各地高考理科数学试题分类汇编圆锥曲线

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各地高考理科数学试题分类汇编圆锥曲线

‎2014年全国及各省市高考理科数学分类汇编:圆锥曲线 ‎1(新课标1卷).10已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个焦点,若,则= C ‎. . .3 .2‎ ‎2. (新课标1卷)20. (本小题满分12分) 已知点(0,-2),椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求的方程;‎ ‎(Ⅱ)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.‎ 解:‎ ‎ ‎ ‎ ……5分 ‎ ‎ ‎ ……9分 ‎ ‎ ‎3. (新课标2卷)10.设F为抛物线C:的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )D A. B. C. D. ‎ ‎4. (新课标2卷)20. (本小题满分12分)‎ 设,分别是椭圆C:的左,右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交点为N.‎ ‎(Ⅰ)若直线MN的斜率为,求C的离心率;‎ ‎(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b.‎ 解:(I)根据及题设知 ‎ 将代入,解得(舍去)‎ ‎ 故C的离心率为.‎ ‎ (Ⅱ)由题意,原点为的中点,∥轴,所以直线与轴的交点 是线段的中点,故,即 ‎ ①‎ 由得。‎ 设,由题意知,则 ‎,即 代入C的方程,得。‎ 将①及代入②得 解得,‎ 故.‎ ‎5. (全国大纲卷)6.已知椭圆C:的左、右焦点为、,离心率为,过的直线交C于A、B两点,若的周长为,则C的方程为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A.‎ ‎6. (全国大纲卷)9.已知双曲线C的离心率为2,焦点为、,点A在C上,若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A.‎ ‎7. (全国大纲卷)21. (本小题满分12分)‎ 已知抛物线C:的焦点为F,直线与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.‎ ‎(I)求C的方程;‎ ‎(II)过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求的方程.‎ 解:(I)设,代入,得.由题设得,解得(舍去)或,∴C的方程为;(II)由题设知与坐标轴不垂直,故可设的方程为,代入得.设则 ‎.故的中点为.又的斜率为的方程为.将上式代入,并整理得.设则.故的中点为.‎ 由于垂直平分线,故四点在同一圆上等价于,从而即,化简得,解得或.所求直线的方程为或.‎ ‎8. (山东卷)10.已知,椭圆的方程为,双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为 ‎(A)(B)(C)(D)‎ 答案:A ‎9(山东卷)21.(本小题满分14分)‎ ‎ 已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有|,学科网当点的横坐标为3时,为正三角形。‎ ‎(I)求的方程;‎ ‎(II)若直线,且和有且只有一个公共点,‎ ‎ (i)证明直线过定点,并求出定点坐标;‎ ‎ (ii)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由。‎ ‎10.(江苏卷) 17.(本小题满分14 分)如图,在平面直角坐标系xOy中,分别是椭圆的左、右焦点,顶点B的坐标为,连结并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结.‎ ‎(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程;‎ ‎(2)若,求椭圆离心率e的值.‎ ‎【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运 ‎ 算求解能力. 满分14分.‎ ‎(1)∵,∴‎ ‎∵,∴,∴‎ ‎∴椭圆方程为 ‎(2)设焦点 ‎∵关于x轴对称,∴‎ ‎∵三点共线,∴,即①‎ ‎∵,∴,即②‎ ‎①②联立方程组,解得 ∴‎ ‎∵C在椭圆上,∴,‎ 化简得,∴, 故离心率为 ‎11. (安徽卷)14.设分别是椭圆的左、右焦点,过点的直线交椭圆于两点,若轴,则椭圆的方程为______ ____。‎ 答案:,‎ 解析:由题意得通径,∴点B坐标为 将点B坐标带入椭圆方程得,又,解得 ‎∴椭圆方程为。‎ ‎12. (安徽卷)19.