高考函数综合大题T教师打印版本

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第一部分：最新模考题型汇编 ‎1．（黄浦19）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） ‎ ‎ 已知函数，其中．‎ ‎（1）当，时，求满足的的值；‎ ‎（2）若为奇函数且非偶函数，求与的关系式．‎ ‎1解．(1) 由题设，，．‎ 当时，，解得；‎ 当时，，方程无解．‎ 因此，满足的的值为．‎ ‎(2) 当时，为偶函数，不合题意；‎ 当时，的定义域为．‎ 由题设，对定义域中的任意，恒成立，‎ 由，整理可得．‎ 因此，（）．‎ ‎2．(徐汇18)（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 已知函数其中 ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数.‎ ‎2、解：（1）不等式即为 ……….3分 当时，不等式解集为； ……………….4分 当时，不等式解集为； ……………….5分 当时，不等式解集为 ……………….6分 ‎（2）任取则……….9分 ‎ ……………….11分 所以要使在递减即只要即 ………13分 故当时，在区间上是单调减函数 ……………….14分 ‎3.（杨浦18）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ ‎ 上海某工厂以千克/小时的速度匀速生产一种产品，每一小时可获得的利润 是元，其中.‎ ‎（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求的取值范围；‎ ‎（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？‎ 并求最大利润.‎ ‎3、解：（1）根据题意，，得 ……2分 解得或 ……4分 又，可得 ……6分 ‎（2）设利润为元，则， ……8分 ‎， ……12分 ‎ 故时， ‎ ‎4. (闵行20)(满分16分，3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)‎ 函数，若函数是增函数，则称函数具有性质. (1)若，求的解析式，并判断是否具有性质； (2)判断命题“减函数不具有性质”是否真命题，并说明理由； (3)若函数具有性质，求实数的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数. ‎ ‎4．[解] (1) ……2分 而在上是增函数， 所以是否具有性质. ………………………………4分 ‎(2)假命题. ………………………………6分 如函数是减函数， ………………………………8分 ‎ 函数在上单调递增，∴具有性质． ∴命题是假命题. ………………………………10分 (3) ， 因为函数具有性质，‎ 所以 ． ………………………………12分 ‎，由得 或 或或． …………………14分 设，则 由函数的图像可知 当时，，无解；‎ 当时，， ；‎ 当时，，在上有两个解；‎ 综上所述：当时，在区间上零点的个数为2；‎ 当时，在区间上零点的个数为3；‎ 当时，在区间上零点的个数为4．………………16分 ‎5. (浦东19)（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：‎ ‎①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：）与游玩时间（小时）满足关系式：；‎ ‎②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；‎ ‎③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为.‎ ‎（1）当时，写出累积经验值与游玩时间的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值；‎ ‎（2）该游戏厂商把累积经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记作；若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围.‎ ‎5.解：（1） ––––––––––––––––– （写对一段得1分，共3‎ 分）‎ 时， ––––––––––––––––– ––––––––––––––––– ––––––––––––––––– –––––––––––––––––（6分）‎ ‎（2）时，––––––––––––––– –––––––––––––––––（8分）‎ ① ‎–––––––––––––– –––––– –––––– ––––––– –––––––––––––––––（10分）‎ ② ‎––––––––––––– –––––– –––––– –––––––– –––––––––––––––––（12分）‎ 综上，––––––––––––––– –––––––––––– –– –––––––––– –––––– –––––– –––––– –––––––––––（14分）‎ ‎6. (普陀21)．（满分18分，第1小题4分，第2小6分，第3小题8分）‎ 已知函数（），记.‎ （1） 解不等式：；（2）设为实数，若存在实数，使 得成立，求的取值范围；‎ ‎（2）记（其中、均为实数），若对于任意的，均有，求、的值.‎ ‎6.