高考数学中的创新试题

高考数学中的创新试题

高考数学创新专题 ‎ 授课人：珠海市斗门区第一中学 詹波 一、教学目标 ‎1．知识和技能：让学生掌握基础知识，逐步培养学生观察、分析、归纳和类比能力,会准确地阐述自己的思路和观点；‎ ‎2．过程和方法：培养学生观察、分析、联想、归纳能力，渗透有特殊到一般数学归纳思想，培养学生自主探究意识，阅读能力及知识的发生发展过程；‎ ‎3．情感态度和价值观：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学生在活动和交流中感受数学，探索数学。‎ 二、教学重难点 教学重点：掌握基础知识和基本方法，灵活应用；以数学思想为载体应用意识探究；‎ 教学难点：理解与掌握数学创新题转化和划归。 ‎ 三、教学思想 ‎ 以学生为主体，以教师为主导，以思维为核心，以训练为主线，以培养能力为目标。‎ 四、教学方法 精讲多练 讲练结合 五、教学准备 多媒体辅助教学 六、教学过程 ‎ ‎（一）基础热身 ‎1.定义两种运算：，，则函数为 ( )‎ A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数且为偶函数 D．非奇函数且非偶函数 ‎2. 【2015深圳一模】如果自然数的各位数字之和等于8，我们称为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列…，若，则（ ）‎ A. 83 B.82 C.39 D.37‎ ‎3.记定义在R上的函数的导函数为．如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数 在区间[－2，2]上的“中值点”为____　　．‎ ‎（二）重点解析 ‎1．定义新 纵观全国各地高考试卷的创新题，不难发现，“新定义”型这种题目正可谓创新题型的新宠儿。“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。‎ ① 新概念 例1：函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数，设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件： ‎ ‎①； ②； ③．则等于( )‎ A． B． C． D．无法确定 ‎②新运算 例2：定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：(1)；(2) ，则 ．‎ ‎③新法则 例3．【2015广州调研】已知映射.设点，，点是线段上一动点，.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为 A． B．　 C． D． ‎ ‎2.背景高 ‎ 纵观全国高考试题，以高等数学为背景的试题备受命题专家青睐，是创新试题一道亮丽的风景线。‎ 例4：【2010四川】设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：‎ ‎①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；w_w_w.k*s 5*u.c o*m ‎②若S为封闭集，则一定有；‎ ‎③封闭集一定是无限集；‎ ‎④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集. w_w w. k#s5_u.c o*m 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）‎ 例5. 【2014广州一模】设，，为整数（），若和被 除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是 （ ）‎ ‎ A．2011 B．‎2012 C．2013 D．2014‎ 例6．对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。‎ 对自然数，规定为的阶差分数列，其中.‎ ‎ （1）已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？‎ ‎ （2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式.‎ ‎ （3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得对一切正整数都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎（三）方法小结 创新题，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体.要求认真理解题意，透过“现象”把握问题的”本质”，并将它抽象成数学（如集合、函数、数列、向量等）问题，运用相应的数学知识求解；解决这类问题通常分为三个步骤：（1）对新定义进行信息提取，确定解题的方向;（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解题方法；（3）对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，进而解题。解决这类问题常见的思想与方法：直接法、特值法、排除法、数形结合、转化化归等.‎ ‎（四）巩固练习 ‎1.定义运算 ，若复数，，则 ‎ ‎2. 一个三位数abc称为“凹数”，如果该三位数同时满足a＞b且b＜c，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_____________________．‎ ‎3. 定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n 记作，，其中ai为数列中的第i项.‎ ‎①若，则T4= ；②若 . ‎ ‎4.【2011广东】设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的．若是的两个不相交的非空子集，，且，有； ，有，则下列结论恒成立的是 A．中至少有一个关于乘法是封闭的 B．中至多有一个关于乘法是封闭的 C．中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．中每一个关于乘法都是封闭的 ‎5. 【2015深圳一模文】在平面直角坐标系中，设点M与曲线上任意一点距离的最小值为。若，则称比更靠近点M，下列为假命题的是（ ） ‎ A.：比：更靠近　B.：比：更靠近　‎ C.若：比：更靠近点，则　‎ D.若，则：比：更靠近点 ‎6.【2014·浙江】记max{x，y}＝min{x，y}＝ 设a，b为平面向量，则(　　)‎ A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}‎ C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2‎ ‎7.数学中对形式复杂的函数式求导时，先对解析式两边取对数，再求导函数，这比一般的方法更简单．如求的导数，解法如下：（1）两边取对数： （2）再对x求导数：（3）得．根据上面提供的方法，计算函数的导数为_______‎ 七、课后反思 ‎___________________________________________________________________‎ ‎______________________________________________________________________________‎ ‎_______________________________________________________________________________‎