全国名校高考数学专题训练09立体几何解答题3

全国名校高考数学专题训练09立体几何解答题3

全国名校高考专题训练09立体几何（解答题3)‎ ‎51、 (河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)如图PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点。‎ ‎ （1）求证：AF//平面PCE；‎ ‎ （2）若二面角P—CD—B为45°，AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离。‎ 证：（1）取PC中点M，连ME，MF ‎∵FM//CD，FM=，AE//CD，AE= ‎∴AE//FN，且AE=FM，即四边形AFME是平行四边形 ‎∴AE//EM，‎ ‎∵AF平面PCEAF//平面PCE 解：（2）∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，‎ ‎∴CD⊥PD ‎∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角，‎ ‎∴∠PDA=45°‎ ‎∴△PAD是等腰Rt∠，而EM//AF。‎ 又∵AF⊥CD ‎∴AF⊥面PCD，而EM//AF ‎∴EM⊥面PCD 又EM面PEC，‎ ‎∴面PEC⊥面PCD 在面PCD内过F作FH⊥PC于H则FH为点F到面PCE的距离 由已知PD= ‎∵△PFH∽△PCD ‎∴ ‎∴ ‎52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F为CD中点．‎ ‎(1)求证：EF⊥面BCD；‎ ‎(2)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值 ‎53、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)如图，在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，BB1＝BC＝2，且M是BC的中点，点N在CC1上．‎ ‎(Ⅰ)试确定点N的位置，使AB1⊥MN；‎ ‎(Ⅱ)当AB1⊥MN时，求二面角M－AB1－N的大小．‎ ‎54、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知斜三棱柱的各棱长均为2， 侧棱与底面所成角为，‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ O 且侧面底面.‎ ‎（1）证明：点在平面上的射影为的中点；‎ ‎（2）求二面角的大小 ；‎ ‎（3）求点到平面的距离.‎ ‎（1）证明：过B1点作B1O⊥BA。∵侧面ABB‎1A1⊥底面ABC ‎∴A1O⊥面ABC ∴∠B1BA是侧面BB1与底面ABC倾斜角 ‎∴∠B1BO= 在Rt△B1OB中，BB1=2，∴BO=BB1=1‎ 又∵BB1=AB，∴BO=AB ∴O是AB的中点。‎ 即点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点 …………4分 ‎ （2）连接AB1过点O作OM⊥AB1，连线CM，OC，‎ ‎∵OC⊥AB，平面ABC⊥平面AA1BB1 ∴OC⊥平面AABB。‎ ‎∴OM是斜线CM在平面AA1B1B的射影 ∵OM⊥AB1‎ ‎∴AB1⊥CM ∴∠OMC是二面角C—AB1—B的平面角 在Rt△OCM中，OC=，OM= ‎∴∠OMC=cosC+sin2‎ ‎∴二面角C—AB1—B的大小为 …………8分 ‎ （3）过点O作ON⊥CM，∵AB1⊥平面OCM，∴AB1⊥ON ‎∴ON⊥平面AB‎1C。∴ON是O点到平面AB‎1C的距离 连接BC1与B‎1C相交于点H，则H是BC1的中点 ‎∴B与C1到平面ACB1的相导。‎ 又∵O是AB的中点 ∴B到平面AB‎1C的距离 是O到平面AB‎1C距离的2倍 是G到平面AB‎1C距离为 …………12分 ‎55、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)如图，正方形ABCD中，AC∩BD＝O,PO⊥平面ABCD，PO＝AD＝，点E在PD上，PE：ED=2：1。‎ ‎ （1）证明：PD⊥平面EAC；‎ ‎ （2）求二面角A—PD—C的余弦值；‎ ‎ （3）求点B到平面PDC的距离。‎ 解：（1） ‎ （2）∠CEA为二面角A—PD—C的平面角， ‎ （3）点B到平面PDC的距离为 ‎56、(湖北省八校高2008第二次联考)S Q D A B P C 如图，已知四棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，四边形为菱形，，为的中点，为的中点. ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小．‎ 解：（1）证明取SC的中点R，连QR, DR.‎ 由题意知：PD∥BC且PD=BC; ‎ QR∥BC且QP=BC,‎ QR∥PD且QR=PD.‎ PQ∥DR, 又PQ面SCD,‎ PQ∥面SCD. …………（6分）‎ ‎ （2）法一：连接SP， ‎ .