- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
新课程高考及其复习教学的思考与实践
立足教材抓基础 注重课堂提效益 ——关于新课程高考及其复习教学的思考与实践 讨论主题：针对当前教学现状和教学的需要，根据先行省份自主命题的过程、操作方式和试题特点，分析数学新课程高考考什么、怎么考，新课程理念的认识，课程标准、现行教材、考试大纲的关系，高考如何考创新、复习如何把握难度、第一年新课程高考通常应该如何过渡等问题；探讨实施课程改革，立足教材、狠抓基础，正确处理复习教学与平时教学的关系，构建有效课堂，提高教学效益等有关新课程高考复习的基本教学策略． 数学、教学、学生； 标准、考纲、说明； 教材、课堂、效益。 内容提纲： 高考考什么、怎么考 1 贯彻落实课程理念，明确领会改革方向 2 整体认识课程体系，全面把握课程目标 3 深刻体会命题原则，充分认识试题特点 4 根据实际合理创新，针对现状平稳过渡 教学教什么、怎么教 1 实施意见切合考纲，立足教材狠抓基础 2 强化思维精心设计，注重课堂提高效益 3 重视过程突出扎实，着眼课型达成目标 高考考什么、怎么考 1 贯彻落实课程理念，明确领会改革方向 从教育和数学两个维度上认识新课程理念，对高考(认识命题特点，实施学科教学)都有宏观指导作用． (1)教育的视角． 新世纪开始的新课程(课程改革)强调以学生为本(教师、学生角色定位)，探究性学习(学习方式)，多元化评价(评价方式)；强调情景、过程、探索、发现(教与学的方式)；提出“知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观”三维课程目标．现代教育积极倡导： 教学与教师： ①教学目标应是多元的． ②教学过程应是互动的． ③教师应是反思型的． ④教学手段应是多媒体的． 学习、内容与评价： ⑤课程内容应是整合的． ⑥知识应是建构的． ⑦学生学习应是主动的． ⑧学生个体应是发展的． ⑨教学评价应是综合的． (2)数学与数学教学的视角． 新课程理念和课程标准精神 强调数学教学是数学活动的教学(而不仅仅是数学活动结果的教学)；强调观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动；强调动手实践、自主探索和合作交流；强调学习内容应当是现实的、有意义的、富于挑战性的；强调师生之间、学生之间交往互动和共同发展．在这些理念的推动下，数学教学的活动化取向、生活化取向、个性化取向得到大力提倡(体现人本主义、大众数学、建构主义)．但与此同时，也出现了不少问题与争议． 在高中数学课标中明确提出了10条基本理念： ①构建共同基础，提供发展平台． ②提供多样课程，适应个性选择． ③有利于形成积极主动、勇于探索的学习方式． ④有利于提高学生的数学思维能力． ⑤发展学生的数学应用意识． ⑥用发展的眼光认识“双基”． ⑦返璞归真，注意适度的形式化． ⑧体现数学的文化价值． ⑨注重信息技术与数学课程的整合． ⑩建立合理、科学的评价机制． 2 整体认识课程体系，全面把握课程目标 新课程实施不仅表现为考试内容的变化，而且在教育理念、课程目标、人才评价等方面也都发生了变化．于是，在思考对高中数学学习的评价时，随之自然会关注到这样的问题：三维目标中的“过程与方法”如何考查？“情感、态度与价值观”如何考查？选考内容的平衡性如何保证？等等．综合近年来各地新课程高考的命题情况，基本做法大体是：以“ 知识与技能”为主干，兼顾“过程与方法”，努力体现“情感、态度与价值观”． 数学新课程高考“考什么”，重点体现在以下四个方面． (1)考知识模块． ①文科必考内容：必修1-必修5，选修1-1、选修1-2,共20个模块，约260课时、180个知识点． ②理科必考内容：必修1-必修5，选修2-1、选修2-2,选修2-3，共21个模块，约290课时、210个知识点． ③选考内容主要有以下几个方面． ●选修4-1：《几何证明选讲》． ●选修4-4:《坐标系与参数方程》． ●选修4-5：《不等式选讲》． 也有个别省份考查《矩阵与变换》． 通常，一套试卷每一模块都会考到，一二百个知识点有不低于60%的覆盖面． 教师在复习中，常常将理科考试内容合并为15个知识板块：集合，函数，立体几何，数列，解析几何，概率与统计，算法初步，三角，向量，逻辑与推理，不等式，导数与定积分，计数原理，复数，选修．文科略有区别． 案例：考点分级分析，明确内容结构、体系和要求 大纲版《考试大纲》考点分级表 说明： 1．高考数学考点以全国高考考试大纲为准． 2．试题、考点分A、B、C三级． A级：基础的题目，能力要求为“了解”，“理解”题型主要为选择题、填空题或解答题(1)小题．(基础题，应覆盖本节的主要内容和基本方法) B级：主要是中档题目，能力要求为“理解”、“掌握”，题型主要为选择题、填空题、解答题，以解答题的前四题的难度为准．(中档题，应包括本节内容所涉及板块知识的简单综合) C级：难题、压轴题，能力要求为“综合应用”，题型主要为选择题的11、12题解答题21、22题．(体现能力要求的难题和压轴题，应包括多个相关板块知识的相互综合与应用) 一、高考数学主要考点 (一)集合与简易逻辑 A级：1．简单数集的“子、交、并、补”运算(有限集)； 2．集合的关系(包含、相等)的判断；(有限集、无限集) 3．韦恩图的应用； 4．不等式，不等式组的解集； 5．