【解】‎ ‎（1）由，得，代入，，…2分 即，又因为，所以，即 ……3分 故原不等式的解集为 ……4分 ‎（2），，‎ ‎ 代入，得……6分 ‎ ，所以……7分 由，得，所以，设，则，‎ 由于函数在区间上是增函数，所以……9分 所以，故……10分 ‎（3），‎ 即…………10分 由，得…………11分 令，则，所以任意的，均有（*）‎ 只有，所以……13分 此时（*）变为对于任意的均成立 记（），则函数需满足：……15分 由，得……①……16分 再由,得……②……17分 由①②得，故…………18分 第二部分：历年上海真题题型汇编 一．解答题（共32小题）‎ ‎1．（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 ‎（单位：分钟），‎ 而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：‎ ‎（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？‎ ‎（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．‎ ‎【解答】解；（1）由题意知，当时，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得或，‎ 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；‎ ‎（2）当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎；‎ ‎；‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增；‎ 说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；‎ 有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；‎ 当自驾人数为时，人均通勤时间最少．‎ ‎2．（2017•上海）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差．‎ ‎（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；‎ ‎（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？‎ ‎【解答】解：（1），‎ 前4个月共投放单车为，‎ 前4个月共损失单车为，‎ 该地区第4个月底的共享单车的保有量为．‎ ‎（2）令，显然时恒成立，‎ 当时，有，解得，‎ 第42个月底，保有量达到最大．‎ 当，为公差为等差数列，而为等差为1的等差数列，‎ 到第42个月底，单车保有量为 ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ 第42个月底单车保有量超过了容纳量．‎ ‎3．（2016•上海）已知，函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围．‎ ‎（3）设，若对任意，，函数在区间，上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当时，，‎ 由；得，‎ 即，则，则，即或，‎ 即不等式的解集为或．‎ ‎（2）由得．‎ 即，‎ 即，①‎ 则，‎ 即，②，‎ 当时，方程②的解为，代入①，成立 当时，方程②的解为，代入①，成立 当且时，方程②的解为或，‎ 若是方程①的解，则，即，‎ 若是方程①的解，则，即，‎ 则要使方程①有且仅有一个解，则．‎ 综上，若方程的解集中恰好有一个元素，则的取值范围是，或或．‎ ‎（3）函数在区间，上单调递减，‎ 由题意得，‎ 即，‎ 即，即 设，则，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 在上递减，‎ ‎，‎ ‎，‎ 实数的取值范围是．‎ ‎4．（2016•上海）有一块正方形，所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图 ‎（1）求菜地内的分界线的方程；‎ ‎（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的经验值为．设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”．‎ ‎【解答】解：（1）设分界线上任意一点为，由题意得，得，，‎ ‎（2）设，，则，‎ ‎，‎ 设所表述的矩形面积为，则，‎ 设五边形的面积为，则，‎ ‎，，‎ 五边形的面积更接近的面积．‎ ‎5．（2016•上海）已知，函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值；‎ ‎（3）设，若对任意，，函数在区间，上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当时，不等式化为：，‎ ‎，化为：，解得，‎ 经过验证满足条件，因此不等式的解集为：．‎ （1） 方程即，，‎ 化为：，‎ 若，化为，解得，经过验证满足：关于的方程的解集中恰有一个元素1．‎ 若，令△，解得，解得．经过验证满足：关于的方程的解集中恰有一个元素1．‎ 综上可得：或．‎ ‎（3），对任意，，函数在区间，上单调递减，‎ ‎，‎ ‎，‎ 化为：，，，‎ ‎，‎ 在，上单调递减，时，取得最大值，．‎ ‎．‎ 的取值范围是．‎ ‎6．（2015•上海）如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米．