2018高考一轮复习导数专题

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2018高考一轮复习导数专题

‎2018高考复习导数题型分类解析 一.导数的概念 ‎1.导数的概念:‎ 函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)-f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f’(x)或y’|,即f(x)==。‎ 由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤:‎ ‎① 求函数的增量=f(x+)-f(x);② 求平均变化率=;‎ ‎③ 取极限,得导数f’(x)=。‎ 例1:若函数在区间内可导,且则 的值为( )‎ A. B. C. D.‎ 例2:若,则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.导数的意义:①物理意义:瞬时速率,变化率 ‎ ②几何意义:切线斜率 ‎ ③代数意义:函数增减速率 例3:已知函数,则的值为 .‎ 例4:已知,则 ‎ ‎3.导数的物理意义:‎ 如果物体运动的规律是s=s(t),那么该物体在时刻t的瞬间速度v=(t)。‎ 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=v′(t)。‎ 例5:一个物体的运动方程为其中的单位是米,的单位是秒,那么物体在秒末的瞬时速度是     ‎ 例6:汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是( )‎ s t O A.‎ s t O s t O s t O B.‎ C.‎ D.‎ 二:导数的运算 ‎1.基本函数的导数公式: ‎ ‎①(C为常数) ② ③; ④;⑤ ⑥; ⑦; ⑧.‎ 例7:下列求导运算正确的是 ( )‎ A. B.= ‎ C. D. ‎ 例8:若,则 ‎ 真题:‎ ‎1.已知,则为 ‎ ‎2:导数的运算法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),‎ 即: (‎ 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即:‎ 若C为常数,则 ‎.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: ‎ 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:(v0)。‎ ‎3.复合函数的导数 形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:‎ 分解——>求导——>回代。法则:y'|= y'| ·u'|或者.‎ 例10:(1)函数的导数是 ‎ ‎ (2)函数的导数是 ‎ 例11:;(2)‎ 真题:‎ ‎(2016年天津高考)已知函数为的导函数,则的值为__________.‎ 三:利用已知条件求原函数解析式中的参数 例12:已知多项式函数的导数,且,则=   .‎ 例13:已知函数,它的图象过点,且在处的切线方程为,则=      .‎ 四:切线相关问题 ‎ 1.已知曲线上的点求切线方程 例14:曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(  )‎ ‎ A.30° B.45° C.60° D.120°‎ 例15:设函数 (a,b∈Z),曲线在点处的切线方程为y=3.‎ ‎(1)求的解析式 ‎(2)证明:曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.‎ ‎2.已知曲线外的点求切线方程 例16:已知曲线,则过点,且与曲线相切的直线方程为   .‎ 例17:求过点(-1,-2)且与曲线相切的直线方程.‎ ‎3.已知切线方程的斜率或倾斜角求切线方程 例18:曲线在处的切线平行于直线,则点的坐标为( )‎ ‎ A. B. C.和 D.和 例19:若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 真题:‎ ‎1.(2016年全国III卷高考)已知为偶函数,当 时,,则曲线在点处的切线方程式_____________________________.‎ ‎2.(2017天津文)已知,设函数的图象在点处的切线为,则在轴上的截距为 .‎ ‎3.(2017新课标Ⅰ文数)曲线在点处的切线方程为_______.‎ ‎4.【2017年北京卷第20题】已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ 五:求函数的单调区间 ‎1.无参数的函数求单调性问题 例20:证明:函数在区间(0,2)上是单调递增函数.‎ 例21:确定函数的单调区间.‎ 真题:‎ ‎1.(2017山东理)若函数(是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 . ① ② ③ ④‎ ‎2.(2017天津理)已知奇函数在上是增函数,.若,,,则的大小关系为( )‎ ‎ ‎ ‎3.(2017新课标Ⅰ文数)已知函数,则( )‎ 在单调递增 在单调递减 的图像关于直线对称 的图像关于点对称 ‎2.含有参数的函数的单调性 例22:已知函数,求函数的单调区间。‎ 例23:已知函数,讨论f(x)的单调性.‎ 例25:【2015高考广东,理19】设,函数.‎ ‎ (1) 求的单调区间 ;‎ ‎ (2) 证明:在上仅有一个零点;‎ 例26:【2015高考江苏,19】已知函数.试讨论的单调性;‎ 例27:已知,讨论的单调性 真题:‎ ‎(2016年全国I卷高考)若函数在单调递增,则a的取值范围是 ‎(A)(B)(C)(D)‎ 六:结合单调性和极值求参数的取值范围 例28:已知函数在区间上是减函数,则的取值范围是 .‎ 例29:已知函数,函数在区间内存在单调递增区间,则的取值范围 .