四种命题的关系； 6．“或”、“且”、“非”逻辑关系词的应用； 7．简单充要条件的判定； 8．集合{a1, a2, …, an}的子集个数2n及应用； 9．简单的映射问题． B级：1．较复杂的充要条件的判定； 2．证明简单充要条件问题； 3．较复杂不等式组的解集； 4．新定义的运算(为集合的差集等)． (二)函数 A级：1．函数的定义域，解析式； 2．函数的奇偶性的判定； 3．简单函数的单调性； 4．幂、指、对函数的图象； 5．分段函数图象； 6．反函数； 7．对数运算(换底公式)； 8．利用定义解指数、对数方程； 9．比较函数值大小(利用图象)； 10．图象平移(按向量)； 11．应用问题：由实际问题判断图象． B级：1．求简单函数值； 2．函数,的图象应用； 3．用定义解最简单的指数、对数不等式； 4．复合函数的单调性； 5．分段函数的单调性； 6．简单的抽象函数、函数方程； 7．函数的周期(非三角函数)； 8．用导数求函数的单调区间与极值； 9．二次函数综合题； 10．含绝对值函数问题； 11．函数凸性，判定： 12．应用问题：建立函数关系，求最值． C级：1．函数与数列综合问题； 2．用导数求函数单调区间并证明不等式； 3．用闭区间连续函数必有最大最小值理论求函数值域； 4．二次函数综合问题+含绝对值不等式； 5．与高等数学相关的函数问题； 6．函数最值与线性规划； 7．抽象函数及性质证明； 8．函数应用综合问题(分段函数)； 9．函数创新题目(与竞赛题相关)． (三)数列 A级：1．等差数列定义、性质，求an,sn； 2．等比数列定义、性质，求an,sn； 3．等差中项与等比中项； 4．简单的递归数列(写出前n项)； 5．数列与函数图象； 6．数列简单应用问题． B级：1．等差、等比数列综合问题； 2． an与sn关系； 3．求sn最大，最小值问题； 4．一阶线性递归(给出辅助数列)； 5．数列求和：分组法、裂项相消、错位相减法； 6．定义新数列问题． C级：1．数列求和与证明不等式； 2．递归数列(不给辅助数列)求an,sn； 3．用导数得出的递归数列； 4数列与几何问题； 5递归数列应用问题； 6．与高等数学相关问题． (四)三角函数 A级：1．任意角的三角函数； 2．诱导公式+三角函数求值； 3．单位圆、三角函数线(正弦线、余弦线)； 4．y=图象及其性质； 5．y=图象及其性质； 6．由正、余弦函数图象判断解析式； 7．同角三角函数关系(三个)； 8．已知三角函数值，在限定范围求角； 9．三角恒等变形(和、差、倍)； 10．用arcsin,arccos,arctan表示角； 12．y=sinx平移变换得y=图象； 13．y=cosx平移变换得y=图象． B级：1．y=tanx的图象及性质； 2．三角恒等变形后求值、求角； 3．三角恒等变形后求y=的单调区间及最值； 4．以向量形式给出条件，三角恒等变形，求角，求值； 5．以单位圆给出条件，三角恒等变形求角，求值； 6．三角函数图象按向量平移； 7．最简单的三角方程，三角不等式(不求通解，只求特解)； 8．三角函数与数列综合问题； 9．有隐含条件的三角问题； 10．含参的三角函数最值讨论． C级：1．用导数求三角函数的值域(连续可导)． (五)向量 A级：1．向量的有关概念； 2．向量几何运算，加、减、数乘； 3．向量的坐标运算； 4．向量运算的几何意义(如表示…)的应用； 5．向量点乘运算及几何意义； 6．向量模的运算； 7．用向量表示平行，垂直等条件； 8．平面向量基本定理及应用； 9．正弦定理及应用； 10．余弦定理及应用； 11．“，A，B，C三点共线推出x+y=1”的应用． B级：1．较复杂的三角形，多边形中向量运算； 2．用非正交基向量表示其它向量； 3．用向量构造函数，求函数单调区间，最值； 4．用向量构造三角函数，求相关问题； 5．向量与概率结合问题； 6．解斜三角形； 7．解斜三角形+三角变换； 8．正弦定理、余弦定理+三角变换； 9．解斜三角形应用问题(台风、测量)； 10．定义新的向量运算(创新问题)． (六)不等式 A级：1．不等式性质的应用、判定； 2．重要不等式： ； 3．一元一次、一元二次、不等式(组)； 4．解高次不等式、分式不等式； 5．用图象、定义解最简单无理不等式； 6．解含绝对值不等式． B级：1．定和定积原理应用； 2．重要不等式综合应用； 3．二次函数与不等式； 4．解含参不等式； 5．用分类讨论法解不等式； 6．分析法、综合法证明不等式． C级：1．用放缩法证明不等式； 2．用数学归纳法证明不等式； 3．构造函数求导，利用函数单调性证明不等式； 4．证明与二项式相关的不等式； 5．二次函数与含绝对值不等式； 6．三角形不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|-|b|； 7．由高等数学改编问题． (七)直线、平面、简单几何体 A级：1．确定平面问题； 2．判定异面直线； 3．平行关系的判定：线线，线面，面面； 4．垂直关系的判定：线线、线面、面面； 5．空间四边形的问题； 6．三垂线定理应用(以正方体、长方体、三棱体、棱锥为载体)； 7．求异面直线所成角； 8．直线与平面所成角； 9．二面角； 10．异面直线距离(给出公垂线段)； 11．截面问题； 12．柱体、锥体的体积； 13．正四面体有关问题． B级：1．