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文档介绍
2011高考数学汇编立体几何
(安徽) (A) 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80 (北京)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是 3 3 2 正视图 侧视图 俯视图 图1 A.8 B. C.10 D. (湖南)设图一是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 答案:B 解析:有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体,其体积 。 (广东)如图l—3.某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为 A. B. C. D. (江西)已知是三个相互平行的平面,平面之间的距离为,平面之间的距离为.直线与分别交于.那么是的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案:C 解析:平面平行,由图可以得知: 如果平面距离相等,根据两个三角形全等可知 如果,同样是根据两个三角形全等可知 (辽宁)如图,四棱锥S—ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是 A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 (辽宁)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,,则棱锥S—ABC的体积为 A. B. C. D.1 (全国2)已知直二面角,点,C为垂足, 为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于 (A) (B) (C) (D) 1 【思路点拨】本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE,根据面面垂直的性质不难证明平面,进而平面ABC,所以过D作于E,则DE就是要求的距离。 【精讲精析】选C. 如图,作于E,由为直二面角,得平面,进而,又,于是平面ABC,故DE为D到平面ABC的距离。 在中,利用等面积法得. (全国新)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的俯视图可以为 (山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 5. (陕西)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( ) (A) 8-2π (四川),,是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 (A), (B), (C) ,,共面 (D),,共点,,共面 (浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是 (浙江)下列命题中错误的是 A.如果平面,那么平面内一定存在直线平行于平面 B.如果平面α不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C.如果平面,平面,,那么 D.如果平面,那么平面内所有直线都垂直于平面 (重庆)高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 (A) (B) (C) (D) (天津)一个几何体的三视图如右图所示(单位:),则该几何体的体积为__________ (四川)如图,半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是,求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 . (上海)若圆锥的侧面积为,底面积为,则该圆锥的体积为 。 (全国新)已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上,且,则棱锥的体积为 。 (全国2)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4,则圆N的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13 【思路点拨】做出如图所示的图示,问题即可解决。 【精讲精析】选B. 作示意图如,由圆M的面积为4,易得, 中,。 故. (全国2)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上,且B1E=2EB, CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 . 【思路点拨】本题应先找出两平面的交线,进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF必与BC相交,交点为P,则AP为面AEF与面ABC的交线. 【精讲精析】.延长EF交BC的延长线于P,则AP为面AEF与面ABC的交线,因为,所以为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。 (福建)三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥P-ABC的体积等于______。 (辽宁)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为,它的三视图中的俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是 . (重庆)如题(19)图,在四面体中,平面平面,,, . (Ⅰ)若,,求四面体的体积; (Ⅱ) 若二面角为,求异面直线与所成角的余弦值. (四川)如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一 P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA. (I)求证:CD=C1D: (II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; (Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离. (浙江)如图,在三棱锥中,,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2 (Ⅰ)证明:AP⊥BC; (Ⅱ)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由。 本题主要考查空是点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。 方法一: (I)证明:如图,以O为原点,以射线OP为z轴的正半轴, 建立空间直角坐标系O—xyz则, ,由此可得,所以 ,即 (II)解:设 设平面BMC的法向量,平面APC的法向量 由得 即 由即得 由解得,故AM=3。综上所述,存在点M符合题意,AM=3。 方法二:(I)证明:由AB=AC,D是BC的中点,得又平面ABC,得 因为,所以平面PAD,故 (II)解:如图,在平面PAB内作于M,连CM,由(I)中知,得平面BMC,又平面APC,所以平面BMC平面APC。在 在,在所以 在又 从而PM,所以AM=PA-PM=3。 综上所述,存在点M符合题意,AM=3。 (上海)已知是底面边长为1的正四棱柱,是和的交点。 ⑴ 设与底面所成的角的大小为,二面角的大小为。 求证:; ⑵ 若点到平面的距离为,求正四棱柱的高。 解:设正四棱柱的高为。 ⑴ 连,底面于,∴ 与底面所成的角为,即 ∵ ,为中点,∴,又, ∴ 是二面角的平面角,即 ∴ ,。 ⑵ 建立如图空间直角坐标系,有 设平面的一个法向量为, ∵ ,取得 ∴ 点到平面的距离为,则。 (天津)如图,在三棱柱中, 是正方形的中心,,平面,且 (Ⅰ)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值; (Ⅱ)求二面角的正弦值; (Ⅲ)设为棱的中点,点在平面内,且平面,求线段的 长. 本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分. 方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点. 