2014年版高考数学专题目06三角恒等变换与解三角形考二轮难点解析

2014年版高考数学专题目06三角恒等变换与解三角形考二轮难点解析

专题06 三角恒等变换与解三角形-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练 ‎2014高考对本内容的考查主要有：‎ ‎(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．‎ ‎(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．‎ 试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α.‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎3．正弦定理 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．‎ 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.‎ sin A＝，sin B＝，sin C＝.‎ a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.‎ ‎4．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，‎ c2＝a2＋b2－2abcos C.‎ 推论：cos A＝，cos B＝，‎ cos C＝.‎ ‎5．三角形面积公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.‎ ‎6．三角恒等变换的基本思路 ‎(1)“化异为同”，“切化弦”，“‎1”‎的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan 45°等．‎ ‎“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．‎ ‎(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＝－等．‎ ‎7．解三角形的四种类型及求解方法 ‎(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．‎ ‎(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．‎ ‎(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．‎ ‎(4)已知三边，利用余弦定理求解．‎ ‎8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路 把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.‎ 考点1、三角变换及应用 ‎【例1】 (1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；‎ ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．‎ ‎＝×＋×＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ ‎【规律方法】 ‎ ‎(1)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝＋等．‎ ‎(2)由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．‎ ‎【变式探究】 (2013·广东卷)已知函数f(x)＝cos，x∈R.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)若cos θ＝，θ∈，求f.‎ ‎∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，cos 2θ＝2cos2 θ－1＝－，‎ ‎∴f＝cos 2θ－sin 2θ＝－＋＝.‎ 考点2、正、余弦定理的应用 ‎【例2】△ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝.‎ ‎(1)求A·A；‎ ‎(2)若c－b＝1，求a的值．‎ ‎【规律方法】 求解此类问题，一要注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口，如求A·A，需要求出bc，由三角形的面积及cos A，可求出sin A，二要注意求解本题第(2)问时，应该结合第(1)问中的结论．‎ ‎【变式探究】 (2013·山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.‎ ‎(1)求a，c的值；‎ ‎(2)求sin(A－B)的值．‎ ‎【解析】解　(1)由余弦定理，得 解三角形在实际问题中的应用 ‎【例1】如图，现有一个以∠AOB为圆心角，湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲在弧AB上取不同于A、B的点C，用渔网沿着弧AC(弧AC在扇形AOB的弧AB上)，半径OC和线段CD(其中CD∥OA)，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若OA＝‎1 km，∠AOB＝，∠AOC＝θ.‎ ‎(1)用θ表示CD的长度；‎ ‎(2)求所需渔网长度(即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围．‎ ‎【规律方法】 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：‎ ‎(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；‎ ‎ (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；‎ ‎(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．‎ ‎(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．‎ ‎【变式探究】某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根‎5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根‎9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC，‎ ‎(1)设AB＝x米，cos A＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围．‎ ‎(2)求四边形ABCD面积的最大值．‎ ‎【解析】解　(1)在△ABD中，由余弦定理得 BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A.‎ 同理，在△CBD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C.‎ 因为∠A和∠C互补，‎ 所以AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C＝CB2＋CD2＋2CB·CD·cos A.‎ 即x2＋(9－x)2－2x(9－x)cos A ‎＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)cos A.‎ 解得cos A＝，即f(x)＝，其中x∈(2,5)．‎ ‎1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于________．‎ ‎2．在△ABC中，A，B，C为内角，且sin Acos A＝sin Bcos B，则△ABC是________三角形．‎ ‎3．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于________．‎ ‎4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝‎5c，C＝2B，则cos C等于________．‎ ‎5．已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为________．‎ ‎6．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin A，求b＝______.‎ ‎7．若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.‎ ‎8．在△ABC中，AD为BC边上的高线，AD＝BC，角A，B，C的对边为a， b，c，则＋的取值范围是________．‎ ‎9．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝‎4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.‎ ‎(1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；‎ ‎(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为‎125 m，试问d为多少时，α－β最大？‎ ‎ ‎ ‎(2)由题设知d＝AB，得tan α＝.‎ ‎10．在△ABC中，已知·＝3·.‎ ‎(1)求证：tan B＝3tan A；‎ ‎(2)若cos C＝，求A的值．‎ ‎11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【解析】解　(1)由已知及正弦定理，得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，①‎ 又A＝π－(B＋C)，‎ 故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②‎ 由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.‎ 又B∈(0，π)，所以B＝.‎