(本小题满分13分)如图,已知两条抛物线和,‎ 过原点的两条直线和,与分别交于两点,与分别交于两点。‎ ‎(Ⅰ)证明:‎ ‎(Ⅱ)过原点作直线(异于,)与分别交于两点。‎ 记与的面积分别为与,求的值。‎ ‎(Ⅰ)证:设直线的方程分别为,则 ‎ 由得;由得 同理可得,‎ 所以 故,所以。‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,同理可得,‎ ‎ 所以,因此 ‎ 又由(Ⅰ)中的知,故。‎ ‎13.(浙江卷)16设直线与双曲线()两条渐近线分别交于点,若点满足,则该双曲线的离心率是__________ ‎ ‎ ‎ ‎14(浙江卷)21.(本题满分15分)如图,设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点,且点在第一象限.‎ ‎(1)已知直线的斜率为,用表示点的坐标;‎ (2) 若过原点的直线与垂直,证明:点到直线的距离的最大值为.‎ ‎21. 本题主要考查椭圆的 几何性质、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力。满分15分。‎ ‎(I)设直线的方程为,由,消去得,,‎ 由于直线与椭圆只有一个公共点,故,即,‎ 解得点的坐标为,‎ 由点在第一象限,故点的坐标为;‎ ‎(II)由于直线过原点,且与垂直,故直线的方程为,所以点到直线 的距离,‎ 整理得,‎ 因为,所以,‎ 当且仅当时等号成立,‎ 所以点到直线的距离的最大值为.‎ ‎15.(北京卷)11设双曲线经过点,且与具有相同渐近线,则的方程为________; 渐近线方程为________., ‎ ‎16.(北京卷)(本小题14分)19.已知椭圆,‎ (1) 求椭圆的离心率.‎ (2) 设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,求直线与圆的位置关系,并证明学科网你的结论.‎ 解:(I)由题意,椭圆C的标准方程为。‎ ‎ 所以,从而。因此。‎ 故椭圆C的离心率。‎ ‎(Ⅱ) 直线AB与圆相切。证明如下:‎ 设点A,B的坐标分别为,,其中。‎ 因为,所以,即,解得。‎ ‎ 当时,,代入椭圆C的方程,得,‎ ‎ 故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。‎ ‎ 此时直线AB与圆相切。‎ ‎ 当时,直线AB的方程为,‎ ‎ 即,‎ ‎ 圆心0到直线AB的距离 ‎ ‎ ‎ 又,故 ‎ ‎ ‎ 此时直线AB与圆相切。‎ ‎17.(天津卷)(5)已知双曲线的一条渐近线平行于直线:,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为(  )A ‎(A)   (B)‎ ‎(C)   (D)‎ ‎18.(天津卷)(18)(本小题满分13分)‎ 设椭圆()的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为.已知.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.‎ ‎(Ⅰ)解:设椭圆的右焦点的坐标为.由,可得,又,则.‎ 所以,椭圆的离心率.‎ ‎,所以,解得,.‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,.故椭圆方程为.‎ 设.由,,有,.‎ 由已知,有,即.又,故有 ‎. ①‎ 又因为点在椭圆上,故 ‎. ②‎ 由①和②可得.而点不是椭圆的顶点,故,代入①得,即点的坐标为.‎ 设圆的圆心为,则,,进而圆的半径.‎ 设直线的斜率为,依题意,直线的方程为.学科网 由与圆相切,可得,即,‎ 整理得,解得.‎ 所以,直线的斜率为或.‎ ‎19(福建卷)9.设分别为和椭圆上的点,则两点间的最大距离是( )D A. ‎ B. C. D.‎ ‎20. (福建卷)19.(本小题满分13分)‎ ‎ 已知双曲线的两条渐近线分别为.‎ ‎ (1)学科网求双曲线的离心率;‎ ‎ (2)如图,为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一,‎ ‎ 四象限),且的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线有且只有一个公 ‎ 共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在,说明理由。‎ 解法一:(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.‎ 所以,‎ 从而双曲线E的离心率.‎ ‎(2)由(1)知,双曲线E的方程为. ‎ 设直线与x轴相交于点C.‎ 当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,‎ 则,‎ 又因为的面积为8,‎ 所以.‎ 此时双曲线E的方程为.