虹口区高考数学一模

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一、填空题 ‎上海市虹口区 2020 届高三一模数学试卷 2019.12‎ ‎1. 设全集 U=R，若 A = ìx | 2x - 1 > 1ü ，则C A = í x ý U ‎ î þ A. 若复数 z = 3 - i （i 为虚数单位），则 z = ‎1 + i B. 设 x Î R+ ，则 x + ‎2‎ x + 1‎ ‎‎ 的最小值为 C. 若 sin 2x ‎2 cos x ‎cos x = 0 ，则锐角 x = ‎ ‎1‎ D. 设等差数列{an } 的前 n 项和 Sn ，若a2 + a7 = 12 ， S4 = 8 ，则an = ‎ E. 抛物线 x2 = 6 y 的焦点到直线3x + 4 y - 1 = 0 的距离为 ‎ ‎7. 设(2x -1)(x -1)6 = a + a x + a x2 + + a x7 ，则a = ‎ ‎0 1 2 7 5‎ ‎2‎ + 设 f -1 ( x) 为函数 f ( x) = log (4x -1) 的反函数，则当 f ( x) = 2 f -1 ( x) 时， x 的值为 ‎ + ‎ 已知 m、n 是平面a 外的两条不同直线，给出三个论断：①m⊥n；②n//a ；③m⊥ a ；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）： ‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ + 如图所示，两块斜边长均等于 的直角三角板拼在一起，则OD × AB = ‎ x 2‎ ‎2‎ + 如图， F1 , F2 分别是双曲线C : a2 - y ‎= 1的左、右焦点，过 F2 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交 于 A、B 两点，若 F2 A = AB ， F1B × F2 B = 0 ，则双曲线 C 的焦距 F1F2 为 ‎ + 已知函数 f ( x) 的定义域为 R，当 x Î(0, 2] 时，f ( x) = x (2 - x) ，且对任意的 x ÎR，均有 f ( x + 2) = 2 f (x) ，‎ 若不等式 f ( x) £ 15 在 x Î(-¥, a]上恒成立，则实数a 的最大值为 ‎2‎ 二、选择题 ‎13. 设 x ÎR，则“ x -1 < 1 ”是“ x2 < 4 ”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 （1） 已知函数 f (x) = 3 sin(2x +q ) + cos(2x + q ) 为偶函数，且在é0, p ù 上为增函数，则q 的一个值可以是 ëê 2 úû ‎（ ）‎ A. p B. p C. 2p D. - 2p ‎6 3 3 3‎ íï g ( x) （2） 已知函数 f (x) = x + 2 ， g ( x) = x + t ，定义函数 F ( x) = ìï f ( x) î ‎f ( x) £ g ( x) ( ) ( ) ‎，若对任意的 x ÎR，都有 f x > g x F ( x) = F (2 - x) ，则 t 的取值为（ ）‎ （1） -4‎ ‎（2） -2‎ ‎（3） 0 D. 2‎ （3） 正四面体 ABCD 的体积为 1，O 为其中心，正四面体 EFGH 与正四面体 ABCD 关于点 O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）‎ • ‎1 3‎ 三、解答题 ‎• 1 2‎ ‎• 2 3‎ ‎• 3 4‎ （4） 在 （1） 角 B；‎ ‎中， a = 8,b = 6, cos A = - 1 ，求：‎ ABC ABC ABC ‎3‎ （2） BC 边上的高.‎ （1） 如图，在圆柱OO1 中，它的轴截面 ABB1 A1 是一个边长为 2 的正方形，点 C 为棱 BB1 的中点，点C1 为弧 A1B1 的中点，求：‎ （1） 异面直线 OC 与 A1C1 所成角的大小；‎ （2） 直线CC1 与圆柱OO1 底面所成角的大小；‎ （3） 三棱锥C1 - OA1C 的体积.‎ （2） 某企业接到生产 3000 台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这 3 种部件的数量分别为２、２、１（单位：件），已知每个工人每天可生产甲部件６件，或乙部件３件，或丙部件２件，该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这 3 种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例， 比例系数为 k（ k ³ 2 为正整数）.‎ （1） 设生产甲部件的人数为 x ，分别写出完成甲、乙、丙 3 种部件生产需要的时间；‎ （2） 假设这 3 种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.‎ （1） 已知两点 F1 (- ‎3, 0)、 F2 ( ‎3,0) ，设圆O : x2 + y2 = 4 与 x 轴交于 A、B 两点，且动点 P 满足：以线段 F2 P 为直径的圆与圆 O 相内切，如图所示，记动点 P 的轨迹为G ，过点 F2 与 x 轴不重合的直线 l 与轨迹 G 交于 M、N 两点.‎ 14. 求轨迹G 的方程；‎ 15. 设线段 MN 的中点为 Q，直线 OQ 与直线 x = 4 3 相交于点 R，求证： F R ^ l ；‎ ‎3 2‎ ABN ABN ABN 16. 记 ABM 、‎ ‎面积分别为 S1 、 S2 ，求 S1 - S2 的最大值及此时直线 l 的方程.‎ （2） 在数列{a } 中， a = 0 ，且对任意的m Î N* ， a , a , a ‎‎ 构成以 2m 为公差的等差数列.‎ n 1 2m-1 2m 2m+1‎ 8. 求证： a4 、 a5 、 a6 成等比数列；‎ 8. 求数列{an } 的通项公式；‎ ‎22‎ 8. 设 Sn = a ‎+ 32 + 2. n2‎ an 3. n2‎ an 4. n2‎ an a ‎，试问 Sn - 2n 是否存在极限? 若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.‎ ‎2 3‎ 参考答案 一、填空题 ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎1. [0,1] 2.‎ ‎‎ ‎3. 2‎ ‎‎ -1 4. p 5. 2n-3 6. 1 7. 36 8. 1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎9. 若②③，则① 10. -1‎ ‎11. 4 3‎ ‎3‎ ‎12. 27‎ ‎4‎ 二、选择题 ‎13. A 14. D 15. A 16. B 三、解答题 ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎17.（1） p ；（2） 4 - ‎4‎ ‎18.（1） p ；（2） arcsin 3‎ ‎3 3‎ ‎19.（1） 1000 , 2000 ,‎ x x ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ x2 2‎ ‎1500‎ ‎200 - x - kx ‎；（2） k=2，A44 人，B88 人，C68 人 ‎20.（1） + y = 1 - 1 + 1 - 1 + ‎2 4 4 6‎ = 1‎ ‎2‎ = 1 - 1 + 1 - 1 + ‎2 4 4 6‎ = 1‎ ‎2‎ = 1 - 1 + 1 - 1 + ‎2 4 4 6‎ = 1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎= 1 ；（2）证明略；（3） 3, x ± 2 y - = 0‎ n2 -1 n2‎ ‎21.（1） a4 = 8, a5 =12, a6 =18 ；（2）当 n 为奇数， an = ‎2 ，当 n 为偶数， an = 2‎ ‎（3）裂项， lim(S ‎- 2n) = ‎2 + 2 + ‎ ‎ n®¥ n ‎32 -1 52 -1‎