依题意得 (I)解:易得, 于是 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 (II)解:易知 设平面AA1C1的法向量, 则即 不妨令可得, 同样地,设平面A1B1C1的法向量, 则即不妨令,可得于是从而 所以二面角A—A1C1—B的正弦值为 (III)解:由N为棱B1C1的中点,得设M(a,b,0),则 由平面A1B1C1,得即 解得故因此,所以线段BM的长为 方法二: (I)解:由于AC//A1C1,故是异面直线AC与A1B1所成的角. 因为平面AA1B1B,又H为正方形AA1B1B的中心,可得 因此 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 (II)解:连接AC1,易知AC1=B1C1, 又由于AA1=B1A1,A1C1=A1=C1,所以≌,过点A作于点R, 连接B1R,于是,故为二面角A—A1C1—B1的平面角. 在中,连接AB1,在中, , 从而所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为 (III)解:因为平面A1B1C1,所以取HB1中点D,连接ND,由于N是棱B1C1中点, 所以ND//C1H且.又平面AA1B1B,所以平面AA1B1B,故 又所以平面MND,连接MD并延长交A1B1于点E,则 由得,延长EM交AB于点F,可得连接NE. 在中,所以可得 连接BM,在中, (陕西)如图,在中,是上的高,沿把折起,使 。 (Ⅰ)证明:平面ADB ⊥平面BDC; (Ⅱ )设E为BC的中点,求与 夹角的余弦值。 解(Ⅰ)∵折起前AD是BC边上的高, ∴ 当Δ ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又DBDC=D, ∴AD⊥平面BDC, ∵AD 平面平面BDC. (Ⅱ )由∠ BDC=及(Ⅰ)知DA,DB,DC两两垂直,不防设=1,以D为坐标原点,以,,所在直线轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,,0), =, =(1,0,0,), 与夹角的余弦值为 <,>=. (山东)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ ACB=,EA ⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF. (Ⅰ)若M是线段AD上的中点,求证:GM ∥平面ABFE; (Ⅱ)若AC=BC-2AE,求平面角A-BF-C的大小. (全国新)如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。 解: (Ⅰ )因为, 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2,故BDAD 又PD底面ABCD,可得BDPD 所以BD平面PAD. 故PABD (Ⅱ)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-,则 ,,,。 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则 即 因此可取n= 设平面PBC的法向量为m,则 可取m=(0,-1,) 故二面角A-PB-C的余弦值为 (全国2)如图,四棱锥中,,,侧面为等边三角形,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求与平面所成角的大小. 【思路点拨】本题第(I)问可以直接证明,也可建系证明。 (II)建立空间直角坐标系,利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。【精讲精析】计算SD=1,,于是,利用勾股定理,可知,同理,可证 又,因此,. (II)过D做,如图建立空间直角坐标系D-xyz, A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0), 可计算平面SBC的一个法向量是 . 所以AB与平面SBC所成角为. (辽宁)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=P D. (I)证明:平面PQC⊥平面DCQ; (II)求二面角Q—BP—C的余弦值. 解: 如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz. (I)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0). 则 所以 即PQ⊥DQ,PQ⊥DC. 故PQ⊥平面DCQ. 又PQ平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ. …………6分 (II)依题意有B(1,0,1), 设是平面PBC的法向量,则 因此可取 设m是平面PBQ的法向量,则 可取 故二面角Q—BP—C的余弦值为 ………………12分 (广东)如图5,在椎体中,是便常委边长为1的棱形,且,,分别是的中点, (1) 证明: (2)求二面角的余弦值。 (江西)(1)如图,对于任一给定的四面体,找出依次排列的四个相互平行的平面 ,使得(i=1,2,3,4),且其中每相邻两个平面间的距离都相等; (2)给定依次排列的四个相互平行的平面,其中每相邻两个平面间的距离为1,若一个正四面体的四个顶点满足:(i=1,2,3,4),求该正四面体的体积. 解: (1)将直线三等分,其中另两个分点依次为,连接,作平行于的平面,分别过,即为。同理,过点作平面即可的出结论。 (2)现设正方体的棱长为a,若,, ,由于得,, 那么,正四面体的棱长为,其体积为(即一个棱长为a的正方体割去四个直角三棱锥后的体积) (湖南)如图5,在圆锥中,已知的直径的中点. (I)证明: (II)求二面角的余弦值. 解:(I)连接,因为,为的中点,所以. 又因为内的两条相交直线,所以而,所以。 (II)在平面中,过作于,由(I)知,,所以又所以. 在平面中,过作连接,则有, 从而,所以是二面角的平面角. 在 在 在 在,所以。 故二面角的余弦值为。 (江苏)如图,在四棱锥中,平面PAD⊥平面ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点 求证:(1)直线EF‖平面PCD; (2) 平面BEF⊥平面PAD (湖北)如图,已知正三棱柱的各棱长都是4,是的中点,动点在侧棱上,且不与点重合. (Ⅰ)当=1时,求证:⊥; (Ⅱ)设二面角的大小为,求的最小值. (福建)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=,. (I)求证:平面PAB⊥平面PAD; (II)设AB=AP. (i)若直线PB与平面PCD所成的角为,求线段AB的长; (ii)在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由。 (北京)如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形, . (Ⅰ)求证:平面 (Ⅱ)若求与所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面与平面垂直时,求的长. 证明:(Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形, 所以AC⊥BD. 又因为PA⊥平面ABCD. 所以PA⊥BD. 所以BD⊥平面PAC. (Ⅱ)设AC∩BD=O. 因为∠BAD=60°,PA=PB=2, 所以BO=1,AO=CO=. 如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O—xyz,则 P(0,—,2),A(0,—,0),B(1,0,0),C(0,,0). 所以 设PB与AC所成角为,则 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知 设P(0,-,t)(t>0), 则 设平面PBC的法向量, 则 所以 令则 所以 同理,平面PDC的法向量 因为平面PCB⊥平面PDC, 所以=0,即 解得 所以PA= (江苏)如图,在四棱锥中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点 求证:(1)直线EF‖平面PCD;平面BEF⊥平面PAD (江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大,试问x应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。 P (安徽)如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段上,,△,△,△都是正三角形。 (Ⅰ)证明直线∥;查看更多