高考全真模拟预测考试第次考试全国卷理科数学试题
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2017届高考全真模拟预测考试（第2次考试）
理科数学试题
命题：tangzhixin 时量120分钟．满分150分．
一、选择题：共12题
1．若(m+i)2为实数,其中i为虚数单位,则实数m的值为
A.1 B.0 C.-1 D.±1
2．已知全集U={x∈Z|0
3;
(2)若不等式f(x)≥g(x)对任意的x∈R恒成立,求m的取值范围.
参考答案
1.B
【解析】本题主要考查复数的有关概念和乘法运算,考查考生对基础知识的掌握情况.解题时,先利用完全平方公式进行乘法运算,再根据实数的概念求解.∵(m+i)2=m2-1+2mi为实数,∴2m=0,m=0,故选B.
2.A
【解析】本题考查集合的定义以及集合的交、补运算等.首先根据集合的定义求出集合B,然后进行集合的运算;也可利用排除法进行求解.
通解 由已知得全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},所以∁UA={5,6,7,8,9},而B={2,4,6,8},故(∁UA)∩B={6,8},所以选A.
优解 因为2,4∈A,所以2,4∉∁UA,故2,4∉(∁UA)∩B,所以排除B、C、D,所以选A.
3.C
【解析】本题主要考查二项式定理的应用.解题时,首先令x=1写出A关于n的表达式,结合二项式系数之和为2n即可求得n的值.在二项式中令x=1,得各项系数之和A=4n,又B为各项二项式系数之和,则B=2n,故A+B=4n+2n=+2n=1 056,得2n=32,n=5,选C.
4.C
【解析】本题考查不等式组表示的平面区域和指数函数的最值.一般地,线性规划问题的最优解在可行域的边界或顶点处获得.
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通解 作出约束条件表示的可行域,如图中△OAB(内部及边界)所示,再作直线l:x+y=0,向上平移直线l,则z=x+y增大,当过点B(2,4)时,z=x+y取得最大值6,因此()x+y的最小值为.
优解 由得顶点坐标分别为(-6,0),(0,0),(2,4),分别代入z=x+y知,z的最大值为6,因此()x+y的最小值为.
5.D
【解析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和,考查考生的运算能力.根据题意,=a1+2(n-1)=2n-10,∴an=n(2n-10).由an=n(2n-10)>0得,n>5,∴当n<5时,an<0,当n=5时,an=0,当n>5时,an>0,∴当n=4或5时,Sn最小.
6.A
【解析】本题主要考查导数的几何意义,考查考生的运算能力.设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),则切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=.当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1.
7.A
【解析】本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系以及直角三角形的面积,考查考生的运算求解能力.解题时,结合图形不妨设A(a,ka),B(-kb,b),代入椭圆方程进行化简求解,注意三角形面积相等的应用.设A(a,ka),B(-kb,b),则+k2a2=1,+b2=1.所以a2=,b2=,故|OP|=.
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8.D
【解析】本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质,考查考生的运算求解能力.解题时,先根据三角恒等变换化简函数f(x)的解析式,然后结合函数的图象求得x0的值.
f(x)=2cos(πx)·cos2-sin(πx)·sinφ-cos(πx)=cos(πx)·(2cos2-1)-sin(πx)·sinφ=cos(πx)·cosφ-sin(πx)·sinφ=cos(πx+φ).由题图可知,cosφ=,又0<φ<,∴φ=,又cos(πx0+)=,∴πx0+,∴x0=.
9.A
【解析】本题主要考查程序框图.解题时,先根据程序框图计算,然后从中找出规律即可,需注意循环结束的条件.k=1,S=0;k<2 016,S=0+(-1)0×1=1,k=1+1=2;k<2 016,S=1+(-1)1×2=-1,k=2+1=3;k<2 016,S=-1+(-1)2×3=2,k=3+1=4;k<2 016,S=2+(-1)3×4=-2,k=4+1=5;k<2 016,S=-2+(-1)4×5=3,k=5+1=6;k<2 016,S=3+(-1)5×6=-3,k=6+1=7;……;当k=2 015时,k<2 016,S=-1 007+(-1)2 014×2 015=1 008,k=2 015+1=2 016.故输出的S为1 008.