‎ ‎ . ，‎ …………（12分）‎ ‎（2）法二：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，‎ 则S（），B（）,C（），Q（）.‎ ‎ 面PBC的法向量为（）,设为面PQC的一个法向量，‎ ‎ 由，‎ cos，‎ …………（12分）‎ ‎57、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)如图，在长方体ABCD—A1B‎1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.‎ ‎ （1）证明：D1E⊥A1D；‎ ‎ （2）当E为AB的中点时，求点A到面ECD1的距离；‎ ‎ （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.‎ ‎（1）证明：连，在长方体ABCD—A1B‎1C1D1中，为在平面的射影，‎ 而AD=AA1=1，则四边形是正方形，‎ 由三垂线定理得D1E⊥A1D ……………3分 ‎（2）解：以点D为原点，DA为轴，DC为轴建立如图所示的直角坐标系。则 、、、则，，‎ ，设平面的法向量为 ，记 点A到面ECD1的距离……………7分 ‎（3）解：设则，设平面的法向量为 ，记 而平面ECD的法向量，则二面角D1—EC—D的平面角 。‎ 当AE=时，二面角D1—EC—D的大小为。……………12分 ‎58、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)(湖北省鄂州市2008年高考模拟)在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足（如图1）.将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）‎ ‎ （Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；‎ ‎ （Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；‎ ‎ （Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）.‎ 图1‎ 图2‎ Ｅ Ｂ Ｐ Ｃ Ｆ Ｄ 解：不妨设正三角形的边长为3，则 ‎（1）在图1中，取中点，连结，‎ 则∵ ,‎ ‎∴而，即△ ‎ 是正三角形 又∵, ∴ ‎∴在图2中有,,‎ ‎∴为二面角的平面角 ‎∵二面角为直二面角,　∴ 又∵,　∴⊥平面,即⊥平面.‎ ‎（2）由（1）问可知A1E⊥平面BEP，BE⊥EF,建立如图的坐标系，则Ｅ（0，0，0），A1（0，0，1）B（2，0，0），F（0，0，）.在图１中，不难得到ＥF//ＤP且ＥF＝ＤP；ＤＥ// FP且ＤＥ＝FP 故点Ｐ的坐标Ｐ（1，，0）‎ ‎∴，， 不妨设平面A1BP的法向量，则 令得　　∴ 故直线A1E与平面A1BP所成角的大小为.‎ ‎ （3）由（2）问可知平面A1BP的法向量，， 设平面AEP的法向量，则 令得　故 显然二面角B－A1P－F为钝角　　故二面角B－A1P－F为.‎ ‎【方法探究】本题属于翻折问题，在翻折前的图１中易证EＦ⊥AB，而翻折后保持这一垂直关系，并且易证，从而有“三条直线两两垂直”，所以本例可以建立坐标系，利用空间向量求解.‎ ‎【技巧点拨】本题属于翻折问题，这是高考的热点题型. 求解翻折问题的策略是对比翻折前后，分析变与不变，一般地有：（1）分析翻折前后点的变化，注意点与点的重合问题以及点的位置的改变；（2）分析翻折前后长度与角度的变化，注意利用平面图形解决空间的线段长度以及空间角的大小；（3）若翻折后，线与线仍同在一个平面内，则它们的位置关系不发生任何变化；若翻折后，线与线由同一平面转为不同平面，则应特别注意点的位置变化.‎ ‎59、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是a的正方形，‎ PA⊥平面ABCD，且PA=2AB ‎ （Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角B—PC—D的余弦值.‎ 解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BD ‎∵ABCD为正方形 ∴AC⊥BD ‎∴BD⊥平面PAC又BD在平面BPD内，‎ ‎∴平面PAC⊥平面BPD 6分 ‎ （Ⅱ）解法一：在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N，连DN，‎ ‎∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；‎ ‎∴∠BND为二面角B—PC—D的平面角，‎ 在△BND中，BN=DN=，BD= ‎∴cos∠BND = ‎ 解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系如图，在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N连DN，‎ ‎∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；‎ ‎∴∠BND为二面角B—PC—D的平面角 设 10分 12分 解法三：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间坐标系，作AM⊥PB于M、AN⊥PD于N，易证AM⊥平面PBC，AN⊥平面PDC，‎ 设 ‎∵二面角B—PC—D的平面角与∠MAN互补 ‎∴二面角B—PC—D的余弦值为 12分 ‎60、(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD. 