球面距离(球大圆、球小圆)； 2．球的内接正方体、长方体问题； 3．锥体、柱体的体积； 4．图形的翻折问题； 5．最小角定理的应用； 6．射影面积公式应用； 7．长方体中角定理=1， 其中：是长方体对角线与三度所成角； 8．多面体的截割与拼接； 9．正方体中的圆锥曲线； 10．正方体(等)中的函数问题； 11．正方体为载体； 12．长方体为载体； 13．三棱锥为载体； 14．三棱柱为载体； 15．多面体为载体； 16．翻折图形为载体； (11—16项：题型为线线、线面、面面问题(平行、垂直)；角与距离计算、体积计算，均可建立空间坐标系解决问题)． (八)直线与圆 A级：1．确定直线的方程； 2．两直线平行、垂直判定与应用； 3．确定圆的位置关系； 4．两圆的位置关系； 5．点到直线距离公式的应用； 6．两直线夹角、到角问题； 7．最简单的线性规划问题； 8．线性规划应用问题(简单的)； 9．定比分点公式(中点公式)及应用． B级：1．直线与圆位置关系(与平面几何联系)； 2．较复杂的线性规划问题； 3．求圆的方程(待定系数)； 4．直线系(过定点的直线)； 5．圆系； 6．直线与圆的弦长、切线、圆幂定理； 7．解析几何中的三角形问题； 8．圆的参数方程及综合应用； 9．线性规划应用问题(复杂的)． (九)圆锥曲线 B级：1．椭圆定义、标准方程； 2．椭圆的几何量，a、b、c、e、准线； 3．双曲线的定义，标准方程； 4．双曲线的几何量，a、b、c、e、准线、渐近线； 5．抛物线标准方程； 6．求曲线方程(结果应为圆锥曲线)； 7．圆锥曲线中的充要条件； 8．由图形结合圆锥曲线几何量的计算； 9．含参圆锥曲线的讨论； 10．图形对称、翻折、平移； 11．圆与椭圆综合问题； 12．圆与抛物线综合问题； 13．圆与双曲线综合问题． C级：1．直线与椭圆、弦长面积(焦点弦)； 2．向量与椭圆、几何性质； 3．直线与双曲线、几何性质； 4．向量与双曲线、弦长、三角形的面积； 5．抛物线切线问题(导数求法)； 6．抛物线焦点弦、综合问题； 7．圆锥曲线范围问题； 8．圆锥曲线+函数+最值； 9．圆锥曲线平行弦的中点轨迹； 10．圆锥曲线+数列； 11．新定义圆锥曲线问题； 12．圆锥曲线几何性质改编问题． (十)排列组合、二项式定理 B级：1．数字问题 2．排队问题 3．分组问题 4．图形上色问题 5．整除问题 6．数列相关问题 7．函数相关问题 8．几何问题； 9．先人问题； (1-9项涉及的方法包括：(a)特殊位置、特殊元素优先；(b)先组合、后排列；(c)插空格法；(d)插隔板法；(e)排除法；(f)分类讨论；(g)打捆法) 10．排列组合问题中求待定系数问题； 11．(a+b)n展开式求指定项(常数项、含xk项)； 12． (a+b)n展开式二项式系数，项的系数问题； 13．由杨辉三角形产生问题； 14．由来布尼兹三角形产生问题； 15．余数问题； 16．组合数性质证明及应用(包括用求导方法证明)． C级：1．利用二项式定理证明不等式； 2．利用组合数恒等式证明不等式． (十一)概率、统计 A级：1．简单的古典概率； 2．和事件概率； 3．积事件概率； 4．相应独立事件，互斥事件概率； 5．由排列组合问题产生的概率； 6．统计直方图； 7．数据处理、数学期望、方差，从数据中提取信息； 8．正态分布曲线基本问题． B级：1．二项分布概率； 2．随机事件概率分布列、数学期望、方差； 3、逆求概率问题； 4．含参概率问题； (主要问题类型：①摸球问题；②射击问题；③投篮问题；④比赛问题；⑤产品抽样问题；⑥几何问题；⑦由排列组合产生问题；⑧其它) 5．新情景的概率问题． (十二)极限、导数 A级：1．数列极限的定义； 2．简单的数列极限运算(型、型)； 3．函数极限的定义； 4．简单的函数极限运算； 5．函数连续的定义、判定； 6．导数的定义； 7．简单的求导运算(简单复合函数)． B级：1．函数连续、极限的充要条件； 2．无穷递缩等比数列求和； 3．利用导数求函数单调区； 4．利用导数求函数值域； 5．利用闭区间上连续函数存在最大、最小值原理求函数的最大值、最小值； 6．含参的导数问题； 7．应用问题； 8．由高等数学改编问题． (十三)复数 A级：1．复数有关概念(实数、虚数、纯虚数)； 2．复数的代数式四则运算； 3．i运算； 4．运算(给出ω)； 5．复平面； *6．复数的模、计算． 类似地，对于课标版的《考试大纲》及其《考试说明》，我们可以得到相应的考点分级表： 考试内容 要求层次 A B C 集合与常用逻辑用语 集合 集合的含义 √ 集合的表示 √ 集合间的基本关系 √ 集合的基本运算 √ 常用逻辑用语 命题的概念 √ “若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题 √ 四种命题的相互关系 √ 充要条件 √ 简单的逻辑联结词 √ 全称量词与存在量词 √ 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数 函数 函数的概念与表示 √ 映射 √ 单调性与最大(小)值 √ 奇偶性 √ 指数 函数 有理指数幂的含义 √ 实数指数幂的意义 √ 幂的运算 √ 指数函数的概念、图象及其性质 √ 对数 函数 对数的概念及其运算性质 √ 换底公式 √ 对数函数的概念、图象及其性质 √ 指数函数与对数函数互为反函数(且 √ ) 幂函数 幂函数的概念 √ 幂函数 的图象 √ 函数与方程 函数的零点 √ 二分法 √ 函数的模型及其应用 函数模型的应用 √ (2)考数学能力． 