邻边组成的矩形称为“黄金矩形”．现在线段AB上任取一点C，若以AC、BC为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为(　　)‎ A．3－ B.－‎2 ‎ C.－1 D．3－ ‎11．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：‎ ‎①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.‎ 其中正确的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎12．已知正三角形ABC的顶点A，B在抛物线y2＝4x上，另一个顶点C(4,0)，则这样的正三角形有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0与直线l：x＋ay＋1＝0相交所得弦AB的长为4，则a＝________.‎ ‎14．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为________．‎ ‎15．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝‎100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．‎ 参考数据：≈1.414，≈2.236.‎ ‎16．已知函数f(x)＝，下列关于函数f(x)的研究：①y＝f(x)的值域为R.②y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③y＝f(x)的图象关于y轴对称．④y＝f(x)的图象与直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点．其中，结论正确的序号是________．‎ 三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)‎ ‎(一)必考题：共60分．‎ ‎17．(本小题满分12分)已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝‎3a2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)数列{bn}中 , b1＝1，b2＝2，从数列{an}中取出第bn项记为cn，若{cn}是等比数列，求{bn}的前n项和．‎ ‎18．(本小题满分12分)某地高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准：85分及以上，记为A等级；分数在[70,85)内，记为B等级；分数在[60,70)内，记为C等级；60分以下，记为D等级．同时认定等级为A，B，C的学生成绩为合格，等级为D的学生成绩为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分组作出甲校样本的频率分布直方图(如图1所示)，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图(如图2所示)．‎ ‎(1)求图1中x的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；‎ ‎(2)在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎19．(本小题满分12分)如图1，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为底AB，CD上的点，且EF⊥AB，EF＝EB＝FC＝2，EA＝FD，沿EF将平面AEFD折起至平面AEFD⊥平面EBCF，如图2所示．‎ ‎(1)求证：平面ABD⊥平面BDF；‎ ‎(2)若二面角BADF的大小为60°，求EA的长度．‎ ‎20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－，0)，e＝.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)如图，设R(x0，y0)是椭圆C上一动点，由原点O向圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；‎ ‎(3)在(2)的条件下，试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．‎ ‎21．已知函数f(x)＝ln x－x2＋f′·.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)证明：f(x)＜2ex.‎ ‎(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位．已知曲线C1的参数方程为：(θ为参数)，将曲线C1上每一点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)，得到曲线C2，直线l的极坐标方程：ρcos θ＋2ρsin θ＋m＝0‎ ‎(1)求曲线C2的参数方程；‎ ‎(2)若曲线C2上的点到直线l的最大距离为2，求m的值．‎ ‎23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x＋3|＋|2x－1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤5的解集；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)＜|m－1|的解集非空，求实数m的取值范围．‎ 高考理科数学模拟试题精编(十)‎ ‎1．解析：选C.根据题意可得，，解得，满足题意0≤x≤1，所以集合A∩B＝{(1,2)}．故选C.‎ ‎2．解析：选A.(a＋1＋i)2－‎2a－1＝(a2－1)＋2(a＋1)i.