2020高考数学三轮冲刺 专题 离散型随机变量及其分布练习(含解析)

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文档介绍

2020高考数学三轮冲刺 专题 离散型随机变量及其分布练习(含解析)

离散型随机变量及其分布 一、选择题(本大题共12小题,共60分)‎ ‎1. 若,且,,则 ‎ A. B. ‎3 C. D. 2‎ ‎(正确答案)A 解:随机变量,且,,‎ ‎,且,解得,.‎ 故选:A.‎ 根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式,得到关于n和p的方程组,整体计算求解方程组得答案.‎ 本题考查离散型随机变量的期望与方差,考查二项分布的期望公式与方差公式的应用,是基础题.‎ ‎2. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,,,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)B 解:某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,看做是独立重复事件,满足,‎ ‎,可得,可得即.‎ 15‎ 因为,可得,解得或舍去.‎ 故选:B.‎ 利用已知条件,转化为二项分布,利用方差转化求解即可.‎ 本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法,独立重复事件的应用,考查转化思想以及计算能力.‎ ‎3. 设袋中有两个红球一个黑球,除颜色不同,其他均相同,现有放回的抽取,每次抽取一个,记下颜色后放回袋中,连续摸三次,X表示三次中红球被摸中的次数,每个小球被抽取的几率相同,每次抽取相对立,则方差 ‎ A. 2 B. ‎1 C. D. ‎ ‎(正确答案)C 解:每一次红球被摸到的概率.‎ 由题意可得:,1,2,.‎ 则.‎ 故选:C.‎ 每一次红球被摸到的概率由题意可得:,1,2,即可得出.‎ 本小题主要考查二项分布列的性质及其数学期望等基础知识,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎4. 袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取1个球后,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止若抽取的次数为,则表示“放回5个红球”事件的是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)C 解:由题意知,袋中装有10个红球、5个黑球,取得黑球则另换1个红球放回袋中,‎ 所以“放回5个红球”表示前五次抽取黑球,第六次抽取红球,‎ 即,‎ 故选C.‎ 根据题意和无放回抽样的性质求出表示“放回5个红球”事件的值.‎ 15‎ 本题考查了离散型随机变量的取值,以及无放回抽样的性质,是基础题.‎ ‎5. 已知随机变量,若,则,分别是 ‎ A. 6和 B. 4和 C. 4和 D. 6和 ‎(正确答案)C 解:由题意,知随机变量X服从二项分布,,,‎ 则均值,方差,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ 先由,得均值,方差,然后由得,再根据公式求解即可.‎ 解题关键是若两个随机变量Y,X满足一次关系式b为常数,当已知、时,则有,.‎ ‎6. 已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为,则 ‎ A. 3 B. C. D. 4‎ ‎(正确答案)B 解:由题意知的可能取值为2,3,4,‎ ‎,‎ ‎,‎ 15‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选:B.‎ 由题意知的可能取值为2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出.‎ 本题离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用.‎ ‎7. 在“石头、剪刀、布”的游戏中,规定:“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”现有甲、乙两人玩这个游戏,共玩3局,每一局中每人等可能地独立选择一种手势设甲赢乙的局数为,则随机变量的数学期望是 ‎ A. B. C. D. 1‎ ‎(正确答案)D 解:由题意可得随机变量的可能取值为:0、1、2、3,‎ 每一局中甲胜的概率为,平的概率为,输的概率为,‎ 故,,‎ ‎,,‎ 故,故E ‎ 故选D 的可能取值为:0、1、2、3,每一局中甲胜的概率为,进而可得,由二项分布的期望的求解可得答案.‎ 本题考查离散型随机变量的期望的求解,得出是解决问题的关键,属中档题.‎ 15‎ ‎8. 设,随机变量的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 则当p在内增大时, ‎ A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 ‎(正确答案)D 解:设,随机变量的分布列是 ‎;‎ 方差是 ‎,‎ 时,单调递增;‎ 时,单调递减;‎ 先增大后减小.‎ 故选:D.‎ 求出随机变量的分布列与方差,再讨论的单调情况.‎ 本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题,也考查了运算求解能力,是基础题.‎ 15‎ ‎9. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为b,,已知他投篮一次得分的数学期望为2,则的最小值为 ‎ A. B. C. D. 4‎ ‎(正确答案)C 解:由题意可得:,即,b,,‎ ‎,当且仅当时取等号.‎ 故选:C.‎ 由题意可得:,即,b,,再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.‎ 本题考查了数学期望计算公式、“乘1法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎10. 口袋中有5个形状和大小完全相同的小球,编号分别为0,1,2,3,4,从中任取3个球,以表示取出球的最小号码,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)B 解:由题意可得,1,2.‎ 则,,.‎ 可得分布列为:‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故选:B.‎ 15‎ 由题意可得,1,可得,,即可得出.‎ 本题考查了随机变量分布列及其数学期望计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎11. 设离散型随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则的充要条件是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)C 解:由离散型随机变量X的分布列知:‎ 当时,,解得,‎ 当时,.‎ ‎.‎ 的充要条件是.‎ 故选:C.‎ 当时,由离散型随机变量X的分布列的性质列出方程组得,当时,能求出从而得到的充要条件是.‎ 本题考查离散型随机变量的数学期望为2的充要条件的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意离散型随机变量的性质的合理运用.‎ ‎12. 