现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）．甲的路线是，速度为5千米小时，乙的路线是，速度为8千米小时．乙到达地后原地等待．设时乙到达地．‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当时，求的表达式，并判断在，上的最大值是否超过3？说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得，‎ 设此时甲运动到点，则千米，‎ 千米；‎ ‎（2）当时，乙在上的点，设甲在点，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 当时，乙在点不动，设此时甲在点，‎ 当时，，，‎ 故的最大值没有超过3千米．‎ ‎7．（2015•上海）对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为．设单调递增，，．‎ ‎（1）验证是以为周期的余弦周期函数；‎ ‎（2）设，证明对任意（a），（b），存在，，使得；‎ ‎（3）证明：“为方程在，上得解，”的充要条件是“为方程在区间，上的解”，并证明对任意，，都有．‎ ‎【解答】解：（1）；‎ 是以为周期的余弦周期函数；‎ ‎（2）的值域为；‎ 存在，使；‎ 又 ‎，而为增函数；‎ ‎；‎ 即存在，使；‎ ‎（3）证明：若为方程在区间，上的解；‎ 则：，；‎ ‎，且；‎ 为方程在，上的解；‎ ‎ “为方程在，上得解”的充分条件是“为方程在区间，上的解”；下面证明对任意，，都有 ‎①当时，，显然成立；‎ ‎②当时，；‎ ‎，，，且，；‎ 若，，由（2）知存在，使；‎ ‎，；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎，无解；‎ 若，，则存在，使得，；‎ 则，，，为在，上的4个解；‎ 但方程在，上只有，，，3个解，矛盾；‎ 当时，，结论成立；‎ ‎③当时，，，考查方程在上的解；‎ 设其解为，，，，；‎ 则，，，为方程在上的解；‎ 又，；‎ 而，，，，为方程在上的解；‎ ‎；‎ 综上对任意，，都有．‎ ‎8．（2015•上海）已知函数，其中为常数 ‎（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）若，判断函数在，上的单调性，并说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）当时，，显然为奇函数，‎ 当时，（1），，（1），且（1），‎ 所以此时为非奇非偶函数．‎ ‎（2），，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 函数在，上的单调递增．‎ ‎9．（2015•上海）如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米，现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）．甲的路线是，速度为5千米小时，乙的路线是，速度为8千米小时，乙到达地后在原地等待．设时乙到达地，时乙到达地．‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当时，求的表达式，并判断在，上的最大值是否超过3？说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）根据条件知，设此时甲到达点，并连接，如图所示，则；‎ 在中由余弦定理得，‎ ‎（千米）；‎ ‎（2）可以求得，设小时后，且，甲到达了点，乙到达了点，如图所示：‎ 则，；‎ 在中由余弦定理得，‎ ‎；‎ 即，；‎ 设，，的对称轴为；‎ 且；‎ 即的最大值为，则此时取最大值；‎ 即在，上的最大值不超过3．‎ ‎10．（2014•上海）设常数，函数．‎ ‎（1）若，求函数的反函数；‎ ‎（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．‎ ‎【解答】解：（1），‎ ‎，‎ ‎，‎ 调换，的位置可得，，，．‎ ‎（2）若为偶函数，则对任意均成立，‎ ‎，整理可得．‎ 不恒为0，‎ ‎，此时，，满足条件；‎ 若为奇函数，则对任意均成立，‎ ‎，整理可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 此时，满足条件；‎ 当且时，为非奇非偶函数 综上所述，时，是偶函数，时，是奇函数．当且时，为非奇非偶函数 ‎11．（2014•上海）如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设点、在同一水平面上，从和看的仰角分别为和．‎ ‎（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？‎ ‎（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，，求的长（结果精确到0.01米）．‎ ‎【解答】解：（1）设的长为米，则，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得，‎ 即的长至多为28.28米．‎ ‎（2）设，，，‎ 则，‎ 由正弦定理得，‎ 即，‎ ‎，‎ 答：的长为26.93米．‎ ‎12．（2013•上海）甲厂以千克小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求，每小时可获得的利润是元．