已知 ‎（1）证明；‎ ‎（2）求直线SD与平面SAB所成角的大小.‎ 解法一：（1）作，垂足为O，连结AO，由侧面底面ABCD，得底面ABCD. 因为SA=SB，所以AO=BO. 又，故为等腰直角三角形， 由三垂线定理，得 ‎（2）由（1）知，依题设，故，由，得 所以的面积 连结DB，得的面积 设D到平面SAB的距离为h，由，‎ 得，解得 设SD与平面SAB所成角为，则 所以直线SD与平面SAB所成的角为 解法二：（1）作，垂足为O，连结AO，由侧面底面ABCD，得平面ABCD. 因为SA=SB，所以AO=BO. 又，为等腰直角三角形， 如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O—xyz， ，所以 ‎（2）取AB中点E，. 连结SE，取SE中点G，连结OG， ，OG与平面SAB内两条相交直线SE、AB垂直，所以平面SAB.的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余.‎ 所以直线SD与平面SAB所成的角为 ‎61、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，，，，点分别为的中点。‎ ‎⑴求证：；‎ ‎⑵求直线与平面所成的角的大小；‎ ‎⑶求二面角的正切值。‎ 解：⑴连结。在中， ，点为的中点， 又面，即为在平面内的射影 分别为的中点 ‎⑵面， 连结交于点，，‎ 平面 为直线与平面所成的角，且 面，，又 ，，‎ 在中，， ‎⑶过点作于点，连结，，‎ 面，即为在平面内的射影 ，为二面角的平面角 ‎ 中，，‎ ‎（其他解法根据具体情况酌情评分）‎ ‎62、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，且,点是的中点。‎ ‎⑴求证：；‎ ‎⑵求证：；‎ ‎⑶求二面角的大小。‎ ‎ ‎ ‎63、A B C D P (湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)如图,四棱锥的底面是边长为的菱形,,平面,‎ .‎ ‎（Ⅰ）求直线PB与平面PDC所成的角的正切值;‎ ‎（Ⅱ）求二面角A－PB－D的大小.‎ 解：（Ⅰ）取DC的中点E.‎ ‎∵ABCD是边长为的菱形,，∴BE⊥CD.‎ ‎∵平面, BE平面，∴ BE.‎ ‎∴BE⊥平面PDC.∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角. ……………………3分 ‎∵BE=，PE=,∴==. ……………………………6分 ‎（Ⅱ）连接AC、BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以AO⊥BD.‎ ‎∵平面, AO平面，‎ ‎∴ PD. ∴AO⊥平面PDB.‎ 作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB.‎ 故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角. ……………………………9分 ‎∵AO=，OF=，∴=.‎ ‎∴=. ……………………………12分 ‎64、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．‎ ‎ （Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；‎ ‎ （Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；‎ ‎ （Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．‎ 解：（Ⅰ）取PC的中点O，连结OF、 ‎ ‎ OE．∴FO∥DC，且FO=DC ‎∴FO∥AE ……………………2分 又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE．‎ ‎∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE 又OE平面PEC，AF平面PEC ‎∴AF∥平面PEC ‎（Ⅱ）连结AC ‎∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平 面ABCD所成的角……………………6分 在Rt△PAC中， 即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 ……………………9分 ‎（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连结PM，由三垂线定理．