2011高考数学汇编立体几何

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2011高考数学汇编立体几何

‎(安徽)‎ ‎(A) 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80‎ ‎(北京)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是 ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ 正视图 侧视图 俯视图 图1‎ ‎ A.8 B. C.10 D.‎ ‎(湖南)设图一是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案:B 解析:有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体,其体积 ‎。‎ ‎(广东)如图l—3.某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎(江西)已知是三个相互平行的平面,平面之间的距离为,平面之间的距离为.直线与分别交于.那么是的 ( )‎ ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案:C ‎ 解析:平面平行,由图可以得知:‎ 如果平面距离相等,根据两个三角形全等可知 如果,同样是根据两个三角形全等可知 ‎(辽宁)如图,四棱锥S—ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是 A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD ‎ C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 ‎(辽宁)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,,则棱锥S—ABC的体积为 ‎ A. B. C. D.1‎ ‎(全国2)已知直二面角,点,C为垂足,‎ 为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于 ‎(A) (B) (C) (D) 1 ‎ ‎【思路点拨】本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE,根据面面垂直的性质不难证明平面,进而平面ABC,所以过D作于E,则DE就是要求的距离。‎ ‎【精讲精析】选C.‎ 如图,作于E,由为直二面角,得平面,进而,又,于是平面ABC,故DE为D到平面ABC的距离。‎ 在中,利用等面积法得.‎ ‎(全国新)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的俯视图可以为 ‎(山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是 ‎(A)3 (B)2 ‎ ‎(C)1 (D)0‎ 5. ‎(陕西)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( )‎ (A) ‎ 8-2π ‎ ‎(四川),,是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 ‎ (A), ‎ ‎(B),‎ ‎ (C) ,,共面 ‎ ‎(D),,共点,,共面 ‎(浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是 ‎(浙江)下列命题中错误的是 ‎ ‎ A.如果平面,那么平面内一定存在直线平行于平面 ‎ B.如果平面α不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ‎ C.如果平面,平面,,那么 ‎ D.如果平面,那么平面内所有直线都垂直于平面 ‎(重庆)高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(天津)一个几何体的三视图如右图所示(单位:),则该几何体的体积为__________‎ ‎(四川)如图,半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是,求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 . ‎ ‎(上海)若圆锥的侧面积为,底面积为,则该圆锥的体积为 。‎ ‎(全国新)已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上,且,则棱锥的体积为 。‎ ‎(全国2)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4,则圆N的面积为 ‎ (A)7 (B)9 (C)11 (D)13‎ ‎【思路点拨】做出如图所示的图示,问题即可解决。‎ ‎【精讲精析】选B.‎ 作示意图如,由圆M的面积为4,易得,‎ 中,。‎ 故.‎ ‎(全国2)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B‎2C3D4的棱BB1 、CC1上,且B1E=2EB, CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .‎ ‎【思路点拨】本题应先找出两平面的交线,进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF必与BC相交,交点为P,则AP为面AEF与面ABC的交线.‎ ‎【精讲精析】.延长EF交BC的延长线于P,则AP为面AEF与面ABC的交线,因为,所以为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。‎ ‎(福建)三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥P-ABC的体积等于______。‎ ‎(辽宁)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为,它的三视图中的俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是 . ‎ ‎(重庆)如题(19)图,在四面体中,平面平面,,,‎ ‎.