10.A
【解析】本题考查平面向量基本定理、平面向量的线性运算等知识,考查考生的数形结合思想、化归与转化思想等.
因为+λ+(1+λ)=0,所以++λ(+)=0.如图所示,D,E分别为BC,AC的中点,由向量加法的平行四边形法则可知+=2,λ(+)=2λ,故=-λ ①,连接AD,在等边三角形ABC中,因为S△AOC=S△AOB=×S△ABC=S△ABC=S△ADC,故点O到AC的距离等于点D到AC的距离的,故,=- ②,由①②可知λ=.
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11.B
【解析】本题主要考查球的表面积、勾股定理等,考查考生的空间想象能力及运算求解能力.
由题意知,AC⊥SC,AB⊥SB,又BC=SB=SC=2,所以Rt△SAC≌Rt△SAB,则AC=AB.又AC⊥AB,所以AC=AB=,SA=,则球的半径R=,球的表面积为4πR2=6π.
12.B
【解析】本题以分段函数为切入点,主要考查函数的单调性、二次函数的值域等知识,考查考生的转化与化归意识、综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.x1·f(x2)=x1·f(x1)=x1(6x1+1)=6+x1,从而将问题转化为二次函数求值域,确定变量的取值范围是解决本题的关键.因为01,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x11得,的取值范围为(1,7+4).
17.(1)由(an-an+1)g(an)=f(an)(n∈N*)得,4(an-an+1)(an-1)=(n∈N*).
由题意an≠1,所以4(an-an+1)=an-1(n∈N*),
即3(an-1)=4(an+1-1)(n∈N*),所以.
又a1=2,所以a1-1=1,
所以数列{an-1}是以1为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)得an-1=()n-1,
bn= .
则Tn=+++…++,①
Tn=+++…++,②
-②得,Tn=+++…+-=1+-=2--=2-.
所以Tn=3-.
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【解析】本题主要考查等比数列的概念、通项公式以及错位相减法求和,考查考生的运算求解能力和推理论证能力.(1)根据等比数列的定义证明数列{an-1}为等比数列;(2)由(1)得到an,再利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn.
【备注】高考对于数列问题的考查一般是等差数列、等比数列两个特殊数列的定义、通项公式、前n项和公式,利用裂项相消法、错位相减法等求和,有时也与函数、导数、不等式等知识综合考查.
18.(1)由在这89人中随机抽取1人,抽到无酒驾习惯的概率是,可得无酒驾习惯的人数为57.
从而得下表:
(2)由题意可知,抽取的8人中男性6人,女性2人.
X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
X的数学期望EX=0×+1×+2×.
【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望等知识,考查考生的阅读理解能力、运算求解能力、解决实际问题的能力.
【备注】在计算离散型随机变量的数学期望与方差时,首先要搞清其分布特征和分布列,然后要准确运用公式求解.这类问题往往可以利用题目提供的信息,检验答案是否合理,若结果与题目本身的合理性矛盾,一般可以断定出了错误.
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19.(1)连接BE.
在△PAD中,PA=PD,AE=ED,
所以PE⊥AD.
又平面APD⊥平面ABCD,平面APD∩平面ABCD=AD,
所以PE⊥平面ABCD,
故PE⊥BD.
在四边形BCDE中,BC∥DE,且BC=DE,
所以四边形BCDE为平行四边形,
又BC=CD,
所以四边形BCDE为菱形,
故BD⊥CE.
又PE∩EC=E,
所以BD⊥平面PEC,
又BD⊂平面PBD,
所以平面PEC⊥平面PBD.
(2)取BC的中点F,连接EF.
由(1)可知,△BCE是一个正三角形,所以EF⊥BC,
又BC∥AD,
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所以EF⊥AD.
又PE⊥平面ABCD,故以E为坐标原点,分别以直线EF、直线ED、直线EP作为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设PE=t(t>0),则D(0,2,0),A(0,-2,0),P(0,0,t),F(,0,0),B(,-1,0).
因为BD⊥平面PEC,
所以=(-,3,0)是平面PEC的一个法向量,
又=(,-1,-t),
所以cos<,>==
.
