高考理科数学全国大纲卷试题与答案word解析

高考理科数学全国大纲卷试题与答案word解析

‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 ‎(大纲全国卷)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．(2013大纲全国，理1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)．‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎2．(2013大纲全国，理2)＝(　　)．‎ A．－8 B．‎8 C．－8i D．8i ‎3．(2013大纲全国，理3)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)．‎ A．－4 B．－‎3 C．－2 D．－1‎ ‎4．(2013大纲全国，理4)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)．‎ A．(－1,1) B． C．(－1,0) D．‎ ‎5．(2013大纲全国，理5)函数f(x)＝(x＞0)的反函数f－1(x)＝(　　)．‎ A．(x＞0) B．(x≠0) C．2x－1(x∈R) D．2x－1(x＞0)‎ ‎6．(2013大纲全国，理6)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝，则{an}的前10项和等于(　　)．‎ A．－6(1－3－10) B．(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)‎ ‎7．(2013大纲全国，理7)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)．‎ A．56 B．‎84 C．112 D．168‎ ‎8．(2013大纲全国，理8)椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)．‎ A． B． C． D．‎ ‎9．(2013大纲全国，理9)若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是(　　)．‎ A．[－1,0] B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞)‎ ‎10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)．‎ A． B． C． D．‎ ‎11．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若，则k＝(　　)．‎ A． B． C． D．2‎ ‎12．(2013大纲全国，理12)已知函数f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中错误的是(　　)．‎ A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图像关于直线对称 C．f(x)的最大值为 D．f(x)既是奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝，则cot α＝__________.‎ ‎14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)‎ ‎15．(2013大纲全国，理15)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．‎ ‎16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．‎ ‎18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若sin Asin C＝，求C.‎ ‎ 19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)‎ 如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．‎ ‎ (1)证明：PB⊥CD；‎ ‎(2)求二面角A－PD－C的大小．‎ ‎20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．‎ ‎(1)求第4局甲当裁判的概率；‎ ‎(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．‎ ‎21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.‎ ‎(1)求a，b；‎ ‎(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．‎ ‎22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；‎ ‎(2)设数列{an}的通项，证明：a2n－an＋＞ln 2.‎ ‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 ‎(大纲全国卷)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．‎ 答案：B 解析：由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素．故选B.‎ ‎2．‎ 答案：A 解析：.故选A.‎ ‎3．‎ 答案：B 解析：由(m＋n)⊥(m－n)⇒|m|2－|n|2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B.‎ ‎4． ‎ 答案：B 解析：由题意知－1＜2x＋1＜0，则－1＜x＜.故选B.‎ ‎5．‎ 答案：A 解析：由题意知＝2y⇒x＝(y＞0)，‎ 因此f－1(x)＝(x＞0)．故选A.‎ ‎6．‎ 答案：C 解析：∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1＝.∴数列{an}是以为公比的等比数列．∵a2＝，∴a1＝4.‎ ‎∴S10＝＝3(1－3－10)．故选C.‎ ‎7．‎ 答案：D 解析：因为(1＋x)8的展开式中x2的系数为，(1＋y)4的展开式中y2的系数为，所以x2y2的系数为.故选D.‎ ‎8． ‎ 答案：B 解析：设P点坐标为(x0，y0)，则，‎ ‎，，于是.‎ 故.‎ ‎∵∈[－2，－1]，‎ ‎∴.故选B.‎ ‎9．‎ 答案：D 解析：由条件知f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即在上恒成立．∵函数在上为减函数，∴.∴a≥3.故选D.‎ ‎10． ‎ 答案：A 解析：如下图，连结AC交BD于点O，连结C1O，过C作CH⊥C1O于点H.‎ ‎∵‎ CH⊥平面C1BD，‎ ‎∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角．‎ 设AA1＝2AB＝2，则，.‎ 由等面积法，得C1O·CH＝OC·CC1，即，‎ ‎∴.‎ ‎∴sin∠HDC＝.故选A.‎ ‎11．‎ 答案：D 解析：由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4.①‎ 由 ‎∵，‎ ‎∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.‎ ‎∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，‎ 即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④‎ 由①②③④解得k＝2.故选D.‎ ‎12．‎ 答案：C 解析：由题意知f(x)＝2cos2x·sin x＝2(1－sin2x)sin x.‎ 令t＝sin x，t∈[－1,1]，‎ 则g(t)＝2(1－t2)t＝2t－2t3.‎ 令g′(t)＝2－6t2＝0，得.