‎ ‎（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求的取值范围；‎ ‎（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．‎ ‎【解答】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为 根据题意，，即 或 ‎，；‎ ‎（2）设利润为元，则生产900千克该产品获得的利润为 ‎，时，取得最大利润为元 故甲厂应以6千克小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．‎ ‎13．（2013•上海）甲厂以千克小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求，每一小时可获得的利润是元．‎ ‎（1）求证：生产千克该产品所获得的利润为元；‎ ‎（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．‎ ‎【解答】解：（1）生产千克该产品所用的时间是小时，‎ 每一小时可获得的利润是元，获得的利润为元．‎ 因此生产千克该产品所获得的利润为元．‎ ‎（2）生产900千克该产品获得的利润为，．‎ 设，．‎ 则，当且仅当取得最大值．‎ 故获得最大利润为元．‎ 因此甲厂应以6千克小时的速度生产，可获得最大利润457500元．‎ ‎14．（2013•上海）已知函数，无穷数列满足，‎ ‎（1）若，求，，；‎ ‎（2）若，且，，成等比数列，求的值 ‎（3）是否存在，使得，，，，成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，代入计算得，，；‎ ‎（2），，‎ ‎①当时，，‎ 所以，得；‎ ‎②当时，，‎ 所以，得（舍去）或．‎ 综合①②得或．‎ ‎（3）假设这样的等差数列存在，那么，‎ ‎，由得，‎ 以下分情况讨论：‎ ‎①当时，由得，与矛盾；‎ ‎②当时，由得，从而，2，，‎ 所以是一个等差数列；‎ ‎③当时，则公差，‎ 因此存在使得，‎ 此时，矛盾．‎ 综合①②③可知，当且仅当时，，，，，成等差数列．‎ ‎15．（2012•上海）已知 ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，，‎ 求函数，的反函数．‎ ‎【解答】解：（1），‎ 要使函数有意义，则 由解得：．‎ 由得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 由，得：．‎ ‎（2）当，时，，，‎ ‎，‎ 由单调性可知，，‎ 又，‎ 所求反函数是，，．‎ ‎16．（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图，现假设：‎ ‎①失事船的移动路径可视为抛物线；‎ ‎②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；‎ ‎③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为 ‎（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．‎ ‎（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？‎ ‎【解答】解：（1）时，的横坐标，代入抛物线方程中，得的纵坐标．分 由，得救援船速度的大小为海里时．分 由，得，故救援船速度的方向为北偏东弧度．分 ‎（2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为．‎ 由，整理得．分 因为，当且仅当时等号成立，所以，即．‎ 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．分 ‎17．（2011•上海）已知函数，其中常数，满足 ‎（1）若，判断函数的单调性；‎ ‎（2）若，求时的的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）①若，，则与均为增函数，所以在上为增函数；‎ ‎②若，，则与均为减函数，所以在上为减函数．‎ ‎（2）①若，，‎ 由得，‎ 化简得，即，‎ 解得；‎ ‎②若，，‎ 由可得，‎ 解得．‎ ‎18．（2009•上海）有时可用函数，描述学习某学科知识的掌握程度．其中表示某学科知识的学习次数，表示对该学科知识的掌握程度，正实数与学科知识有关．‎ ‎（1）证明：当时，掌握程度的增长量总是下降；‎ ‎（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的的取值区间分别为，，，，，．当学习某学科知识6次时，掌握程度是，请确定相应的学科．‎ ‎【解答】证明：（1）当时，‎ 而当时，函数单调递增，且 故函数单调递减 当时，掌握程度的增长量总是下降 ‎（2）由题意可知 整理得 解得（13分）‎ 由此可知，该学科是乙学科（14分）‎ ‎19．（2009•上海）已知函数的反函数．定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”．‎ ‎（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；‎ ‎（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；‎ ‎（3）设函数对任何，满足“积性质”．求的表达式．‎ ‎【解答】解（1）函数的反函数是，‎ ‎，‎ 而，其反函数为，‎ 故函数不满足“1和性质”．‎ ‎（2）设函数满足“2和性质”， ．