‎ ‎ (Ⅰ)若,,求四面体的体积;‎ ‎ (Ⅱ) 若二面角为,求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎(四川)如图,在直三棱柱AB-A1B‎1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一 P是AD的延长线与A‎1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.‎ ‎(I)求证:CD=C1D:‎ ‎(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; ‎ ‎(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.‎ ‎(浙江)如图,在三棱锥中,,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2‎ ‎(Ⅰ)证明:AP⊥BC;‎ ‎(Ⅱ)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由。‎ 本题主要考查空是点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。‎ 方法一: (I)证明:如图,以O为原点,以射线OP为z轴的正半轴,‎ 建立空间直角坐标系O—xyz则,‎ ‎,由此可得,所以 ‎,即 ‎(II)解:设 设平面BMC的法向量,平面APC的法向量 由得 即 由即得 由解得,故AM=3。综上所述,存在点M符合题意,AM=3。‎ 方法二:(I)证明:由AB=AC,D是BC的中点,得又平面ABC,得 因为,所以平面PAD,故 ‎(II)解:如图,在平面PAB内作于M,连CM,由(I)中知,得平面BMC,又平面APC,所以平面BMC平面APC。在 在,在所以 在又 从而PM,所以AM=PA-PM=3。‎ 综上所述,存在点M符合题意,AM=3。‎ ‎(上海)已知是底面边长为1的正四棱柱,是和的交点。‎ ‎⑴ 设与底面所成的角的大小为,二面角的大小为。‎ 求证:;‎ ‎⑵ 若点到平面的距离为,求正四棱柱的高。‎ 解:设正四棱柱的高为。‎ ‎⑴ 连,底面于,∴ 与底面所成的角为,即 ‎∵ ,为中点,∴,又,‎ ‎∴ 是二面角的平面角,即 ‎∴ ,。‎ ‎⑵ 建立如图空间直角坐标系,有 设平面的一个法向量为,‎ ‎∵ ,取得 ‎∴ 点到平面的距离为,则。‎ ‎(天津)如图,在三棱柱中,‎ 是正方形的中心,,平面,且 ‎(Ⅰ)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)设为棱的中点,点在平面内,且平面,求线段的 长.‎ 本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.‎ ‎ 方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点.‎ ‎ 依题意得 ‎ ‎ ‎ (I)解:易得,‎ ‎ 于是 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 ‎ (II)解:易知 设平面AA‎1C1的法向量,‎ ‎ 则即 不妨令可得,‎ ‎ 同样地,设平面A1B‎1C1的法向量, 则即不妨令,可得于是从而 所以二面角A—A1C1—B的正弦值为 ‎ (III)解:由N为棱B‎1C1的中点,得设M(a,b,0),则 由平面A1B1C1,得即 解得故因此,所以线段BM的长为 方法二:‎ ‎(I)解:由于AC//A1C1,故是异面直线AC与A1B1所成的角.‎ 因为平面AA1B1B,又H为正方形AA1B1B的中心,可得 因此 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 ‎(II)解:连接AC1,易知AC1=B1C1,‎ 又由于AA1=B1A1,A1C1=A1=C1,所以≌,过点A作于点R,‎ 连接B1R,于是,故为二面角A—A1C1—B1的平面角.‎ 在中,连接AB1,在中,‎ ‎,‎ 从而所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为 ‎(III)解:因为平面A1B1C1,所以取HB1中点D,连接ND,由于N是棱B1C1中点,‎ 所以ND//C1H且.又平面AA1B1B,所以平面AA1B1B,故 又所以平面MND,连接MD并延长交A1B1于点E,则 由得,延长EM交AB于点F,可得连接NE.‎ 在中,所以可得 连接BM,在中,‎ ‎(陕西)如图,在中,是上的高,沿把折起,使 。‎ ‎(Ⅰ)证明:平面ADB  ⊥平面BDC;‎ ‎(Ⅱ )设E为BC的中点,求与 夹角的余弦值。‎ 解(Ⅰ)∵折起前AD是BC边上的高,‎ ‎∴ 当Δ ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB,‎ 又DBDC=D,‎ ‎∴AD⊥平面BDC,‎ ‎∵AD 平面平面BDC.‎ ‎(Ⅱ )由∠ BDC=及(Ⅰ)知DA,DB,DC两两垂直,不防设=1,以D为坐标原点,以,,所在直线轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,,0),‎ ‎=,‎ ‎=(1,0,0,),‎ 与夹角的余弦值为 ‎<,>=.‎ ‎(山东)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ ACB=,EA  ⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF.‎ ‎(Ⅰ)若M是线段AD上的中点,求证:GM  ∥平面ABFE;‎ ‎(Ⅱ)若AC=BC-2AE,求平面角A-BF-C的大小.‎ ‎(全国新)如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.‎ ‎(Ⅰ)证明:PA⊥BD;‎ ‎(Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。‎ 解:‎ ‎(Ⅰ )因为, 由余弦定理得 ‎ 从而BD2+AD2= AB2,故BDAD 又PD底面ABCD,可得BDPD 所以BD平面PAD. 故PABD ‎(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-,则 ‎,,,。