‎ 若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.‎ 以下证明:当直线不与x轴垂直时,双曲线E:也满足条件. ‎ 设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.‎ 则,记.‎ 由,得,同理得.由得, 即.‎ 由得, .因为,‎ 所以,‎ 又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.‎ 因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.‎ ‎21.(辽宁卷) 10.已知点在抛物线C:的准线上,学 科网过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )D A. B. C. D.‎ ‎22.(辽宁卷) 15.已知椭圆C:,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则 .12‎ ‎23.(辽宁卷) 20. (本小题满分12分)圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线过点P且离心率为.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)椭圆过点P且与有相同的焦点,直线过的右焦点且与交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆心过点P,求的方程.‎ ‎(Ⅰ)设切点坐标为,则切线斜率为,切线方程为,即,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值,即S有最小值,因此点P得坐标为 ,‎ 由题意知 解得,故方程为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知的焦点坐标为,由此的方程为,其中.‎ 由在上,得,‎ 解得b12=3,因此C2方程为 显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点 由 得,又是方程的根,因此 ‎ ,由得 因由题意知,所以 ,将①,②,③,④代入⑤式整理得,解得或,因此直线l的方程为,或.‎ ‎24.(陕西卷)20(本小题满分13分)‎ 如图,曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成,的公共点为,其中的离心率为.‎ (1) 求的值;‎ (2) 过点的直线与分别交于(均异于点),若,求直线的方程.‎ 解:(1)在,方程中,令,可得b=1,且得是上半椭圆的左右顶点,‎ 设的半焦距为,由及,解得 所以,‎ (1) 由(1)知,上半椭圆的方程为,‎ 易知,直线与轴不重合也不垂直,设其方程为 代入的方程中,整理得:‎ ‎ (*)‎ 设点的坐标 由韦达定理得 又,得,从而求得 所以点的坐标为 同理,由得点的坐标为 ‎,‎ ‎,即 ‎,,解得 经检验,符合题意,‎ 故直线的方程为 ‎25.(湖南卷)15.如图4,正方形的边长分别为,原点为的中点,抛物线经过 ‎ ‎26.(湖南卷)21. (本小题满分13分)‎ 如图7,为坐标原点,椭圆的左、右焦点分别为,离心率为;双曲线的左、右焦点分别为,离心率为.已知且 (1) 求的方程;‎ (2) 过作的不垂直于轴的弦的中点.当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.‎ 解(I)因为,所以,即,因此,从而,于是,所以,。故的方程分别为,.‎ ‎(Ⅱ)因AB不垂直于y轴,且过点,故可设直线AB的方程为 ‎.‎ 由 得 ‎ ‎ 易知此方程的判别式大于0.设,则是上述方程的两个实根,所以 因此,于是AB的中点为 ‎,故直线PQ的斜率为,PQ的方程为,即。‎ 由得,所以,且,,从而。‎ 设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以 ‎ 。‎ 因为点A、B在直线的异侧,所以,于是,‎ 从而 又因为,所以 ‎ 。‎ 故四边形APBQ的面积 ‎ .‎ 而,故当时,S取得最小值2.‎ 综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.‎ ‎27.(江西卷)15.过点作斜率为的直线与椭圆:相交于,若是线段的中点,则椭圆的离心率为 ‎ ‎28.(江西卷)20(本小题满分13分)如图,已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上,轴,∥(为坐标原点).‎ (1) 求双曲线的方程;‎ (2) 过上一点的直线与直线相交于点,与直线相交于点,证明点在上移动时,恒为定值,并求此定值 ‎(1)设,因为,所以 直线OB方程为,直线BF的方程为,解得 又直线OA的方程为,则 又因为ABOB,所以,解得,故双曲线C的方程为 ‎(2)由(1)知,则直线的方程为,即 因为直线AF的方程为,所以直线与AF的交点 直线与直线的交点为 则 因为是C上一点,则,代入上式得 ‎,所求定值为 ‎29.