和大纲卷一样，各地坚持了以能力立意命题，全面考查体现数学学科特点的七个能力． ①空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质． ②抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能用其解决问题或作出新的判断． ③ 推理论证能力：根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力．推理包括合情推理和演绎推理，论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．通常是运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明． ④运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算． ⑤数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断．数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题． ⑥应用能力—简化为生活中简单的数学问题：能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明．应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决． ⑦创新能力—简化为创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现．对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也越强． (3)考思想方法． 试题关注对数学思想方法的考查．主要考查七个基本数学思想和七个常用解题方法． ①基本数学思想． ●函数与方程的基本数学思想．(通过函数题) ●数形结合的基本数学思想．(通过函数题，立体几何、解析几何综合题，构造图形等) ●分类与整合的基本数学思想．(通过综合题，排列组合题，参数讨论题) ●化归与转化的基本数学思想．(通过综合题) ●特殊与一般的基本数学思想．(通过综合题，猜想题) ●有限与无限的基本数学思想．(通过微积分函数题) ●或然与必然的基本数学思想．(通过概率、统计题) 其中，函数与方程的数学思想方法、数形结合的数学思想方法、化归与转化的数学思想方法体现得最为突出．近年，或然与必然的基本数学思想份量在加重． ②常用解题方法． ●待定系数法． ●换元法． ●配方法． ●代入法． ●消元法． ●反证法． ●数学归纳法． (4)考个性品质． 如何考查个性品质有难度，需要探索，但不会回避． ①体现数学视野． ②体现数学价值．(科学价值、人文价值、理性思维、数学美) ③体现人文关怀． 这是三个基本的探索方向． 案例：四川省2012年理科高考试题的选析． 7．设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是 (A) (B) // (C) (D) //且 立意：本题考查向量、充要条件等基础知识. 解答：的充要条件是与同向，故选C. 8．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点. 若点M到该抛物线焦点的距离为3，则 (A) (B) (C) 4 (D) 立意：本题考查抛物线的定义、抛物线方程及两点间的距离等基础知识. 解答：可设抛物线方程为y2=2px，由到焦点的距离为3，可知2+=3，所以p=2.将M坐标代入有y02=8，，选B. 本题以教材第二册(上)第120页例1为背景改编. 12.设函数，是公差为的等差数列，，则 (A) 0 (B) (C) (D) 立意：本题考查函数的单调性、奇偶性、等差数列的性质等基础知识，考查数学探究、综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力和思维能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想. 解答：因为 ，所以函数为增函数，其图象关于对称. 又因为是公差为的等差数列，，所以 ，且. 因此，，答案为D. 19．(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，∠APB=90，∠PAB=60，，平面PAB⊥平面ABC. (Ⅰ) 求直线PC与平面ABC所成的角的大小； (Ⅱ) 求二面角的大小. 立意：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力. 解答：解法一： (Ⅰ)设AB的中点为D，AD的中点为O，连结PO、CO、CD. 由已知，为等边三角形. 所以. 又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AD， 所以平面ABC. 所以为直线PC与平面ABC所成的角. 不妨设AB=4，则PD=2，，OD=1，. 