‎ 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则 ‎ 即 ‎ 因此可取n=‎ 设平面PBC的法向量为m,则 ‎ 可取m=(0,-1,) ‎ 故二面角A-PB-C的余弦值为 ‎ ‎(全国2)如图,四棱锥中,,,侧面为等边三角形,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求与平面所成角的大小.‎ ‎【思路点拨】本题第(I)问可以直接证明,也可建系证明。‎ ‎(II)建立空间直角坐标系,利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。【精讲精析】计算SD=1,,于是,利用勾股定理,可知,同理,可证 又,因此,.‎ ‎(II)过D做,如图建立空间直角坐标系D-xyz,‎ A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),‎ 可计算平面SBC的一个法向量是 ‎.‎ 所以AB与平面SBC所成角为.‎ ‎(辽宁)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=P D.‎ ‎ (I)证明:平面PQC⊥平面DCQ;‎ ‎ (II)求二面角Q—BP—C的余弦值.‎ 解:‎ 如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.‎ ‎ (I)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).‎ 则 所以 即PQ⊥DQ,PQ⊥DC.‎ 故PQ⊥平面DCQ.‎ 又PQ平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ. …………6分 ‎ (II)依题意有B(1,0,1),‎ 设是平面PBC的法向量,则 因此可取 设m是平面PBQ的法向量,则 可取 故二面角Q—BP—C的余弦值为 ………………12分 ‎(广东)如图5,在椎体中,是便常委边长为1的棱形,且,,分别是的中点,‎ ‎(1) 证明:‎ ‎(2)求二面角的余弦值。‎ ‎(江西)(1)如图,对于任一给定的四面体,找出依次排列的四个相互平行的平面 ,使得(i=1,2,3,4),且其中每相邻两个平面间的距离都相等;‎ ‎ (2)给定依次排列的四个相互平行的平面,其中每相邻两个平面间的距离为1,若一个正四面体的四个顶点满足:(i=1,2,3,4),求该正四面体的体积.‎ ‎ ‎ 解:‎ ‎ (1)将直线三等分,其中另两个分点依次为,连接,作平行于的平面,分别过,即为。同理,过点作平面即可的出结论。‎ ‎ (2)现设正方体的棱长为a,若,,‎ ‎,由于得,,‎ 那么,正四面体的棱长为,其体积为(即一个棱长为a的正方体割去四个直角三棱锥后的体积)‎ ‎(湖南)如图5,在圆锥中,已知的直径的中点.‎ ‎(I)证明:‎ ‎(II)求二面角的余弦值.‎ 解:(I)连接,因为,为的中点,所以.‎ 又因为内的两条相交直线,所以而,所以。‎ ‎(II)在平面中,过作于,由(I)知,,所以又所以.‎ 在平面中,过作连接,则有,‎ 从而,所以是二面角的平面角.‎ 在 在 在 在,所以。‎ 故二面角的余弦值为。‎ ‎(江苏)如图,在四棱锥中,平面PAD⊥平面ABCD,‎ AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点 求证:(1)直线EF‖平面PCD;‎ (2) 平面BEF⊥平面PAD ‎(湖北)如图,已知正三棱柱的各棱长都是4,是的中点,动点在侧棱上,且不与点重合.‎ ‎(Ⅰ)当=1时,求证:⊥;‎ ‎(Ⅱ)设二面角的大小为,求的最小值.‎ ‎(福建)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=,.‎ ‎(I)求证:平面PAB⊥平面PAD;‎ ‎(II)设AB=AP.‎ ‎ (i)若直线PB与平面PCD所成的角为,求线段AB的长;‎ ‎ (ii)在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由。‎ ‎(北京)如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,‎ ‎.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面 ‎ (Ⅱ)若求与所成角的余弦值;‎ ‎ (Ⅲ)当平面与平面垂直时,求的长.‎ ‎ 证明:(Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形,‎ 所以AC⊥BD.‎ 又因为PA⊥平面ABCD.‎ 所以PA⊥BD.‎ 所以BD⊥平面PAC.‎ ‎(Ⅱ)设AC∩BD=O.‎ 因为∠BAD=60°,PA=PB=2,‎ 所以BO=1,AO=CO=.‎ 如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O—xyz,则 P(0,—,2),A(0,—,0),B(1,0,0),C(0,,0).‎ 所以 设PB与AC所成角为,则 ‎.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知 设P(0,-,t)(t>0),‎ 则 设平面PBC的法向量,‎ 则 所以 令则 所以 同理,平面PDC的法向量 因为平面PCB⊥平面PDC,‎ 所以=0,即 解得 所以PA=‎ ‎(江苏)如图,在四棱锥中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点 求证:(1)直线EF‖平面PCD;平面BEF⊥平面PAD ‎(江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm ‎(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大,试问x应取何值?‎ ‎(2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。‎ P ‎(安徽)如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段上,,△,△,△都是正三角形。‎ ‎(Ⅰ)证明直线∥;‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档