(湖北卷)9.已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A A. B. C.3 D.2‎ ‎30.(湖北卷)21(满分14分)在平面直角坐标系中,点M到点的距离比它到轴的距离多1,记点M的轨迹为C.‎ (1) 求轨迹为C的方程 (2) 设斜率为k的直线过定点,求直线与轨迹C恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时k的相应取值范围。‎ 解:‎ ‎(I)设点,依题意,,即,‎ 整理的,‎ 所以点的轨迹的方程为.‎ ‎(II)在点的轨迹中,记,,‎ 依题意,设直线的方程为,‎ 由方程组得 ①‎ 当时,此时,把代入轨迹的方程得,‎ 所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.‎ 当时,方程①的判别式为 ②‎ 设直线与轴的交点为,则由,令,得③‎ ‎(i)若,由②③解得或.‎ 即当时,直线与没有公共点,与有一个公共点,‎ 故此时直线与轨迹恰有一个公共点.‎ ‎(ii)若或,由②③解得或,‎ 即当时,直线与有一个共点,与有一个公共点.‎ 当时 ,直线与有两个共点,与没有公共点.‎ 故当时,故此时直线与轨迹恰有两个公共点.‎ ‎(iii)若,由②③解得或,‎ 即当时,直线与有两个共点,与有一个公共点.‎ 故此时直线与轨迹恰有三个公共点.‎ 综上所述,当时直线与轨迹恰有一个公共点;‎ ‎ 当时,故此时直线与轨迹恰有两个公共点;‎ ‎ 当时,故此时直线与轨迹恰有三个公共点.‎ ‎31.(四川卷)10.已知是抛物线的焦点,点,在该抛物线上且位于轴的两侧,(其中为坐标原点),则与面积之和的最小值是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎32.(四川卷)20.已知椭圆C:()的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q。‎ ‎(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);‎ ‎(ii)当最小时,求点T的坐标。‎ 解:(1)依条件 所以椭圆C的标准方程为 ‎(2)设,,,又设中点为 ‎(i)因为,所以直线的方程为:‎ 所以 于是,‎ 所以。因为 所以,,三点共线 即OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)‎ ‎(ii),‎ 所以,令()‎ 则(当且仅当时取“”)‎ 所以当最小时,即或,此时点T的坐标为或 ‎33.(重庆卷)8.设分别为双曲线的左、右焦点,双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为( )B A. ‎ B. C. D.3‎ ‎34.(重庆卷)21.如题(21)图,设椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上,,,的面积为.‎ (1) 求该椭圆的标准方程;‎ (2) 是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径..‎ 解:‎ ‎(Ⅰ)设,其中,‎ 由得 从而故.‎ 从而,由得,因此.‎ 所以,故 因此,所求椭圆的标准方程为:‎ ‎(Ⅱ)如答(21)图,设圆心在轴上的圆与椭圆相交,是两个交点,,,是圆的切线,且由圆和椭圆的对称性,易知,, ‎ 由(Ⅰ)知,所以,再由得,由椭圆方程得,即,‎ 解得或.‎ 当时,重合,此时题设要求的圆不存在.‎ 当时,过分别与,垂直的直线的交点即为圆心.‎ 由,是圆的切线,且,知,又故圆的半径 ‎34.(广东卷)4.若实数k满足,则曲线与曲线的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等 答案:A ‎35.(广东卷)20.(本小题满分14分)已知椭圆的一个焦点为,离心率为,‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若动点为椭圆外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程。‎ ‎20.解:(1)可知,又,,,‎ 椭圆C的标准方程为;‎ ‎(2)设两切线为,‎ ‎①当轴或轴时,对应轴或轴,可知 ‎②当与轴不垂直且不平行时,,设的斜率为,则,的斜率为,‎ 的方程为,联立,‎ 得,‎ 因为直线与椭圆相切,学科网所以,得,‎ ‎,‎ 所以是方程的一个根,‎ 同理是方程的另一个根,‎ ‎,得,其中,‎ 所以点P的轨迹方程为(),‎ 因为满足上式,综上知:点P的轨迹方程为.‎
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