‎ ‎，，‎ 而，得反函数，‎ 由“2和性质”定义可知 ，对恒成立．‎ ‎，，即所求一次函数．‎ ‎（3）设，，且点，在图象上，则，在函数图象上，‎ 故，可得，‎ 令 ，则，，即．‎ 综上所述，，此时，其反函数是，‎ 而，故与互为反函数．‎ ‎20．（2008•上海）已知函数．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若对于恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解答】解（1）当时，，‎ 无解；‎ 当时，，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎（舍．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ 即时恒成立 又，，‎ ‎．‎ 实数的取值范围为，．‎ ‎21．（2008•上海）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）‎ ‎【解答】解：法一：设该扇形的半径为米，连接．‎ 由题意，得（米，（米，‎ 在中，‎ 即，‎ 解得（米 答：该扇形的半径的长约为445米．‎ 法二：连接，作，交于，‎ 由题意，得（米，（米，‎ 在中，．‎ ‎（米．‎ ‎．‎ 在直角中，（米，，‎ ‎（米．‎ 答：该扇形的半径的长约为445米．‎ ‎22．（2007•上海）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为．在此后的四年里，增长率以每年的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为 ‎（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）‎ ‎（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到 ‎【解答】解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为，，，．‎ 则2006年全球太阳电池的年生产量为（兆瓦）．‎ （1） 设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．‎ 解得．‎ 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到．‎ ‎23．（2007•上海）已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）若函数在，上为增函数，求实数的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当时，，‎ 对任意，，，有，‎ 为偶函数．‎ 当时，，‎ 取，得（1），‎ ‎（1），‎ ‎（1），（1）．‎ 函数既不是奇函数也不是偶函数．‎ ‎（2）设，‎ ‎，‎ 要使函数在，上为增函数，‎ 必须恒成立．‎ ‎，，‎ 即恒成立．‎ 又，，‎ 的取值范围是，．‎ ‎24．（2006•上海）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在，上是减函数，在，上是增函数．‎ ‎（Ⅰ）如果函数的值域为，，求的值；‎ ‎（Ⅱ）研究函数（常数在定义域内的单调性，并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）对函数和（常数作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数是正整数）在区间，上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．‎ ‎【解答】解：（1）函数的最小值是，则，‎ ‎．‎ ‎（2）设，．‎ 当时，，函数在，上是增函数；‎ 当时，函数在，上是减函数．‎ 又是偶函数，于是，‎ 该函数在，上是减函数，在，上是增函数；‎ ‎（3）可以把函数推广为（常数，其中是正整数．‎ 当是奇数时，函数在，上是减函数，在，上是增函数，‎ 在，上是增函数，在，上是减函数；‎ 当是偶数时，函数在，上是减函数，在，上是增函数，‎ 在，上是减函数，在，上是增函数；‎ ‎，‎ 因此在，上是减函数，在，上是增函数．‎ 所以，当或时，取得最大值；‎ 当时取得最小值；‎ ‎25．（2006•上海）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到？‎ ‎【解答】解：连接，‎ 由余弦定理得 ‎．‎ 于是，‎ ‎，‎ ‎，‎ 乙船应朝北偏东方向沿直线前往处救援．‎ ‎26．（2005•上海）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，‎ ‎（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？‎ ‎（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于？‎ ‎【解答】解：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，‎ 其中，，‎ 则，‎ 令，‎ 即，而是正整数，，‎ 到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．