得PM⊥CE ‎∴∠PMA是二面角P—EC—D的平面角． ……………………11分 由△AME∽△CBE，可得，∴ ‎∴二面角P一EC一D的大小为 ……………………13分 解法二：以A为原点，如图建立直角坐标系，‎ 则A（0．0，0），B（2，0，0），C（2，l，0），‎ D（0，1，0），F（0，，），E（1，0，0），‎ P（0，0，1）‎ ‎（Ⅰ）取PC的中点O，连结OE，则O（1，，），‎ ‎∴ ……………………5分 又OE平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC ………………… 6分 ‎（Ⅱ）由题意可得，平面ABCD的法向量 即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 …………9分 ‎（Ⅲ）设平面PEC的法向量为 则，可得，令，则 ……11分 由（2）可得平面ABCD的法向量是 ‎∴二面角P一EC一D的大小为 ……………………13分 ‎65、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)在直三棱柱中，A‎1A=AB=3，AC=3，‎ 、Q分别为棱BB1、CC1上的点，且 .‎ ‎（1）求平面APQ与面ABC所成的锐二面角的大小.‎ ‎（2）在线段A1B（不包括两端点）上是否存在一点M，使AM+MC1最小？‎ 若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.‎ 解：（1）建立如图所示空间直角坐标系A A（0，0，0），P（3，0，），Q（0，3，2）.‎ 设平面APQ的一个法向量为 令，则 平面ABC的一个法向量 ‎∴平面APQ与面ABC所成的锐角大小为45°.…………………………………………（6分）‎ ‎（1）问也用传统方法求解.（并参照计分）‎ ‎（2）沿A1B将面A1BC1与面A1BA展开，连结AC1与A1B交于点M，此时AM+MC1有最小值.‎ ‎∵又C‎1A1⊥面ABB‎1A1，∴C‎1A1⊥A1B.‎ ‎∴△AA‎1C1中，∠AA‎1C1=135°‎ AC1= ‎∴存在点M，使AM+AC1取最小值为………………………………………（12分）‎ ‎66、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)如图，棱柱ABCD—A1B‎1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA‎1C1C⊥平面ABCD，∠A‎1AC=60°。‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；‎ ‎（Ⅱ）求二面角D—A‎1A—C的平面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA‎1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。‎ 解：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，‎ 连接A1O 在△AA1O中，AA1=2，AO=1，‎ ‎∠A1AO=60°‎ ‎∴A1O2=AA12+AO2－2AA1·Aocos60°=3‎ ‎∴AO2+A1O2=A12‎ ‎∴A1O⊥AO，由于平面AA‎1C1C⊥‎ 平面ABCD，‎ 所以A1O⊥底面ABCD ‎∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、‎ y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A1（0，0，）‎ ‎……2分 ‎（Ⅰ）由于 则 ‎∴BD⊥AA1 ……………………4分 ‎ （Ⅱ）由于OB⊥平面AA‎1C1C ‎∴平面AA‎1C1C的法向量 设⊥平面AA1D 则 得到 ……………………6分 所以二面角D—A‎1A—C的平面角的余弦值是 ……………………8分 ‎（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA‎1C1‎ 设 则 得 ……………………9分 设 则设 得到 ……………………10分 又因为平面DA‎1C1‎ 则· 即点P在C‎1C的延长线上且使C‎1C=CP ……………………12分 ‎67、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB中点，截面DAN交PC于M.‎ ‎ （Ⅰ）求PB与平面ABCD所成角的大小；‎ ‎ （Ⅱ）求证：PB⊥平面ADMN；‎ ‎ （Ⅲ）求以AD为棱，PAD与ADMN为面的二面角的大小.‎ 解：解法一：（I）取AD中点O，连结PO，BO.‎ ‎ △PAD是正三角形，所以PO⊥AD，‎ ‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD，‎ ‎ 所以PO⊥平面ABCD，‎ ‎ BO为PB在平面ABCD上的射影， ‎ ‎ 所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角 ‎ 由已知△ABD为等边三角形，所以PO＝BO＝，‎ ‎ 所以PB与平面ABCD所成的角为45°.