随机变量X的分布列如表所示,若,则 ‎ X ‎0‎ ‎1‎ P a b A. 9 B. ‎7 C. 5 D. 3‎ ‎(正确答案)C 15‎ 解:,‎ 由随机变量X的分布列得:‎ ‎,解得,,‎ ‎.‎ ‎.‎ 故选:C.‎ 由,利用随机变量X的分布列列出方程组,求出,,由此能求出,再由,能求出结果.‎ 本题考查方差的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20分)‎ ‎13. 一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则 ______ .‎ ‎(正确答案)‎ 解:由题意可知,该事件满足独立重复试验,是一个二项分布模型,其中,,,‎ 则.‎ 故答案为:.‎ 判断概率满足的类型,然后求解方差即可.‎ 本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法,判断概率类型满足二项分布是解题的关键.‎ ‎14. 随机变量的取值为0,1,2,若,,则 ______ .‎ 15‎ ‎(正确答案)‎ 解析:设,,则由已知得,,‎ 解得,,‎ 所以.‎ 故答案为: ‎ 结合方差的计算公式可知,应先求出,,根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得.‎ 本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式.‎ ‎15. 射击比赛每人射2次,约定全部不中得0分,只中一弹得10分,中两弹得15分,某人每次射击的命中率均为,则他得分的数学期望是______分 ‎(正确答案)‎ 解:射击的命中的得分为X,X的取值可能为0,10,15.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ 射击的命中得分为X,X的取值可能为0,10,15,然后分别求出相应的概率,根据数学期望公式解之即可.‎ 本题主要考查了二项分布与n次独立重复试验的模型,同时考查了离散型随机变量的数学期望,属于中档题.‎ 15‎ ‎16. 随机变量的分布列为: ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P x 随机变量的方差 ______ .‎ ‎(正确答案)1‎ 解:由随机变量的分布列的性质得:‎ ‎,解得,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故答案为:1.‎ 由随机变量的分布列的性质得求出,从而得,由此能求出.‎ 本题考查方差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意方差性质的合理运用.‎ 三、解答题(本大题共3小题,共40分)‎ ‎17. 某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ 求X的分布列;‎ 15‎ 若要求,确定n的最小值;‎ 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个?‎ ‎(正确答案)解:Ⅰ由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 的分布列为:‎ ‎ X ‎ 16‎ ‎ 17‎ ‎ 18‎ ‎ 19‎ ‎ 20‎ ‎ 21‎ ‎ 22‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ Ⅱ由Ⅰ知:‎ ‎.‎ ‎.‎ 15‎ 中,n的最小值为19.‎ Ⅲ由Ⅰ得:‎ ‎.‎ 买19个所需费用期望:‎ ‎,‎ 买20个所需费用期望:‎ ‎,‎ ‎,‎ 买19个更合适.‎ Ⅰ由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列.‎ Ⅱ由X的分布列求出,由此能确定满足中n的最小值.‎ Ⅲ由X的分布列得求出买19个所需费用期望和买20个所需费用期望,由此能求出买19个更合适.‎ 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用,是中档题,解题时要认真审题,注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用.‎ ‎18. 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温单位:有关如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:‎ 15‎ 最高气温 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.‎ 求六月份这种酸奶一天的需求量单位:瓶的分布列;‎ 设六月份一天销售这种酸奶的利润为单位:元,当六月份这种酸奶一天的进货量单位:瓶为多少时,Y的数学期望达到最大值?‎ ‎(正确答案)解:由题意知X的可能取值为200,300,500,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 的分布列为:‎ ‎ X ‎ 200‎ ‎ 300‎ ‎ 500‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,‎ 只需考虑,‎ 当时,‎ 若最高气温不低于25,则;‎ 若最高气温位于区间,则;‎ 若最高气温低于20,则,‎ ‎,‎ 当时,‎ 若最高气温不低于20,则,‎ 15‎ 若最高气温低于20,则,‎ ‎.‎ 时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.‎ 本题考查离散型随机变量的分布列的求法,考查数学期望的最大值的求法,考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想,是中档题.‎ 由题意知X的可能取值为200,300,500,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列.‎ 由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,只需考虑,‎ 根据和分类讨论经,能得到当时,EY最大值为520元.‎ ‎19. 某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.‎ Ⅰ求至少有一种新产品研发成功的概率;‎ Ⅱ若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.‎ ‎(正确答案)解:Ⅰ设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为一种新产品都没有成功,‎ 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和.‎ 则,‎ 再根据对立事件的概率之间的公式可得,‎ 故至少有一种新产品研发成功的概率为.‎ Ⅱ由题可得设企业可获得利润为X,则X的取值有0,120,100,220,‎ 由独立试验的概率计算公式可得,‎ 15‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以X的分布列如下: ‎ X ‎0‎ ‎120‎ ‎100‎ ‎220‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则数学期望.‎ Ⅰ利用对立事件的概率公式,计算即可,‎ Ⅱ求出企业利润的分布列,再根据数学期望公式计算即可.‎ 本题主要考查了对立事件的概率,分布列和数学期望,培养学生的计算能力,也是近几年高考题目的常考的题型.‎ 15‎
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