在Rt△OCD中，. 所以在Rt△POC中，. 故直线PC与平面ABC所成的角的大小为 . (Ⅱ) 过D作DE⊥PA于点E，连结CE. 由已知可得，平面PAB. 根据三垂线定理知，. 所以∠DEC为二面角的平面角. 由(Ⅰ)知，DE=. 在Rt△CDE中，tan∠CDE===2. 故二面角的大小为arctan 2. 解法二： (Ⅰ) 设AB的中点为D，作PO⊥AB于点O，连结CD. 因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB平面ABC=AD， 所以PO⊥平面ABC. 所以PO⊥CD. 由AB=BC=CA，知CD⊥AB. 设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB. 如图，以O为坐标原点，OB、OE、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，CD=2. 所以O(0,0,0)，A(-1,0,0)，C(1,2,0)，P(0,0,). 所以，而 为平面ABC的一个法向量. 设为直线PC与平面ABC所成的角， 则sin===. 故直线PC与平面ABC所成的角为arcsin. (Ⅱ) 由(Ⅰ)，有，. 设平面APC的一个法向量为，则 从而 取，则，所以. 设二面角的平面角为，易知为锐角. 而面ABP的一个法向量为m，则 . 故二面角的大小为. 20．(本小题满分12分) 已知数列的前项的和为，且对一切正整数都成立. (Ⅰ) 求,的值； (Ⅱ) 设，数列的前n项和为Tn. 当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值. 立意：本小题考查等比数列、等差数列、对数等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力，考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 解答： (Ⅰ) 取，得，① 取，得，② 由②①，得. ③ (1)若，由①知. (2)若，由③知. ④ 由①、④解得，，；或，. 综上可得，,；或,；或，. (Ⅱ) 当，由(Ⅰ)知,. 当时，有，， 所以，即 ()， 所以. 令，则. 所以数列是单调递减的等差数列(公差为)，从而 ， 当时，， 故时，取得最大值，且的最大值为 =. 3 深刻体会命题原则，充分认识试题特点 这里直观地说，就是“怎么考”的问题．课改先行省份的试题体现出来的特点，是我们提供了研究高考命题的基本载体．通过研究，可以发现这些基本命题原则和试题特点： (1)依纲据(靠)本． 命题严格依据国家课程标准和普通高等学校招生全国统一考试大纲的要求，高考命题的依据是《考试说明》，而《考试说明》的依据是《课程标准 》，教材是课程的载体．因此高考命题最具体、最方便的依据是教材．一般说来，本省命题以本省教材为主(多版本教材并存的地方常说“依纲不靠本”、不“以本代纲”，但这并不是说高考命题要远离教材与教学，而是为了公平，要平等地对待各个版本，不刻意向某一版本倾斜．) (2)三个有利． 有利于高等学校选拔学生(自主办学)，有利于中学推进素质教育，有利于实施课程改革． (3)体现三维目标． 试题体现普通高中课程改革的十个理念，试题的解答能反映出学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观． (4)突出基础性、灵活性、开放性、探究性、应用性和创新性． 试题设计力求突出基础性和创新性，密切联系学生的生活经验和社会实际，既注重考查学生的基础知识、基本能力、基本方法、基本经验，又注重考查学生分析问题和解决问题的能力，体现出灵活性、开放性、探究性；既全面覆盖又重点突出(重点知识重点考查)． (5)体现公平性． 试题素材和解答要求对所有考生公平，避免需要特殊背景知识和特殊解答方式的题目． (6)注重科学性． 注重试卷整体设计，力求题型结构、内容比例、知识覆盖面等构成科学、合理，试题有适当的难度、区分度，试卷有良好的信度和效度． (7)强调可操作性．构卷和命题注重考试实施的可操作性，有利于考试的组织和评卷的实施． 案例：高考试题分类分析． （对应考点，展现特点，反映规律．） 对试题进行分类比较统计分析，明确各类题型对应的考点、各考点(及其相应的级别)出现的频率、比例，把握试题反应出来的特点，从中把握基本规律．对于解答题，还可进一步分析题型构成，知识、方法如何体现． 2006-2011年(不含2008年)高考(四川卷·理科) 知识点分布表 题号 分值 考查知识点 2006年 2007年 2009年 2010年 2011年 1 5 集合（A） 复数 集合 复数 统计 2 5 复数 指数、对数函数图象 函数 函数图象 复数 3 5 连续与极限 函数极限 复数 对数运算 空间直线位置 4 5 二面角与异面直线的角 直线与平面 三角 函数图象、充要条件 向量加法几何意义 5 5 三角函数的图象 双曲线 几何体 向量 连续，充要条件 6 5 轨迹方程(圆的面积) 球体 不等式 充要条件 正弦函数的图象变换 正弦、余弦定理 余弦函数单调性 7 5 向量的数量积 向量 圆锥曲线 线性规划 函数奇偶性、反函数图象 8 5 线性规划 直线与抛物线 球体 数列 等差数列的通项公式及前项和 9 5 抛物线 线性规划 