∵(a＋1＋i)2－‎2a－1是纯虚数，‎ ‎∴解得a＝1，故选A.‎ ‎3．解析：选A.因为sin(π－α)＝sin α＝，≤α≤π，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，故选A.‎ ‎4．解析：选A.∵＝(1,2)，＝(－1,1)，∴向量在向量上的投影为＝＝，故选A.‎ ‎5．解析：选A.设双曲线C的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为x＝c或x＝－c，代入－＝1中得y2＝b2＝，∴y＝±，故|AB|＝，依题意＝‎4a，∴＝2，∴e＝＝＝，选A.‎ ‎6．解析：选D.中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有A22种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A1818种站法．根据分步计数原理，共有A‎22A1818种站法．故选D.‎ ‎7．解析：选A.M＝∫10dx＝ln(x＋1)10＝ln 2－ln 1＝ln 2.‎ N＝∫0cos xdx＝sin x0＝sin －sin 0＝1，∵ln 2＜1，‎ ‎∴M＜N，∴S＝M＝ln 2.‎ ‎8．解析：选A.‎ 由三视图知圆柱与正三棱柱的各侧面相切，设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h.正三棱柱底面三角形的高为3r，边长为2r，则V正三棱柱＝×2r×3rh＝3r2h，所以该几何体的体积V＝(3－π)r2h，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为＝－1.‎ ‎9．解析：选D.由题意得：f(x)＝a·b＝2cos4x－2sin4x＝2(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝2cos 2x＝2sin，‎ 而y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin＝2sin，故只需将y＝f(x)的图象向右平移个单位即可．‎ ‎10．解析：选A.不妨记AB＝1，则由AC2＝AB·BC得AC＝，从而BC＝，于是“黄金矩形”的面积为－2.现在线段AB上任取一点C，设AC＝x，则BC＝1－x，由x(1－x)＜－2得0＜x＜或＜x＜1，故所求概率为P＝＋1－＝3－.‎ ‎11.解析：选B.将几何体的展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B.‎ ‎12．解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由|AC|＝|BC|得(x1－4)2＋y21＝(x2－4)2＋y22，即(x1－x2)(x1＋x2－8)＋y21－y22＝0，又y21＝‎ ‎4x1，y22＝4x2，代入上式，得(x1－x2)(x1＋x2－4)＝0　①，由①得x1＝x2或x1＋x2＝4，若x1＝x2，则|y1|＝|y2|，显然A，B关于抛物线的对称轴(x轴)对称，考虑到△ABC是正三角形，∴AC与x轴所成的角为30°，不妨设直线AC：y＝(x－4)，联立直线与抛物线的方程，得 ‎⇒x2－20x＋16＝0⇒x＝10±2，‎ 即这样的点A有2个，对应的等边三角形也有2个，分别是△A1B1C和△A2B2C，如图所示．‎ 若x1≠x2，则x1＋x2＝4，取AB的中点D(x0，y0)(设y0＞0)，则有x0＝＝2，∴D(2，y0)，又当x＝2时，y2＝4x＝8，∴y0＜2，再由y21－y22＝4x1－4x2得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，∴＝＝，∴直线AB：y－y0＝(x－2)，即2x＝y0y＋4－y20，联立直线与抛物线方程，得⇒y2－2y0y＋2y20－8＝0，∵方程y2－2y0y＋2y20－8＝0的判别式Δ＝(－2y0)2－4(2y20－8)＝32－4y20，而y0＜2，∴Δ＞0，该方程有2个不相等的实数根，即其对应的点A(点B)有2个，∴其对应的等边三角形有2个，分别是△A′B′C和△A″B″C.‎ 综上，可知符合要求的正三角形有4个．故选D.‎ ‎13．解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆心C(1,2)，半径r＝2，依题意知弦长|AB|＝4，因此直线l经过圆心C(1,2)，故1＋‎2a＋1＝0，解得a＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎14．解析：设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为 X ‎3‎ ‎2‎ ‎0‎ P a b c E(X)＝‎3a＋2b＝2≥2，所以ab≤，当且仅当‎3a＝2b即a＝，b＝时，等号成立．‎ 答案： ‎15．解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.‎ 答案：22.6‎ ‎16.解析：函数f(x)＝＝，其图象如图所示，由图象可知f(x)的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f(x)的图象关于y轴对称，故③正确；由于在每个象限都有图象，所以与过原点的直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点，故④正确．‎ 答案：③④‎ ‎17．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意有 ，(2分)‎ 解得a1＝1，d＝2，从而{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*.(4分)‎ ‎(2)c1＝ab1＝a1＝1，c2＝ab2＝a2＝3，从而等比数列{cn}的公比为3，因此cn＝1×3n－1＝3n－1.