‎ 当t＝±1时，函数值为0；‎ 当时，函数值为；‎ 当时，函数值为.‎ ‎∴g(t)max＝，‎ 即f(x)的最大值为.故选C.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．答案：‎ 解析：由题意知cos α＝.‎ 故cot α＝.‎ ‎14．答案：480‎ 解析：先排除甲、乙外的4人，方法有种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有(种)．‎ ‎15．答案：‎ 解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．‎ ‎∵直线y＝a(x＋1)过定点C(－1,0)，由图并结合题意可知，kAC＝4，‎ ‎∴要使直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点，‎ 则≤a≤4.‎ ‎16．答案：16π 解析：如下图，设MN为两圆的公共弦，E为MN的中点，‎ 则OE⊥MN，KE⊥MN，结合题意可知∠OEK＝60°.‎ 又MN＝R，∴△OMN为正三角形．∴OE＝.‎ 又OK⊥EK，∴＝OE·sin 60°＝.‎ ‎∴R＝2.‎ ‎∴S＝4πR2＝16π.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．解：设{an}的公差为d.‎ 由S3＝得‎3a2＝，故a2＝0或a2＝3.‎ 由S1，S2，S4成等比数列得＝S1S4.‎ 又S1＝a2－d，S2＝‎2a2－d，S4＝‎4a2＋2d，‎ 故(‎2a2－d)2＝(a2－d)(‎4a2＋2d)．‎ 若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；‎ 若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.‎ 因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.‎ ‎18．‎ 解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.‎ 由余弦定理得cos B＝，‎ 因此B＝120°.‎ ‎(2)由(1)知A＋C＝60°，‎ 所以cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C＝cos(A＋C)＋2sin Asin C＝，‎ 故A－C＝30°或A－C＝－30°，‎ 因此C＝15°或C＝45°.‎ ‎19．‎ ‎(1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形．‎ 过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.‎ 连结OA，OB，OD，OE.‎ 由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，‎ 所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，‎ 故OE⊥BD，从而PB⊥OE.‎ 因为O是BD的中点，E是BC的中点，‎ 所以OE∥CD.因此PB⊥CD.‎ ‎(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，‎ 故CD⊥平面PBD.‎ 又PD平面PBD，所以CD⊥PD.‎ 取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，‎ 则FG∥CD，FG⊥PD.‎ 连结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.‎ 所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角．‎ 连结AG，EG，则EG∥PB.‎ 又PB⊥AE，所以EG⊥AE.‎ 设AB＝2，则AE＝，EG＝＝1，‎ 故AG＝＝3.‎ 在△AFG中，FG＝，，AG＝3，‎ 所以cos∠AFG＝.‎ 因此二面角A－PD－C的大小为.‎ 解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．‎ 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.‎ 设||＝2，则A(，0,0)，D(0，，0)，C(，，0)，P(0,0，)．‎ ‎＝(，，)，＝(0，，)．‎ ‎＝(，0，)，＝(，，0)．‎ 设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·＝(x，y，z)·(，，)＝0，‎ n1·＝(x，y，z)·(0，，)＝0，‎ 可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.‎ 取y＝－1，得x＝0，z＝1，故n1＝(0，－1,1)．‎ 设平面PAD的法向量为n2＝(m，p，q)，则n2·＝(m，p，q)·(，0，)＝0，n2·＝(m，p，q)·(，，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.‎ 取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)．‎ 于是cos〈n1，n2〉＝.‎ 由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为.‎ ‎20．‎ 解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，‎ A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．‎ 则A＝A1·A2.‎ P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.‎ ‎(2)X的可能取值为0,1,2.‎ 记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．‎ 则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝，P(X＝2)＝P(·B3)＝P()P(B3)＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.‎ ‎21．‎ ‎(1)解：由题设知＝3，即＝9，故b2＝‎8a2.‎ 所以C的方程为8x2－y2＝‎8a2.‎ 将y＝2代入上式，求得.‎ 由题设知，，解得a2＝1.‎ 所以a＝1，b＝.‎ ‎(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①‎ 由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1·x2＝.‎ 于是|AF1|＝‎ ‎＝＝－(3x1＋1)，‎ ‎|BF1|＝‎ ‎＝＝3x2＋1.‎ 由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝.‎ 故，解得k2＝，从而x1·x2＝.‎ 由于|AF2|＝‎ ‎＝＝1－3x1，‎ ‎|BF2|＝‎ ‎＝＝3x2－1，‎ 故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.‎ 因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．‎ ‎22．‎ ‎(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝，f′(0)＝0.‎ 若，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.‎ 若，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.‎ 综上，λ的最小值是.‎ ‎(2)证明：令.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，‎ 即．‎ 取，则.‎ 于是 ‎＝‎ ‎＝ln 2n－ln n＝ln 2.‎ 所以.‎