直线与圆 椭圆 线性规划中的优化方法 10 5 球体、二面角 排列组合 线性规划 排列组合 二次函数性质，导数几何意义及点到直线的距离 11 5 解斜三角形与充要关系 解斜三角形 排列组合 立体几何(球) 以给定区间上二次函数为载体的平移和压缩变换，数列极限 12 5 排列组合与概率 函数、导数与概率 函数 基本不等式(构造) 向量及排列组合的基础知识以及分类与整合的数学思想方法 13 4 直线与平面所成的角 函数奇偶性与最值 二项式定理 二项式定理 指数运算及对数运算 14 4 离散随机变量数学期望 直线与平面所成角 直线与圆 直线与圆 双曲线的定义和基本性质 15 4 椭圆的定义 圆及轨迹方程 几何体 直线与平面的角 球及柱体的性质、均值不等式以及最值的概念与计算 16 4 信息类题目 三角函数 信息类题目 信息类题目( 向量 封闭集) 函数背景信息类问题，阅读能力, 理解能力, 思维能力, 推理能力和创新意识 17 12 向量与三角 三角化简与求值 解斜三角形 概率 三角，函数与方程、化归与转化 1.三角函数式化简、求值； 2.三角函数或化简，求周期，单调区间，最值； 3.三角式待定系数计算，求相关量； 4.与三角形、正余弦定理相关的三角化简问题； 5.与向量相关的三角函数化简问题； 6.解斜三角形； 7.三角函数的应用问题． 18 12 概率与统计 概率与统计 概率与统计 立体几何 相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念 1.古典概率+随机概率分布列+数学期望； 2.二项分布+分布列+数学期望； 3.由条件求出概率P+分布列+数学期望； 4.由期望、方差求待定系数+由分布列求相关问题； 5.互斥、独立事件概率+分布列+期望． 19 12 立体几何 立体几何 立体几何 三角证明与求值 直三棱柱的性质、线面关系、二面角 1.以正方体为载体； 2.以长方体为载体； 求证：线线、线面、面面平行与垂直关系； 3.以三棱锥、四棱锥为载体； 4.以三棱柱为载体； 计算：异面直线所成角二面角； 5.以多面体为载体； 6.图形翻折； 计算：三棱锥，四棱锥面积． 7.以三面角为载体． 20 12 数列、函数、导数、极限 椭圆、向量、直线与椭圆位置关系 直线、椭圆、向量 轨迹、直线与双曲线 等比数列、组合数性质，二项式定理 1.等差、等比数列性质、求等； 2.递归数列→等差、等比问题→求； 3.函数→递归数列→……； 4.几何图形→递归数列→……； 5.数列+概率； 6.数列+数学归纳法+不等式； 7.数列求和+证明不等式； 8.数列+二项式定理+不等式； 9.数列+三角函数+……； 10.数列应用问题； 11.由高等数学改编数列问题． 21 12 双曲线定义、直线与双曲线关系 数列、函数、导数、不等式 函数、导数 数列的综合运用 直线、椭圆的标准方程及基本性质 1.求椭圆方程+直线截椭圆弦长+三角形的面积问题； 2.向量+椭圆方程+弦长+三角形的面积； 3.椭圆方程+对称问题+范围； 4.椭圆方程+范围+最值(几何问题)； 5.双曲线方程+弦长+三角形的面积； 6.双曲线方程+几何问题+最值； 7.抛物线方程+焦点弦+三角形的面积； 8.抛物线方程+切线+三角形的面积； 9.抛物线方程+对称问题+范围； 10.圆+椭圆+……；圆+抛物线+……； 11.求曲线轨迹问题(圆、椭圆、抛物线、双曲线)+其它问题． 22 14 函数、导数与不等式 函数、导数、不等式、数列、二项式定理 数列、不等式 函数、导数、方程、不等式与化归、分类整合等数学思想方法 函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，数形结合、函数与方程、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法 1.求函数的单调区间、最值+不等式； 2.求函数的单调区间+线性规划； 3.含参数的函数单调区间、最值； 4.函数的单调性+二项式定理+不等式； 5.函数的单调区间、最值+参数取值范围； 6.含三角函数的复合函数单调区间+最值； 7.函数+组合恒等式+不等式； 8.二次函数+含绝对值不等式+函数单调区间； 9.由高等数学改编问题(函数问题)． 4 根据实际合理创新，针对现状平稳过渡 (1)数学新课程高考对“创新意识”的考查 考查创新意识，主要通过创新试题来．数学创新试题是指在试题背景、试题形式、试题内容或解答方法等方面具有一定的新颖性与独特性的数学试题，其基本目的在于培养或诊断（考查）考生的数学创新意识与创新能力． 除了传统的计算题、证明题外，主要有以下几个方面． ①开放探索题：高考中的开放探索题是指条件完备，但结论不确定、需要探索的数学问题．有时候结论开放，为了阅卷方便，只要求考生写出一二个，不同的考生答案会不一样；有时候叙述为“是否存在……请说明理由”，需要考生自己去探索出结论并加以证明．把开放性与探索性结合起来是这类题目的显著特点． ②信息迁移题：高考中的信息迁移题是在题目中即时提供一个新的数学情景(或给出一个名词概念，或规定一种规则运算等)，让考生学习陌生信息后立即解答相关问题(迁移)．这类题目背景公平，能有效考查学生的真实水平．由于高考的选拔性质，即时提供的新信息常常有一定的高等数学背景，但不是考高等数学知识．