由已知可得sin=|cos<,>|=,得t=2.
故P(0,0,2),=(,-1,-2),又=(,1,0),
设平面APB的法向量为n=(x,y,z),
则由,可得,即.
取y=-,则x=,z=,故n=(,-,)为平面APB的一个法向量,
所以cos<,n>==
.
设平面APB与平面PEC所成的锐二面角为θ,则cosθ=|cos<,n>|=.
【解析】本题考查几何体的结构特征、面面垂直的证明、直线和平面所成的角以及二面角的求解、空间向量的应用等,考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力等.(1)首先得到PE⊥BD,再分析四棱锥底面的性质,证明BD⊥CE,即可证得BD⊥平面PEC
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,最后利用面面垂直的判定定理证得结果;(2)首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,利用已知的线面角确定P的坐标,然后利用两个平面的法向量求解二面角即可.
【备注】解决空间角的求解问题,首先需要根据几何体的结构特征建立合理的空间直角坐标系,准确求出点以及向量的坐标是解决此类问题的基础,准确求解直线的方向向量与平面的法向量是关键,最后只需利用这些向量表示所求角即可.解题时,要注意向量的夹角与所求角之间的关系,进行正确转化,如求解二面角时,要注意根据几何体的结构特征准确判断二面角的取值范围;求解线面角时,要注意三角函数名称的变化.
20.(1)因为直线y=kx+过定点F,所以点F的坐标为(0,).
因为动圆过点F(0,),且与直线l2:4y+1=0相切,
根据抛物线的定义,动圆圆心的轨迹C是以点F(0,)为焦点,
以定直线y=-为准线的抛物线.
设轨迹C:x2=2py(p>0),
因为点F(0,)到准线l:y=-的距离为,所以p=,
所以动圆圆心的轨迹C的方程为x2=y.
(2)直线AB恒过定点(,1).
理由如下:
因为x2=y,所以y'=2x,
设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则=y1,=y2,
则过点A(x1,y1)的切线方程为y-y1=2x1(x-x1),即y=2x1x-y1.
过点B(x2,y2)的切线方程为y-y2=2x2(x-x2),即y=2x2x-y2.
因为过点A,B的切线都过点M(x0,y0),
所以y0=2x1x0-y1,y0=2x2x0-y2,
所以点A(x1,y1),B(x2,y2)都在直线y0=2xx0-y上,
所以直线AB的方程为y0=2xx0-y,即2x0x-y-y0=0.
因为直线l3的倾斜角为,在y轴上的截距为-1,所以直线l3∶y=x-1,
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又点M(x0,y0)是直线l3上的动点,所以x0-y0-1=0,
所以直线AB的方程为2x0x-y-(x0-1)=0,即x0(2x-1)+(1-y)=0,
由,得,所以直线AB恒过定点(,1).
【解析】本题考查直线与圆相切、抛物线的定义和性质等知识,意在考查考生的转化和化归能力以及运算求解能力.
【备注】存在型问题、定点问题都是高中数学的重要题型,解决这类问题的关键:一是进行演绎推理,或导出矛盾或肯定结论;二是判断定点的坐标满足所求的直线系方程,即可证出直线经过该定点.同时,扎实的计算功底是解题的基础.
21.(1)当a=1时,f(x)=x--2lnx,定义域为(0,+∞),
∴F(x)=x2-x++2lnx+2ln 2(x>0),
则F'(x)=2x-1-+,
令F'(x)=0,得x=,
F'(x),F(x)随x的变化情况为
∴F(x)的极小值点为x=,无极大值点.
(2)假设函数f(x)与g(x)的图象在其公共点(x0,y0)处存在公切线,
∵f(x)=a(x-)-2lnx,f'(x)=,g'(x)=2x,
由f'(x0)=g'(x0)得,
=2x0,即2-a+2x0-a=0,
∴(+1)(2x0-a)=0⇒x0=,
∵f(x)的定义域为(0,+∞),
当a≤0时,x0=∉(0,+∞),
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∴函数f(x)与g(x)的图象不存在公共点.
