2014年高考理科数学试题及答案-全国卷2

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2014年高考理科数学试题及答案-全国卷2

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)‎ 理科数学 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知全集,则集合( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 设复数z满足,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 已知,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 已知m,n表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是( )‎ A.若则 B.若,,则 C.若,,则 D.若,,则 ‎5. 设是非零向量,学科 网已知命题P:若,,则;命题q:若,则,则下列命题中真命题是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( )‎ A.144 B.120 C.72 D.24‎ ‎7. 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 设等差数列的公差为d,若数列为递减数列,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )‎ A.在区间上单调递减 ‎ B.在区间上单调递增 C.在区间上单调递减 ‎ D.在区间上单调递增 ‎10. 已知点在抛物线C:的准线上,学 科网过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 已知定义在上的函数满足:‎ ‎①;‎ ‎②对所有,且,有.‎ 若对所有,,则k的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13. 执行右侧的程序框图,若输入,则输出 . ‎ ‎14. 正方形的四个顶点分别在抛物线和上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在阴影区域的概率是 ‎ ‎.‎ ‎15. 已知椭圆C:,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则 . ‎ ‎16. 对于,当非零实数a,b满足,且使最大时,的最小值为 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在中,内角A,B,C的对边a,b,c,且,已知,,,求:‎ ‎(1)a和c的值;‎ ‎(2)的值.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:‎ 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.‎ ‎(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率;‎ ‎(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望及方差.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 如图,和所在平面互相垂直,且 ‎,,E、F分别为AC、DC的中点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求二面角的正弦值.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线过点P且离心率为.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)椭圆过点P且与有相同的焦点,直线过的右焦点且与交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆心过点P,求的方程.‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知函数,.‎ 证明:(1)存在唯一,使;‎ ‎(2)存在唯一,使,且对(1)中的.‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,EP交圆于E、C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.‎ ‎(1)求证:AB为圆的直径;‎ ‎(2)若AC=BD,求证:AB=ED.‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 将圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程;‎ ‎(2)设直线与C的交点为 ‎,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数,,记的解集为M,的解集为N.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)当时,证明:.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.D 2.A 3.C 4.B 5.A 6.D ‎7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.B 二、填空题 ‎13. 14. 15. 12 16. -2‎ 三、解答题 ‎17.解:‎ ‎(Ⅰ)由得,又,所以,‎ 由余弦定理,得 又,所以 解,得或 因为,所以 ‎(Ⅱ)在中,‎ 由正弦定理,得 因,所以C为锐角,因此 于是 ‎18.解:‎ ‎(Ⅰ)设表示事件“日销售量不低于100个”, 表示事件“日销售量低于50个”, 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”,因此 ‎(Ⅱ)可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.064‎ ‎0.288‎ ‎0.432‎ ‎0.216‎ 因为(3,0.6),所以期望,方差 ‎19.(Ⅰ)证明:‎ 方法一:过点做,垂足为,连接 由可证出,‎ 所以,即 又,,‎ 所以平面,又平面,‎ 所以 方法二:由题意,以为坐标原点,在平面内过作垂直的直线,并将其作为轴,所在直线为轴,在平面内过作垂直的直线,并将其作为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,易得 ‎,,,,‎ 因而,,‎ 所以,,‎ 因此 从而,所以 ‎(Ⅱ)方法一:在图1中,过点做,垂足为G,连接EG,因为平面平面,所以面,又,所以由三垂线定理知,‎ 因此为二面角的平面角 在中,‎ 由知,,‎ 因此 从而得 即二面角的正弦值为 方法二:在图2中,平面的一个法向量为 设平面的法向量,‎ 又,‎ 所以得其中一个 设二面角的大小为,且由题知为锐角,‎ 则 因此,即所求二面角的正弦值为 ‎20.解:‎ ‎(Ⅰ)设切点坐标为,则切线斜率为,‎ 切线方程为,即,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为,‎ 由知,当且仅当时有最大值,即有最小值,因此点P的坐标为 由题意知,‎ 解得,故的方程为 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知的焦点坐标为,由此设的方程为,其中 由在上,得 解得,因此方程为 显然,不是直线,设的方程为,点,‎ 由 得,又是方程的根,因此 ‎ ①‎ 由,得 ‎ ②‎ 因,由题意知,所以 ‎ ③‎ 将①②代入③式整理得 解得或,因此直线的方程为 或 ‎21.证明:‎ ‎(Ⅰ)当时,,函数在上为减函数,又,所以存在唯一,使 ‎(Ⅱ)考虑函数 令,则时,‎ 记,则 由(Ⅰ)得,当时,,当时,‎ 在上是增函数,又,从而当时,,所以在上无零点 在上是减函数,由,知存在唯一,使 所以存在唯一的,使 因此存在唯一的,使 因为当时,,故与有相同的零点,所以存在唯一的,使 因,所以 ‎22.证明:‎ ‎(Ⅰ)因为,所以 由于为切线,故,又由于,故,‎ 所以,从而 由于,所以,于是,故是直径。‎ ‎(Ⅱ)连接 由于是直径,故 在与中,,从而,于是 由因为,所以,故 由于,所以,为直角。‎ 于是为直径,由(Ⅰ)得 ‎23.解:‎ ‎(Ⅰ)设为圆上的点,在已知变换下变为上点,依题意,得 由得,即曲线的方程为 故的参数方程为(为参数)‎ ‎(Ⅱ)由解得:,或 不妨设,则线段的中点坐标为,所求直线斜率为,于是所求直线方程为,‎ 化为极坐标方程,并整理得 ‎,即 ‎24.解:‎ ‎(Ⅰ),‎ 当时,由得,故;‎ 当时,由得,故 所以的解集为 ‎(Ⅱ)由得,解得 因此,故 当时,,于是
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