高中数学抛物线_高考经典例题

高中数学抛物线_高考经典例题

‎1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．‎ ‎2抛物线的图形和性质：‎ ‎①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。‎ ‎②焦准距：‎ ‎③通径：过焦点垂直于轴的弦长为。‎ ‎④顶点平分焦点到准线的垂线段：。‎ ‎⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。‎ ‎⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。‎ ‎⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。‎ ‎3抛物线标准方程的四种形式：‎ ‎4抛物线的图像和性质：‎ ‎①焦点坐标是：，‎ ‎②准线方程是：。‎ ‎③焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：，‎ ‎④焦点弦长公式：过焦点弦长 ‎⑤抛物线上的动点可设为P或或P ‎5一般情况归纳：‎ 方程 图象 焦点 准线 定义特征 y2=kx k>0时开口向右 ‎(k/4,0)‎ x= ─k/4‎ 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离 k<0时开口向左 x2=ky k>0时开口向上 ‎(0,k/4)‎ y= ─k/4‎ 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离 k<0时开口向下 抛物线的定义： ‎ 例1：点M与点F (－4，0)的距离比它到直线l：x－6=0的距离4.2，求点M的轨迹方程．‎ 分析：点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义．‎ 答案：y2=－16x 例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长．‎ 分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和．‎ 解：如图8－3－1，y2=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x－1．‎ 由消去y得x2－6x+1=0．‎ 设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6．‎ 又A、B两点到准线的距离为，，则 点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。‎ 例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程；‎ ‎(2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程；‎ ‎(3) 已知抛物线方程为y=－mx2 (m>0)求它的焦点坐标和准线方程；‎ ‎(4) 求经过P (－4，－2)点的抛物线的标准方程；‎ 分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值(注意p>0)．特别是(3)题，要先化为标准形式：，则．(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解．‎ 答案：(1) ，．(2) x2=12y (3) ，；(4) y2=－x或x2=－8y．‎ 例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：‎ ‎（1）过点（－3，2）；‎ ‎（2）焦点在直线x－2y－4=0上 分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论 解：（1）设所求的抛物线方程为y2=－2px或x2=2py（p＞0），‎ ‎∵过点（－3，2），‎ ‎∴4=－2p（－3）或9=2p·2‎ ‎∴p=或p=‎ ‎∴所求的抛物线方程为y2=－x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=－‎ ‎（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，‎ ‎∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）‎ 当焦点为（4，0）时，=4，‎ ‎∴p=8，此时抛物线方程y2=16x；‎ 焦点为（0，－2）时，=2，‎ ‎∴p=4，此时抛物线方程为x2=－8y ‎∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y，‎ 对应的准线方程分别是x=－4，y=2‎ 常用结论 ‎① 过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p ‎② 设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2‎ ‎③ 设A， B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点， 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)‎ 例5：过抛物线y2=2px (p>0)的顶点O作弦OA⊥OB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=－4p2．‎ 分析：由OA⊥OB，得到OA、OB斜率之积等于－1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系．又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程．从这几个关系式可以得到y1、y2的值．‎ 证：由OA⊥OB，得，即y1y2=－x1x2，又，，所以：，即． 而y1y2≠0．所以y1y2=－4p2．‎ 弦的问题 例1 A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OA^OB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；‎ ‎(2)直线AB经过一个定点 ‎(3)作OM^AB于M，求点M的轨迹方程 解：(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2, ‎ ‎∴y12y22=4p2x1x2, ‎ ‎∵OA^OB, ∴x1x2+y1y2=0,‎ 由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=─4p2 (定值)‎ ‎(2)直线AB的斜率k===, ‎ ‎∴直线AB的方程为y─y1=(x─),‎ 即y(y1+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得 y=(x─2p),‎ 直线AB过定点C(2p,0)‎ ‎(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=(x─2p) (i),‎ 又AB^OM, 故两直线的斜率之积为─1, 即·= ─1 (ii)‎ 由(i),(ii)得x2─2px+y2=0 (x¹0)‎ 解法2: 由OM^AB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出 例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标 解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,‎ 又设点A，B，M在准线:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，‎ 