当a>0时,
∵f()=a(-)-2lna2-2ln-2,g()=a2,令f()=g(),
得a2-2ln-2=a2,即=ln(a>0).
下面研究满足此等式的a值的个数:
设t=,则a=2t,且t>0,方程=ln化为lnt=t2-1,
分别画出y=lnt和y=t2-1的图象如图所示,
∵t=1时,lnt=0,t2-1=-<0,
由函数图象的性质可得y=lnt和y=t2-1的图象有且只有两个公共点(且均符合t>0),
∴方程=ln有且只有两个解.
综上,当a≤0时,函数f(x)与g(x)的图象不存在公共点;
当a>0时,函数f(x)与g(x)的图象在其公共点处存在公切线,
且符合题意的a值有且仅有两个.
【解析】本题主要考查函数与导数的知识,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想等.
【备注】高考对于函数与导数部分往往综合考查曲线的切线,函数的单调性、极值、最值等,通过求导判断出函数的单调性,特别是含有参数的函数的单调性的讨论比较复杂,分类标准要把握准确,既要注意符号,又要注意各函数零点的大小判断,以及极大值、极小值的确定.对于不等式的证明问题,往往要转化为函数的最值问题解答,而对于方程的解的个数的讨论,则需要通过单调性和极值进行讨论.
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22.(1)∵EF∥CB,∴∠DEF=∠DCB,又∠DAB=∠DCB,
∴∠DEF=∠DAB.
又∠DFE=∠EFA,∴△DFE∽△EFA.
(2)由(1)知△DFE∽△EFA,
∴,∴EF2=FA·FD.
又FG切圆O于点G,
∴GF2=FA·FD.
∴EF2=FG2,∴EF=FG.
又EF=1,
∴FG=1.
【解析】本题主要考查相似三角形的判定、直线与圆的位置关系等知识,考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力.
【备注】几何证明选讲主要是进一步认识相似三角形和圆,主要内容是射影定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及圆内接四边形的性质,要求能通过相关的性质和定理证明一些反映圆与直线关系的题目.常用的解题策略有:由相等关系找特殊点或特殊形(如中点、等腰三角形),由乘积关系找圆的相关定理,由比例关系找相似三角形,通过相似得比例关系等.
23.(1)由C(2,)得,C的直角坐标为(2,2),
所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=8,
由得,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ+4sinθ.
(2)将代入圆C的直角坐标方程(x-2)2+(y-2)2=8,
得t2+2(cosα-sinα)t-6=0 ,则Δ>0,
设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-2(cosα-sinα),t1t2=-6,
|AB|=|t1-t2|=,
因为α∈[,],所以sin 2α∈[,1],
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所以|AB|的取值范围为[2,].
【解析】本题主要考查圆的极坐标方程、直线的参数方程、直线与圆的位置关系,考查逻辑思维能力、运算求解能力及转化思想.
【备注】坐标系与参数方程这一专题需要准确理解极坐标和参数方程的概念、参数方程中参数的几何意义,能够将点的直角坐标与极坐标进行转化,将直线、圆、椭圆和抛物线的参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程灵活转化.解决这一专题的常用策略是将极坐标方程转化为直角坐标方程、将参数方程消去参数转化为普通方程.
24.(1)由f(x)>3,得|x-2|>3,即x-2<-3或x-2>3,
∴x<-1或x>5,
故原不等式的解集为{x|x<-1或x>5}.
(2)由f(x)≥g(x),得|x-2|≥m|x|-2对任意的x∈R恒成立,
当x=0时,不等式|x-2|≥m|x|-2成立,
当x≠0时,问题等价于m≤对任意非零实数恒成立,
∵≥=1,
∴m≤1,即m的取值范围是(-∞,1].
【解析】本题主要考查不等式的性质、绝对值不等式的解法等知识,考查考生的运算求解能力和转化与化归思想.
【备注】历年高考中,不等式选讲这一专题的主要考查方式有以下两点:(1)应用比较法、综合法、分析法等证明不等式;(2)不等式的应用问题,往往涉及大小比较、解不等式和最值问题等.2016年对此专题的考查会保持相对稳定,以上两点仍将成为重点,值得考生多加练习.
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