‎ ‎（2）设新建住房面积形成数列，由题意可知是等比数列，‎ 其中，，‎ 则，‎ 由题意可知，有，‎ 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数，‎ 到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于．‎ ‎27．（2005•上海）对定义域是．的函数．，‎ 规定：函数．‎ ‎（1）若函数，，写出函数的解析式；‎ ‎（2）求问题（1）中函数的值域；‎ ‎（3）若，其中是常数，且，，请设计一个定义域为的函数，及一个的值，使得，并予以证明．‎ ‎【解答】解：（1）．‎ ‎（2）当时，，‎ 若时，则，其中等号当时成立 若时，则，其中等号当时成立 函数的值域是，，‎ ‎（3）令，‎ 则，‎ 于是．‎ 另解令，，‎ ‎，‎ 于是．‎ ‎28．（2004•上海）已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图象与直线的两个交点间距离为8，．‎ ‎（1）求函数的表达式；‎ ‎（2）证明：当时，关于的方程（a）有三个实数解．‎ ‎【解答】解：（1）由已知，设，过点，‎ 即（1），得，‎ ‎．‎ 设，它的图象与直线的交点分别为 ‎，，‎ 由，得，．．故．‎ ‎（2）证法一：（a），得，‎ 即．‎ 在同一坐标系内作出和的大致图象，‎ 其中的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，‎ 与的图象是以为顶点，开口向下的抛物线．‎ 因此，与的图象在第三象限有一个交点，‎ 即有一个负数解．‎ 又，‎ 当时， ，‎ 当时，在第一象限的图象上存在一点在图象的上方．‎ 与的图象在第一象限有两个交点，即有两个正数解．‎ 因此，方程有三个实数解．‎ 证法二：由，得，‎ 即，得方程的一个解．‎ 方程化为，‎ 由，△，得 ‎，，‎ ‎，，，且．‎ 若，即，则，，‎ 得或，这与矛盾，．‎ 故原方程有三个实数解．‎ ‎29．（2003•上海）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立．‎ ‎（1）函数是否属于集合？说明理由；‎ ‎（2）设函数的图象与的图象有公共点，证明：；‎ ‎（3）若函数，求实数的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）对于非零常数，‎ ‎，．‎ 因为对任意，不能恒成立，‎ 所以；‎ ‎（2）因为函数且的图象与函数的图象有公共点，‎ 所以方程组：有解，消去得，‎ 显然不是方程的解，所以存在非零常数，使．‎ 于是对于有故；‎ ‎（3）当时，，显然．‎ 当时，因为，所以存在非零常数，‎ 对任意，有成立，‎ 即．‎ 因为，且，所以，，‎ 于是，，，，‎ 故要使．成立，‎ 只有，当时，成立，‎ 则，．‎ 当时，成立，‎ 即成立，‎ 则，，即，．‎ 综合得，实数的取值范围是，．‎ ‎30．（2003•上海）已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．‎ ‎【解答】解：（1）须满足，‎ 由得，‎ 所以函数的定义域为，，．‎ ‎（2）因为函数的定义域关于原点对称，‎ 且对定义域内的任意，‎ 有，‎ 所以是奇函数．‎ 研究在内的单调性，‎ 任取、，且设，‎ 则 由，‎ 得，即在内单调递减，‎ 由于是奇函数，所以在内单调递减．‎ ‎31．（2002•上海）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：‎ 消费金额（元的范围 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 获得奖券的金额（元 ‎30‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎130‎ 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：（元 ‎，设购买商品得到的优惠率，试问：‎ ‎（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？‎ ‎（2）对于标价在，（元内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：．‎ 故购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是．‎ ‎（2）设商品的标价为元．‎ 则，消费额：．‎ 由已知得（Ⅰ）‎ 或　（Ⅱ）‎ 不等式组（Ⅰ）无解，不等式组（Ⅱ）的解为．‎ 因此，当顾客购买标价在，元内的商品时，‎ 可得到不小于的优惠率．‎ ‎32．（2001•上海）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．‎ ‎（Ⅰ）试规定的值，并解释其实际意义；‎ ‎（Ⅱ）试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质；‎ ‎（Ⅲ）设．现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．‎ ‎【解答】解：（1），表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样．‎ ‎（2）函数应该满足的条件和具有的性质是：在，上单调递减，‎ 且．‎ ‎（3）设仅清洗一次，残留在农药量为，‎ 清洗两次后，残留的农药量为，‎ 则；‎ 于是，当时，清洗两次后残留在农药量较少；当时，两种清洗方法具有相同的效果；‎ 当时，一次清洗残留的农药量较少．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制