‎ ‎ （Ⅱ）△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，所以AD⊥PB，‎ ‎ 又，PA＝AB＝2，N为PB中点，所以AN⊥PB，‎ ‎ 所以PB⊥平面ADMN.‎ ‎ （Ⅲ）连结ON，因为PB⊥平面ADMN，所以ON为PO在平面ADMN上的射影，‎ ‎ 因为AD⊥PO，所以AD⊥NO，‎ ‎ 故∠PON为所求二面角的平面角.‎ ‎ 因为△POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，所以∠PON＝45°，‎ ‎ 即所求二面角的大小为45°‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）因为PO⊥平面ABCD，‎ 所以PO⊥BO，△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，‎ 以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 由已知O（0，0，0），B（0，，0，），P（0，0，），A（1，0，0），D（－1，0，0），N（0，），‎ 所以 ，‎ 所以，‎ 所以AD⊥PB，AN⊥PB，所以PB⊥平面ADMN，‎ ‎（Ⅲ）因为AD⊥PB，AD⊥BO，所以AD⊥平面POB， 所以ON⊥AD，‎ 又PO⊥AD，所以故∠PON为所求二面角的平面角. ‎ 因为 设所求二面角为，则，‎ 所以＝45°，即所求二面角的大小为45°.‎ ‎68、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)如图，已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面中心，且在底面上的射影为，‎ ‎ （1）求证：平面平面；‎ A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A B C D O E F O1‎ ‎ （2）若点、分别在棱、上，且，问点在何处时，？‎ ‎ （3）若，求二面角的大小．‎ 解法一：（1）证明: 建立空间直角坐标系如图所示，设地面正方形的边长为a，，‎ ‎ 则 ， ‎ ‎ 由 ，得 平面 A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A B C D O E F O1‎ x y z ‎ 又平面， 平面平面 …………………4分 ‎ （2） 由（1）及，‎ ‎ 得 ‎ 设，则，‎ ‎ ‎ ‎ 由 …………… 8分 ‎（3）由， 从而 ， ‎ 设 是平面的一个法向量， 则 ‎ 又 平面的一个法向量为 ‎ 所求二面角的大小为 ………12分 ‎ 解法二：用欧氏几何推证的方法也可以解决。（略）‎ ‎69、(吉林省吉林市2008届上期末)如图，在直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，AA1=，‎ AC=BC=2，∠C=90°，点D是A‎1C1的中点.‎ ‎ （1）求证：BC1//平面AB1D；‎ ‎ （2）求二面角A1—B1D—A的正切值.‎ ‎（1）证明：连结A1B交AB1于点O，连结OD ‎∵点D是A‎1C1的中点，点O是A1B的中点，∴OD∥BC1 …………………………2分 又∵OD平面A1B‎1C1，BC1平面A1B‎1C1‎ ‎∴BC1∥平面AB1D ………………………………………………………………5分 ‎ （2）过点A1作A1E垂直B1D交B1D延长于点E，连结AE ‎∵ABC—A1B‎1C1是直三棱柱 ∴A‎1A⊥平面A1B‎1C1‎ 又∵A1E⊥B1D ∴AE⊥B1D ∴∠AEA1是二面角A—B1D—A1的平面角 ………9分 …………………………………………………………12分 解法二：利用空间向量法（略）‎ ‎70、 (吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)如图，正三棱柱中，是的中点， ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小。‎ 解法一：（Ⅰ）证明：连接 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∥。 ……………………3分 ∥平面 …………………………5分 ‎（Ⅱ）解：在平面 —— ……………………8分 设。‎ 在 所以，二面角——的大小为。 ………………12分 解法二：建立空间直角坐标系—，如图，‎ ‎（Ⅰ）证明：连接连接。设 则 ∥。 …………………………3分 ∥平面…………5分 ‎（Ⅱ）解： 设 故 同理，可求得平面。………………9分 设二面角——的大小为 的大小为。