即时接收信息并立即加以迁移是两个相关的要点． ③情景应用题：这是一类有现实情境、重视应用的题目要求考生通过文字语言、符号语言、图形语言、表格语言等创转换，揭示题目的本质属性，构建解决问题的数学模型．函数方程、数列、不等式、概率统计等主体内容是高考应用题建模的主要载体．阅读理解和数学建模是解题的两个关键． ④过程操作题：这是一类通过具体操作过程，从中获得不关数学结论的题目，可以用来考查三维目标中的“过程与方法”由于高考条件的限制，“经历过程”无法“动手实践”，只能是一些“语言描述的操作过程”，但有的描述和操作会有现实情境而不完全是数学内部的过程与操作． ⑤归纳(类比)猜想题：这是在观察相关数学情境的基础上，通过归纳或类比作出数学猜想的一类题目．本来，由归纳或类比作出的猜想可能对也可能错，但考试总是要求写出正确的猜想(学生中“有一定道理”的猜想可能会被判错)．应该说，这是一类探索中的题型． 案例：四川卷2012年理科第16题． 以记不超过实数的最大整数. 例如. 设a为正整数，数列满足，. 现有下列命题： ①当时, 数列的前3项依次为5，3，2； ②对数列都存在正整数，当总有； ③当时，； ④对某个正整数k，若，则. 其中的真命题有. (写出所有真命题的编号) 立意：本题考查数列的递推关系等基础知识，考查思维能力、阅读理解新信息材料的能力和创新意识． 解答：当时, 数列的前3项应该为5, 3, 2； 当时, 数列的项依次为，从第二项起，2和1交替出现(实际上当n≥1时，)，此时不存在正整数，使得时均有；显然，由于数列的每项都是整数，因此当时， 所以，时总有； 由得到，推出. 又可知，于是，所以(否则，与命题③矛盾). 答案为①③④. (2)部分试题中的“高等背景”、命题创新与教学处理 由于高考的首要任务是为高等院校选拔新生的，由于高考命题是以高校教师为主体的，为了给创新试题提供新鲜情景，为了考查学生继续深造的潜能，“试题在主体上考查中学数学的同时，体现进一步学习高等数学的需要”是很自然的．如递推数列，函数方程，函数不动点，微分中值定理，泰勒展开式，伯恩斯坦多项式，矩阵，数论同余，曲线相切等背景都出现过．但是，这些高等背景只是“考能力的载体”(考知识应是超纲的)，其解答只用到中学的知识与方法，所以，重要的是教学生“化归为课堂上已经解决的问题”、“化归为往年的高考题”．完全没有必要去做“高等数学补课”，“盲目提高教学要求”，补课、上高等数学内容只能加重学生负担，也不能解决问题． (3)新课程高考难度的把握 从各省市新课程卷的总体情况看，高考试题基本减轻了份量，纵向难度有所降低，理科难度系数达到0.55-0.65(难度系数0.6只不过是刚刚及格而已)，文科难度系数达到0.50-0.60.概括起来，基本原因如下： ①高考一年复习必须改变；(提供素质教育的导向) ②“减负等于加压”必须改变；(提供素质教育的导向) ③新教材体现了从“窄而深”到“宽而浅”的转变； ④高考录取率已有明显提高，高等教育逐渐体现出大众化趋势； ⑤高考对社会的影响．(稳定是第一位的，因而 高考命题宁易莫难) 纵观各地试题，难度系数都在0.2-0.9之间，多数题的难度系数在0.4-0.7之间(中档题为主体)．题目难度可以通过试做，参照往年同类题，和绝对难度分析(包括知识点的个数、运算步骤数、推理转折点个数、情景的新鲜度、陷阱个数、赋分方式等)得出． 从部分省、市的情况看，特别要降低微积分试题、低递推数列试题两类数学题的难度． 当然，高考命题降低难度不是要鼓励平庸，而是要腾出更多的空间来创新，浅而不俗、活而不难． (4) 大纲卷向课标卷高考的过渡 从已经进入课改省份的高考试题反映出来的基本规律是：以大纲为指导，以教材为依据，以平稳为中心． ①以考试大纲为指导，努力体现新课程改革的三维目标(以“知识与技能”为主干，兼顾“过程与方法”，体现“情感态度与价值观”)． ②以现行教材为依据，以稳定结构(试卷的结构，包括试卷的内容比例、题型比例、难度比例等)、降低难度为基本桥梁，实现旧大纲到新课标的平稳过渡．一般说来，试卷中易、中、难三种试题的比例为3:5:2(或4:4:2)，各种题型中易、中、难题目的比例分别为，选择题4:5:1(或4:6:0)，填空题4:4:2(或4:6:0)，解答题1:3:2(或0:4:2)，全卷20-24题，约28-30问，长度控制在2000个印刷符号，考生书写控制在3000个印刷符号以内． ③ 以稳定为中心，以师生满意、社会满意为基准(平稳为先，宁易莫难)．各地第一次的新课程卷，都充分注意到第一次使用新教材都必然有一个适应过程的实际，充分注意到了还有往届生没有学过选修课等实际，控制各部分的内容和难度设置比例． 教学教什么、怎么教 1 实施意见切合考纲，立足教材狠抓基础 发扬传统，继承经验，以课程标准为根本依据，根据《四川省数学学科教学指导意见》、《考试大纲》和《考试说明》，立足教材实施教学． (1) 正确认识和处理课程标准、现行教材、考试大纲的关系． 教育部课程编制的程序是这样的： ●基础教育课程改革纲要(试行)； ●普通高中课程方案(实验)； ●普通高中数学课程标准(实验)； ●高中数学教科书； ●普通高等学校招生全国统一考试大纲． (指导意见、教学基本要求) 由此可见，课标、考纲、教材有明显的上下位关系．从高考的角度看： ①以课程标准为准绳． 《纲要》第7 条中指出：国家课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据．