则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,‎ ‎∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)³(|AB|─)=‎ 等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─)‎ 由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0‎ 依题意|AB|=|x1─x2|=×==3,‎ ‎∴k2=1/2, 此时x=(x1+x2)== ‎ ‎∴y= ±即M(,), N(,─)‎ 例3设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在轴上的射影分别为, P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形 解析: 设,‎ ‎, ‎ 由得 ‎ ①‎ 又代入①式得 ②‎ 由得 代入②式得:‎ 由得或, 又由①式知关于是减函数且 ‎, 且 所以Q点轨迹为一线段(抠去一点): ‎ ‎(且)‎ 例4 已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0)‎ ‎ ①求抛物线方程; ②求面积的最大值 解: ①设, AB中点 ‎ 由得 ‎ 又 得 所以 依题意, ‎ 抛物线方程为 ‎ ‎②由及, ‎ 令得 ‎ 又由和得: ‎ 例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标 解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,‎ 又设点A，B，M在准线:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，‎ 则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,‎ ‎∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)³(|AB|─)=‎ 等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─)‎ 由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0‎ 依题意|AB|=|x1─x2|=×==3,‎ ‎∴k2=1/2, 此时x=(x1+x2)== ‎ ‎∴y= ±即M(,), N(,─)‎ 综合类(几何)‎ 例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？‎ 解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此，将方程联立，解出 直线OP的方程为即 令，得M点纵坐标得证．‎ 由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐．‎ 思路二：利用命题“如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为、，那么”来证．‎ 设、、，并从及中消去x，得到，则有结论，即．‎ 又直线OP的方程为， ，得．‎ 因为在抛物线上，所以．‎ 从而．‎ 这一证法运算较小．‎ 思路三：直线MQ的方程为的充要条件是．‎ 将直线MO的方程和直线QF的方程联立，它的解（x ,y）就是点P的坐标，消去的充要条件是点P在抛物线上，得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小．‎ 说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立．‎ 例2 已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积．‎ 分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以为三角形的底，只要确定高的最大值即可．‎ 解：设AB所在的直线方程为．‎ 将其代入抛物线方程，消去x得 当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值．‎ 设直线l方程为．代入抛物线方程得 由得，这时．它到AB的距离为 ‎∴△RAB的最大面积为．‎ 例3 直线过点，与抛物线交于、两点，P是线段的中点，直线过P和抛物线的焦点F，设直线的斜率为k．‎ ‎（1）将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数；‎ ‎（2）求出的定义域及单调区间．‎ 分析：过点P及F，利用两点的斜率公式，可将的斜率用k表示出来，从而写出，由函数的特点求得其定义域及单调区间．‎ 解：（1）设的方程为：，将它代入方程，得 设，则 将代入得：，即P点坐标为．‎ 由，知焦点，∴直线的斜率 ‎∴函数．‎ ‎（2）∵与抛物线有两上交点，∴且 解得或 ‎∴函数的定义域为 当时，为增函数．‎ 例4 如图所示：直线l过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线．‎ 分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论．‎ 证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为0．‎ 设C、D的坐标分别为与．则 ‎∴l的方程为 ‎∵直线l平分弦CD ‎∴CD的中点在直线l上，‎ 即，化简得：‎ 由知得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线．‎ 证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线 ‎∵焦点F在直线l上，∴‎ 由抛物线定义，到抛物线的准线的距离相等．‎ ‎∵，‎ ‎∴CD的垂直平分线l：与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略．‎ 例5 设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程．‎ 分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点；待求得的关系后再用动点坐标来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算．‎ 解法一：设 则：，‎ ‎，即 ‎， ①‎ 把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：显然 代入化简整理得：‎ ‎， ②‎ 由①、②得：，化简得 用x、y分别表示得：‎ 解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设，则以OA为直径的圆方程为：‎ ‎ ①‎ 设，OA⊥OB，则 在求以OB为直径的圆方程时以代，可得 ‎ ②‎ 由①＋②得：‎ 例6如图所示，直线和相交于点M，⊥，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．‎ 分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．‎ 解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．‎ 由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．‎ ‎∴设曲线段C满足的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标 令则，‎ ‎∴由两点间的距离公式，得方程组：‎ 解得或 ‎∵△AMN为锐角三角形，∴，则，‎ 又B在曲线段C上，‎ 则曲线段C的方程为 例7如图所示，设抛物线与圆在x轴上方的交点为A、B，与圆在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点．