……………………12分 ‎71、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)如图，正三棱柱ABC—A1B‎1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1= ‎ （1）求证：PA1⊥BC； （2）求证：PB1//平面AC1D；（3）求 ‎ 解：（1）证明：取B‎1C1的中点Q，连结A1Q，PQ，‎ ‎∴B‎1C1⊥A1Q，B‎1C1⊥PQ，‎ ‎∴B‎1C1⊥平面AP1Q，‎ ‎∴B‎1C1⊥PA1，‎ ‎∵BC∥B‎1C1，∴BC⊥PA1. ‎ ‎ （2）连结BQ，在△PB‎1C1中，PB1=PC1=，B‎1C1=2，Q为中点，‎ ‎∴PQ=1，∴BB1=PQ，‎ ‎∴BB1∥PQ，∴四边形BB1PQ为平行四边形，‎ ‎∴PB1∥BQ. ‎ ‎∴BQ∥DC1，‎ ‎∴PB1∥DC1，‎ 又∵PB1面AC1D，‎ ‎∴PB1∥平面AC1D.‎ ‎（3）= ‎ ‎72、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)P B C D A 如图，在四棱锥P-ABCD中，CD//AB , AD⊥AB , AD = DC = AB , BC⊥PC．‎ ‎（1）求证：PA⊥BC ；‎ ‎（2）试在线段PB上找一点M，使CM // 平面PAD， 并说明理由．‎ 解：（1）连，在四边形ABCD中，．‎ ‎ 设，．‎ 在中，， 在中， ．‎ ‎ ，………………………3分 又，‎ ……………………………………………………5分 …………………………………………7分．‎ ‎(2)当为的中点时，………………8分 ‎ 取的中点，连结则．‎ ‎ ‎ ，…………12分 ‎ ，，……14分．‎ A B B1‎ C1‎ A1‎ C ‎73、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)如图，在正三棱柱ABC–A1B‎1C1中，AB = 2，AB1⊥BC1‎ ‎（1）求BB1的长；‎ ‎（2）求二面角A1–AB1–C1的余弦值．‎ 解：（1）分别取中点，连结．‎ ‎ 在正三棱柱中，四边形为矩形，．‎ ‎ 分别为中点，‎ ‎ ，．‎ ‎ 为正三角形，为中点．‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 分别以，，所在直线为．‎ ‎ 建立如图的空间直角坐标系……………………………………2分．‎ 设，．‎ ‎ ， ‎ ‎ 即： ‎ 即：……………………………………5分．‎ ‎（2） ‎ 的一个法向量是…………………7分．‎ ‎ 设平面的法向量为 ，‎ 又 解得： 不妨设，则平面的一个法向量…………10分 二面角的余弦值是．‎ ‎74、A B C D D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ (江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，‎ ‎∠BAD＝∠ADC＝90°，．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB‎1C1C；‎ ‎（Ⅱ）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与 平面ACB1都平行？证明你的结论．‎ 证明：（Ⅰ） 直棱柱中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC． ………………2分 又∠BAD＝∠ADC＝90°，，‎ ‎∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．………………………………5分 又，平面BB‎1C1C， AC⊥平面BB‎1C1C． ………………7分 ‎（Ⅱ）存在点P，P为A1B1的中点． ……………………………………………………………8分 证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝AB．……………………………………9分 又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB1，且DC＝ PB1，‎ ‎∴DC PB1为平行四边形，从而CB1∥DP．……………………………………………11分 又CB1面ACB1，DP 面ACB1，DP‖面ACB1．………………………………13分 同理，DP‖面BCB1．……………………………………………………………………14分 评讲建议：‎ 本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的．‎ 变题：‎ 求证：（1）A1B⊥B1D；（2）试在棱AB上确定一点E，使A1E∥平面ACD1，并说明理由．‎ ‎75、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，E、F分 ‎ 别是BB1、CD的中点．‎ ‎ （1）求证AE⊥D‎1F；‎ ‎（2）证明平面AED⊥平面A1FD1．‎ 解：（1）取AB的中点G，则易证得A‎1G∥D‎1F．‎ 又正方形A1ABB1中，E、G分别是相应边的中点，‎ ‎∴A‎1G⊥AE，‎ ‎∴D‎1F⊥AE．‎ ‎（2）由正方体可知：A1 D1⊥面A1ABB1，∴A1D1⊥AE ．‎ 又由（1）已证：D‎1F⊥AE．‎ ‎∵A1D1∩D‎1F= D1，‎ ‎∴AE⊥平面A1FD1 ．‎ 又平面AED，‎ ‎ ∴平面AED⊥平面A1FD1 ．‎