高考数学文复习之复数及试题

高考数学文复习之复数及试题

高中数学第十五章 复数 考试内容：‎ ‎ 　 复数的概念．‎ ‎　　复数的加法和减法．‎ ‎　　复数的乘法和除法．‎ ‎　　数系的扩充．‎ 考试要求：‎ ‎（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．‎ ‎（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．‎ ‎（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．‎ ‎§15. 复 数 知识要点 ‎1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.‎ ‎⑵复数及其相关概念：‎ ① 复数—形如a + bi的数（其中）；‎ ② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；‎ ③ 虚数—当时的复数a + bi；‎ ④ 纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.‎ ⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）‎ ⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.‎ ‎⑶两个复数相等的定义：‎ ‎.‎ ‎⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.‎ 注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]‎ 若，则.（√）‎ ‎②若，则是的必要不充分条件.（当，‎ 时，上式成立）‎ ‎2. ⑴复平面内的两点间距离公式：.‎ 其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.‎ 由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.‎ ‎⑵曲线方程的复数形式：‎ ‎①为圆心，r为半径的圆的方程.‎ ‎②表示线段的垂直平分线的方程.‎ ‎③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.‎ ‎④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若 ‎，此方程表示两条射线）.‎ ‎⑶绝对值不等式：‎ 设是不等于零的复数，则 ‎①.‎ 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.‎ ‎②.‎ 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.‎ 注：.‎ ‎3. 共轭复数的性质：‎ ‎ ‎ ‎，（a + bi） ‎ ‎ ‎ ‎（） ‎ 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]‎ ‎4 ⑴①复数的乘方：‎ ‎②对任何，及有 ‎③ ‎ 注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.‎ ‎②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.‎ ‎⑵常用的结论：‎ ‎ ‎ 若是1的立方虚数根，即，则 .‎ ‎5. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：‎ ‎①.‎ ‎②若，是纯虚数.‎ ‎⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.‎ 注：. ‎ ‎6. ⑴复数的三角形式：.‎ 辐角主值：适合于0≤＜的值，记作.‎ 注：①为零时，可取内任意值.‎ ‎②辐角是多值的，都相差2的整数倍.‎ ‎③设则.‎ ‎⑵复数的代数形式与三角形式的互化：‎ ‎，，.‎ ‎⑶几类三角式的标准形式：‎ ‎7. 复数集中解一元二次方程：‎ 在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：‎ ‎①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.‎ ‎②当不全为实数时，不能用方程根的情况.‎ ‎③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.‎ ‎8. 复数的三角形式运算：‎ 棣莫弗定理：‎ 一、选择题 ‎1.(2009年广东卷文)下列n的取值中，使=1(i是虚数单位）的是 ‎ A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5‎ ‎4.（2009浙江卷文）设（是虚数单位），则 （ ）‎ A． B． C． D．5.（2009北 ‎7.(2009山东卷文)复数等于（ ）. . ‎ A． B. C. D. ‎ ‎16.（2009辽宁卷文）已知复数，那么＝‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎16.（2009辽宁卷文）已知复数，那么＝‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎19.（2009宁夏海南卷文）复数 ‎（A） （B） （C） (D)‎ ‎2. (安徽文.1)i是虚数单位，i（1+i）等于学科网 ‎ （A）1+i （B）－1－i （C）1－i （D）－1+i学科网 ‎5.(广东文.2)下列n的取值中，使=1(i是虚数单位）的是 ‎ A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5‎ ‎9. (宁夏海南文.2)复数 ‎（A） （B） （C） (D)‎ ‎12.(山东理,文.2)复数等于（ ）. ‎ A． B. C. D. ‎ ‎15.(天津理,文.1)是虚数单位，=‎ A B C D ‎ ‎17.(浙江文.3)设（是虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎2.（2009福建卷文）复数的实部是 。‎ ‎4. (江苏文理.1)若复数其中是虚数单位，则复数的实部为 。‎ 高中数学第十三章-极 限 考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．‎ 考试要求：‎ ‎（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．‎ ‎（2）了解数列极限和函数极限的概念．‎ ‎（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．‎ ‎（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．‎ 知识要点 ‎1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确；②假设当（）时，结论正确，证明当时，结论成立.‎ ‎⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果 ‎①当（）时，成立；‎ ‎②假设当（）时，成立，推得时，也成立.‎ 那么，根据①②对一切自然数时，都成立.‎ ‎2. ⑴数列极限的表示方法：‎ ‎①‎ ‎②当时，.‎ ‎⑵几个常用极限：‎ ‎①（为常数）‎ ‎②‎ ‎③对于任意实常数，‎ 当时，‎ 当时，若a = 1，则；若，则不存在 当时，不存在 ‎⑶数列极限的四则运算法则：‎ 如果，那么 ‎① ② ③‎ 特别地，如果C是常数，那么.‎ ‎⑷数列极限的应用：‎ 求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为.‎ ‎（化循环小数为分数方法同上式）‎ 注：并不是每一个无穷数列都有极限.‎ ‎3. 函数极限：‎ ‎⑴当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为.记作或当时，.‎ 注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求.（当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关.函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.）‎ 如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.‎ ‎⑵函数极限的四则运算法则：‎ 如果，那么 ‎① ② ③‎ 特别地，如果C是常数，那么.‎ ‎（）‎ 注：①各个函数的极限都应存在.‎ ‎②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.‎ ‎⑶几个常用极限：‎ ‎① ②（0＜＜1）；（＞1）‎ ‎③ ④，（）‎ ‎4. 函数的连续性：‎ ‎⑴如果函数f（x），g（x）在某一点连续，那么函数在点处都连续.‎ ‎⑵函数f（x）在点处连续必须满足三个条件：‎ ‎①函数f（x）在点处有定义；②存在；③函数f（x）在点处的极限值等于该点的函数值，即.‎ ‎⑶函数f（x）在点处不连续（间断）的判定：‎ 如果函数f（x）在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f（x）的不连续点.‎ ‎①f（x）在点处没有定义，即不存在；②不存在；③存在，但.‎ ‎5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：‎ ‎⑴零点定理：设函数在闭区间上连续，且.那么在开区间内至少有函数 的一个零点，即至少有一点（＜＜）使.‎ ‎⑵介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（＜＜）.‎ ‎⑶夹逼定理：设当时，有≤≤，且，则必有 注：：表示以为的极限，则就无限趋近于零.（为最小整数）‎ ‎6. 几个常用极限：‎ ‎① ② ③为常数）‎ ‎④ ⑤为常数）‎ ‎1．（天津卷）设等差数列的公差是2，前项的和为则.‎ ‎2．（重庆卷）设正数a,b满足, 则（ ）‎ A．0 B． C． D．1‎ ‎3．（辽宁卷）已知函数在点处连续，则 ．‎ ‎4．(福建卷) 把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎5．(湖南卷) 下列四个命题中，不正确的是（ ）‎ A．若函数在处连续，则 B．函数的不连续点是和 C．若函数、满足，则 D．‎ ‎6．（江西卷）（　　）‎ Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于 Ｄ．不存在 ‎17．（四川卷）（　　）‎ ‎（A）0　　（B）1　　（C）　　（D）‎