(7分)‎ 另一方面，cn＝abn＝2bn－1，所以2bn－1＝3n－1，因此bn＝.(9分)‎ 记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝.(12分)‎ ‎18．解：(1)由题意，可知10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，∴x＝0.004.(2分)‎ ‎∴甲学校的合格率为(1－10×0.004)×100%＝0.96×100%＝96%，(3分)‎ 乙学校的合格率为×100%＝0.96×100%＝96%.(4分)‎ ‎∴甲、乙两校的合格率均为96%.(5分)‎ ‎(2)样本中甲校C等级的学生人数为0.012×10×50＝6，乙校C等级的学生人数为4.(6分)‎ ‎∴随机抽取3名学生中甲校学生人数X的可能取值为0,1,2,3.(7分)‎ ‎∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎(11分)‎ 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)‎ ‎19．解：(1)证明：由题意知EA綊FD，EB綊FC，所以AB∥CD，即A，B，C，D四点共面．(2分)‎ 由EF＝EB＝FC＝2，EF⊥AB，得FB＝＝BC＝2，则BC⊥FB，又翻折后平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF＝EF，DF⊥EF，所以DF⊥平面EBCF，因而BC⊥DF，又DF∩FB＝F，所以BC⊥平面BDF，由于BC⊂平面BCD，则平面BCD⊥平面BDF，又平面ABD即平面BCD，所以平面ABD⊥平面BDF.(6分)‎ ‎(2)以F为坐标原点，FE，FC，FD所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 则F(0,0,0)，B(2,2,0)，设EA＝t(t＞0)，则A(2,0，t)，D(0,0,2t)，＝(0,2，－t)，＝(－2,0，t)．(8分)‎ 设平面ABD的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则即 取x＝t，则y＝t，z＝2，所以m＝(t，t,2)为平面ABD的一个法向量．(10分)‎ 又平面FAD的一个法向量为n＝(0,1,0)，则|cos〈m，n〉|＝＝‎ ＝，所以t＝，即EA的长度为.(12分)‎ ‎20. 解：(1)由题意得，c＝，e＝，解得a＝2，‎ b2＝a2－c2＝12－6＝6，(1分)‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.(3分)‎ ‎(2)证明：由已知，直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，且与圆R相切，∴＝2，化简得(x20－4)k21－2x0y0k1＋y20－4＝0，同理，可得(x20－4)k22－2x0y0k2＋y20－4＝0，(5分)‎ ‎∴k1，k2是方程(x20－4)k2－2x0y0k＋y20－4＝0的两个不相等的实数根，∴x20－4≠0，Δ＞0，k1k2＝.(7分)‎ ‎∵点R(x0，y0)在椭圆C上，∴＋＝1，即y20＝6－x20，∴k1k2＝＝－.(8分)‎ ‎(3)|OP|2＋|OQ|2是定值18.(9分)‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得，‎ 解得，∴x21＋y21＝，同理，可得 x22＋y22＝.(10分)‎ 由k1k2＝－，得|OP|2＋|OQ|2＝x21＋y21＋x22＋y22＝＋ ‎＝＋＝＝18.‎ 综上：|OP|2＋|OQ|2＝18.(12分)‎ ‎21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2x＋f′，则f′＝2－1＋f′，解得f′＝2，所以f(x)＝ln x－x2＋x＋2，此时，f′(x)＝－2x＋1＝，(2分)‎ 由f′(x)＞0得0＜x＜1，f′(x)＜0得x＞1，所以函数f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)．(4分)‎ ‎(2)证明：不等式f(x)＜2ex等价于f(x)＜，(5分)‎ 由(1)f(x)在(0，＋∞)上的最大值为f(x)max＝f(1)＝2，所以f(x)≤2　①，(6分)‎ 令g(x)＝ex－(x＞0)，所以g′(x)＝ex－x－1，(g′(x))′＝ex－1，所以，当x＞0时，(g′(x))′＞0，所以g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g′(x)＞g′(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)＞g(0)＝0，即ex－＞0，(10分)‎ 因为x＞0，所以＞1，∴＞2≥f(x)．(11分)‎ 所以，x＞0时，f(x)＜2ex，(12分)．‎ ‎22．解：(1)设曲线C1上一点P(x1，y1)与曲线C2上一点Q(x，y)，由题知：，(2分)‎ 所以(θ为参数)．(4分)‎ ‎(2)由题知可得：直线l的直角坐标方程为：x＋2y＋m＝0.(5分)‎ 设曲线C2上一点B(2cos θ，sin θ)到直线l的距离为d，则d＝＝，(7分)‎ 当m＞0时，dmax＝＝2，解得：m＝10，当m＜0时，dmax＝＝2，解得：m＝－10，综上所述：m＝±10.(10分)‎ ‎23．解：(1)原不等式为：|2x＋3|＋|2x－1|≤5，当x≤－时，原不等式可转化为－4x－2≤5，即－≤x≤－，(2分)‎ 当－＜x＜时，原不等式可转化为4≤5恒成立，∴－＜x＜.(3分)‎ 当x≥时，原不等式可转化为4x＋2≤5，即≤x≤，(4分)‎ ‎∴原不等式的解集为{x|－≤x≤}(5分)‎ ‎(2)由已知函数 f(x)＝，作出图象如图，由图象可得函数 y＝f(x)的最小值为4，(8分)‎ ‎∴|m－1|＞4，解得m＞5或m＜－3.(10分)‎