（1）求．（2）求△ABQ面积的最大值．‎ 分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出．‎ 解：（1）设 由得：，‎ 由得，‎ 同类似，‎ 则，‎ ‎（2）‎ ‎，∴当时，取最大值．‎ 例8　已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，且点和点关于直线的对称点都在上，求直线和抛物线的方程．‎ 分析：设出直线和抛物线的方程，由点、关于直线对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程．或设，利用对称的几何性质和三角函数知识求解．‎ 解法一：设抛物线的方程为，直线的方程为，‎ 则有点，点关于直线的对称点为、，‎ 则有解得 解得 如图，、在抛物线上 ‎∴‎ 两式相除，消去，整理，得，故，‎ 由，，得．把代入，得．‎ ‎∴直线的方程为，抛物线的方程为．‎ 解法二：设点、关于的对称点为、，‎ 又设，依题意，有，．‎ 故，．‎ 由，知．‎ ‎∴，．‎ 又，，故为第一象限的角．‎ ‎∴、．‎ 将、的坐标代入抛物线方程，得 ‎∴，即从而，，‎ ‎∴，得抛物线的方程为．‎ 又直线平分，得的倾斜角为．‎ ‎∴．‎ ‎∴直线的方程为．‎ 说明：‎ ‎(1)本题属于点关于直线的对称问题．解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果．解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到．‎ ‎(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握．‎ 例9　如图，正方形的边在直线上，、两点在抛物线上，求正方形的面积．‎ 分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力．‎ 解：∵直线，，∴设的方程为，且、．‎ 由方程组，消去，得，于是 ‎，，∴(其中)‎ ‎∴．‎ 由已知，为正方形，，‎ ‎∴可视为平行直线与间的距离，则有 ‎，于是得．‎ 两边平方后，整理得，，∴或．‎ 当时，正方形的面积．‎ 当时，正方形的面积．‎ ‎∴正方形的面积为18或50．‎ 说明：运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件．‎ 例10　设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，求这彗星与地球的最短距离．‎ 分析：利用抛物线有关性质求解．‎ 解：如图，设彗星轨道方程为，，焦点为，‎ 彗星位于点处．直线的方程为．‎ 解方程组得，‎ 故．‎ ‎．‎ 故，得．‎ 由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点．焦点到抛物线顶点的距离为，所以彗星与地球的最短距离为或，（点在点的左边与右边时，所求距离取不同的值）．‎ 说明：‎ ‎(1)此题结论有两个，不要漏解；‎ ‎(2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设为抛物线上一点，焦点为，准线方程为，依抛物线定义，有，当时，最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点．‎ 例11　如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、、、四点，求的值．‎ 分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题．‎ 解：由圆的方程，即可知，圆心为，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为，设抛物线方程为，‎ ‎∵为已知圆的直径，∴，则．‎ 设、，∵，而、在抛物线上，‎ 由已知可知，直线方程为，于是，由方程组 消去，得，∴．‎ ‎∴，因此，．‎ 说明：本题如果分别求与则很麻烦，因此把转化成是关键所在，在求时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算．‎ ‎11.已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点.‎ ‎（1）求证：|AB|=;‎ ‎(2)求|AB|的最小值.‎ ‎（1）证明：如右图，焦点F的坐标为F（,0）.‎ 设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ·（x-）,与抛物线方程联立，消去y并整理，得 tan2θ·x2-(2p+ptan2θ)x+=0.‎ 此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2=.‎ 设A、B到抛物线的准线x=-的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.‎ ‎（2）解析：因|AB|=的定义域是0<θ<π，又sin2θ≤1，‎ 所以，当θ=时，|AB|有最小值2p.‎ ‎12.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证：为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论？‎ 解析：（1）当AB⊥x轴时，m=n=p，‎ ‎∴=.‎ ‎（2）当AB不垂直于x轴时，设AB:y=k(x-),‎ A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,‎ ‎∴m=+x1,n=+x2.‎ 将AB方程代入抛物线方程，得 k2x2-(k2p+2p)x+=0,‎ ‎∴‎ ‎∴=‎ ‎=.‎ 本题若推广到椭圆，则有=（e是椭圆的离心率）；若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有=(e为双曲线的离心率).‎ ‎14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1,-3）、N（5，1），若点C满足=t+(1-t)(t∈R),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.‎ ‎（1）求证：⊥;‎ ‎(2)在x轴上是否存在一点P（m,0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎（1）证明：由=t+(1-t)(t∈R)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y+3=·(x-1),即y=x-4.‎ 由(x-4)2=4xx2-12x+16=0.‎ ‎∴x1x2=16，x1+x2=12，‎ ‎∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.‎ ‎∴x1x2+y1y2=0.故⊥.‎ ‎（2)解析：存在点P（4，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.‎ 由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，‎ 故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0,‎ ‎∴y1+y2=4k,y1y2=-16.‎ kOA·kOB==-1.‎ ‎∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.‎ 设弦AB的中点为M(x,y)，‎ 则x=(x1+x2),y=(y1+y2).‎ x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k·(4k）+8=4k2+8.‎ ‎∴弦AB的中点M的轨迹方程为：消去k，得y2=2x-8.‎