高考数学文试题立体几何

高考数学文试题立体几何

‎2016年高考数学文试题分类汇编 立体几何大题 ‎1、【2016年北京高考】如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求证：；‎ ‎（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.‎ 解：（I）因为平面，‎ 所以．‎ 又因为，‎ 所以平面．‎ ‎（II）因为，，‎ 所以．‎ 因为平面，‎ 所以．‎ 所以平面．‎ 所以平面平面．‎ ‎（III）棱上存在点，使得平面．证明如下：‎ 取中点，连结，，．‎ 又因为为的中点，‎ 所以．‎ 又因为平面，‎ 所以平面．‎ ‎ ‎ ‎2、【2016年江苏省高考】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.‎ 求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎ （2）平面B1DE⊥平面A1C1F. ‎ ‎（2）在直三棱柱中，‎ 因为平面，所以 又因为 所以平面 因为平面，所以 又因为 所以 因为直线，所以 ‎3、【2016年山东高考】在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.‎ ‎（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；‎ ‎（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.‎ 解析：（Ⅰ））证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，。‎ ‎（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面。‎ ‎4、【2016年上海高考】将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1‎ 旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.‎ ‎（1）求圆柱的体积与侧面积；‎ ‎（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小. ‎ ‎【解析】（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．计算体积与侧面积即得.‎ ‎（2）由得或其补角为与所成的角，计算即得．‎ 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径．‎ 圆柱的体积，‎ 圆柱的侧面积．‎ ‎（2）设过点的母线与下底面交于点，则，‎ 所以或其补角为与所成的角．‎ 由长为，可知，‎ 由长为，可知，，‎ 所以异面直线与所成的角的大小为．‎ ‎5、【2016年四川高考】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD。‎ ‎（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；‎ ‎（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。‎ ‎【解析】‎ ‎（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：‎ 因为AD‖BC,BC=AD，所以BC‖AM, 且BC=AM.‎ 所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.‎ 又AB 平面PAB,CM 平面PAB,‎ 所以CM∥平面PAB.‎ ‎(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎（II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD,‎ ‎ 因为AD∥BC,BC=AD，所以直线AB与CD相交，‎ 所以PA ⊥平面ABCD.‎ 从而PA ⊥ BD.‎ 因为AD∥BC,BC=AD，‎ 所以BC∥MD,且BC=MD.‎ 所以四边形BCDM是平行四边形.‎ 所以BM=CD=AD，所以BD⊥AB.‎ 又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.‎ 又BD 平面PBD,‎ 所以平面PAB⊥平面PBD.‎ ‎6、【2016年天津高考】如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证：FG||平面BED；‎ ‎(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；‎ ‎(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.‎ 解析：（Ⅰ）证明：取的中点为，连接，在中，因为是的中点，所以且，又因为，所以且 ‎，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）证明：在中，，由余弦定理可，进而可得，即，又因为平面平面平面；平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.‎ ‎（Ⅲ）解：因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点，连接，又因为平面平面，由（Ⅱ）知平面，所以直线与平面所成角即为.在中，，由余弦定理可得，所以，因此，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为 ‎7、【2016年全国I卷高考】如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.‎ ‎（I）证明：G是AB的中点；‎ ‎（II）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．‎ ‎（II）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.‎ 理由如下：由已知可得，，又,所以,因此平面，即点为在平面内的正投影.‎ 连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.‎ 由（I）知，是的中点，所以在上，故 由题设可得平面，平面，所以，因此 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得 ‎ 在等腰直角三角形中，可得 所以四面体的体积 ‎8、【2016年全国II卷高考】 如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，，‎ 交于点，将沿折到的位置.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若,求五棱锥体积.‎ 试题解析：（I）由已知得，‎ 又由得，故 由此得，所以.‎ ‎（II）由得 由得 所以 ‎ 于是故 由（I）知，又，‎ 所以平面于是 又由，所以，平面 又由得 五边形的面积 所以五棱锥体积 ‎9、【2016年全国III卷高考】如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．‎ ‎（I）证明平面；‎ ‎（II）求四面体的体积.‎ ‎（Ⅱ）因为平面，为的中点，‎ 所以到平面的距离为. ....9分 取的中点，连结.由得，.‎ 由得到的距离为，故.‎ 所以四面体的体积. .....12分 ‎10、【2016年浙江高考】如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.‎ ‎（I）求证：BF⊥平面ACFD；‎ ‎（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.‎ 解析：（1）延长相交于一点，如图所示，‎ 因为平面平面，且，所以 平面，因此，‎ 又因为，，，所以 为等边三角形，且为的中点，则，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为平面，所以是直线与平面所成的角，‎ 在中，，得，‎ 所以直线与平面所成的角的余弦值为.‎