就是说，课程标准具有法定的性质，是教材编写、教与学、课程管理与评价的法定依据，当然，高考命题也要以课程标准为准绳！ 《纲要》第15条指出：高等院校招生考试制度改革，应与基础教育课程改革相衔接，要按照有助于高等学校选拔人才、有助于中学实施素质教育、有助于扩大高等学校办学自主权的原则，加强对学生能力和素质的考查，改革高等学校招生考试内容，探索提供多次机会、双向选择、综合评价的考试、选拔方式．这指出了高考改革的方向和高考命题的原则． 考试中心多次在不同渠道提出：课程改革改到哪里，高考改革就改到哪里． ②以考试大纲（说明）为依据． 考试大纲是对考试性质、考试内容、考试形式的规定与说明．可以说，考试大纲把“考什么、怎么考”都回答了． 全国统一考试大纲是在课程标准的指导下编写的，“依纲不靠本”；各省的考试大纲说明既会考虑本省的学生实际，又会考虑本省的教材实际，“依纲靠本”（结合本省使用的教材）． 考试大纲的制定有利于克服考试工作中的盲目性，实现考试的科学化、标准化(包括限制命题的随意性)；也有利于考生复习备考，克服盲目性，减轻不必要的负担．可以说，考试大纲把“专家怎样命题”、“学生怎样应试”都回答了． ③以现行教材为根本． 教材是课程的载体，是课程标准所规定的课程目标、课程内容的具体化．因此高考命题“以课程标准为准绳”必然落实到“以现行教材为根本”． 在具体实践中可以看到：教材是考试内容的具体化；教材是中、低档试题的直接来源；体现高校选拔需要的高档题也是根据教材的基本内容、基本方法编拟的，只不过是在综合性和灵活性上提出了较高要求；教材是学生解题能力的基本生长点．试想，离开了课堂和课本学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验？ 离开了教材就离开了高考，问题在“怎样抓”，这个问题看似简单，实则复杂．高考复习的难度，在于如何用好教材；高考复习的成功，在于真正用好教材． 案例 2011高考四川卷第20题． 设d为非零实数， ()． (1) 写出并判断是否为等比数列．若是，给出证明；若不是, 说明理由； (2) 设()，求数列的前项和． 本题以数列为背景,考查等比数列和组合数的基础知识以及基本的计算能力，分析问题、解决问题的能力和化归与转化等数学思想. (1) 由已知可得． 当时, , (可以考虑展示过程： ) 因此 ． 由此可知，当时，是以d为首项，为公比的等比数列； 当时，，()，此时不是等比数列． (2) 由(Ⅰ)可知，，从而, . 即． ① 当时，． 当时，①式两边同乘得 ． ② ①，②式相减可得 ． 化简即得． 综上，． 这个问题植根于教材．其一，一个公式： (或者，注意到与之结构类似的第二册下第99页的例2：求证 ；或者，是该页的练习6)，暴露了我们对教材典型结论的不熟悉(当然，这个典型有点冷)．其二，一个方法：等比数列求和公式的推导及结论的分段表述． 高考试卷的解答问题，暴露了我们对定理、公式、性质推导过程中相关方法及思想的掌握所存在的问题． 我们应该关注的是：典型结论、结构的联想，公式逆用、错位相减的方法． (2)正确认识和处理高考复习教学与平时教学的关系． 从高考命题的角度审视，高考复习教学与平时教学的关系是： ①高考内容与教学内容(教材)是一致的． “是教什么就考什么，而不是考什么就教什么”，所以有高考命题以教材为依据的提法．如上所说，高考命题的依据是《考试大纲》，而《考试大纲》的依据是《课程标准》，教材是课程的载体和具体化，因此高考命题最具体、最方便的依据是教材． ②教学与考试是教育的两个不同过程．平时教学是学生从不知到知(或从知之较少到知之较多)、从能力较低到能力较高的一个学习过程，而高考只检验学生学习的结果，是对结果的一个评估过程．这是性质不同的两件事情． ③平时教学要面对全体学生，按教学规律进行，如果平常教学按高考水平来要求“ 考什么就教什么、怎么考就怎么教”，那是应试教育，不对的；而高考的基本任务是为高校选拔新生，必须在全体考生的成绩中“拉开距离”，高考试题的难度是由成绩前50％左右考生的水平决定的，所以高考复习要按考试规律进行，“考什么就练什么、怎么考就怎么练”没错． 做个比喻，如图，课本是整个瓶子，其结构易、中、难(由下而上)大致为6:3:1或7:2:1；高考试题内容就是瓶内的装物(空白部分)，其结构易、中、难(由下而上)大致为3:5:2．不抓瓶子就抓不住高考，但抓住瓶子却倒不出里面的装物，就是没有驾驭教材的能力，就是拿着书看不出里面的数学实质，就是“睁眼瞎”．因此， ●高考研讨的中心，应是如何用好教材； ●高考复习的难度，在于如何用好教材； ●高考复习的成功，在于真正用好教材． 案例 复习教学中教材运用例析． 1以《指导意见》为基本框架，整体认识教材体系，有机整合素材，注重挖掘联系，形成体系和网络 1.1 宏观上，整体把握教材体系 以5条主线统揽整体内容：函数与不等式、立体几何、解析几何、概率与统计、算法 案例：函数的单调性教材内容简析 课题：函数的单调性与最大(小)值． 过程：图象—最值意义—解决实际问题． 体现的方法和思想(编写意图、教材价值)：数形结合，概念迁移，新知获得，最值求法． 我们可以体会，体现的教材体系是什么？数学学习、掌握一般数学知识和方法的途径如何？ 单纯讨论这类问题已经没有意义：确定函数的单调区间． 在没有学习导数的时候，我们只能根据单调性的定义解决： 设定义域为D，x1，x2D，且x1查看更多