‎ 例30:已知函数,若函数在区间内单调递减,则的取值范围 .‎ 例31:已知函数若在[0,1]上单调递增,则a的取值范围 .‎ 例32:已知函数在R上有两个极值点,则实数的取值范围是 .‎ 例33:已知函数,若在上是单调函数,求实数的取值范围 例34:如果函数在区间单调递减,则mn的最大值为( )‎ ‎(A)16 (B)18 (C)25 (D)‎ 真题:‎ ‎【2015高考重庆】设函数 ‎(1)若在处取得极值,确定的值,并求此时曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)若在上为减函数,求的取值范围。‎ 七:恒成立问题及存在性成立问题 1. 转化为分离参数问题求最值问题 例35:已知函数,(1)若,求函数的单调区间和极值(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围 例36:已知函数.(1)求函数的单调区间和极值;(2)若,恒成立,求实数的取值范围 例37:已知函数在与时都取得极值,(1)求的值与函数的单调区间(2)若对,不等式恒成立,求的取值范围。‎ 例38:已知函数图象上一点处的切线斜率为,‎ 当时,不等式恒成立,求实数t的取值范围。‎ 例39:已知,当时,若对有恒成立,求实数的取值范围.‎ 例40:已知函数,在点处的切线方程为若对于区间上任意两个自变量的值,都有,求实数的最小值 例41:设函数.若存在的极值点满足 ‎,则m的取值范围是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【2015高考新课标2,理21】(本题满分12分)‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)证明:在单调递减,在单调递增;‎ ‎(Ⅱ)若对于任意,都有,求的取值范围.‎ ‎2.分离不开的转化为根的分布问题 例42:已知是函数的一个极值点,其中,当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.‎ 例43:已知函数在上为减函数,则m的取值范围为 .‎ 八:函数的极值最值问题 1. 不含参数的极值最值问题 例44:下列函数的极值:‎ ‎ (1); (2).‎ ‎45:函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若x=时,y=f(x)有极值.(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.‎ ‎2.含有参数的最值问题 例47:已知函数f(x)=(a>0),求函数在[1,2]上的最大值.‎ 例48:已知,求函数在[1,2]上的最大值.‎ 例49:设,函数.求的极值点 设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当a≠0时,求函数f(x)的极大值和极小值. 例50:已知.‎ ‎(1)当时,求上的值域; ‎ ‎(2)求函数在上的最小值;‎ 真题:‎ ‎(2017新课标Ⅱ理)若是函数的极值点,则的极小值为( ) ‎ ‎3.导函数的图像与函数极值的关系 例52:f(x)的导函数 的图象如右图所示,则f(x)的图象只可能是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 例53:函数的图像为( )‎ x y o ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎-2‎ ‎-2‎ x y o ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎-2‎ ‎-2‎ x y y ‎4‎ o ‎-4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ y x ‎-4‎ ‎-2‎ o ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ 例54:函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点 个数为 .‎ 例55:已知函数的图象如图所示(其中 是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是 ( )‎ 例56:已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如右,则(  )‎ A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点 B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点 C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点 D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点 例57:函数f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是 ( ) A.0<<<f(3)-f(2)B.0<<f(3)-f(2) < C.0<f(3)<<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<< 真题:‎ ‎1.(2017浙江)函数的导函数的图象如图所示,‎ 则函数的图象可能是( )‎ ‎2.【2017年新课标III卷第7题】函数y=1+x+的部分图像大致为 A. B. ‎ C. D.‎ 九:零点问题(转化为最值问题)‎ 例58:已知函数的图象与直线相切于点.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若函数有三个不同的零点,求c的取值范围.‎ 例:59:已知函数,在处取得极值,且在x=0处切线斜率为-3.‎ (1) 求函数的解析式.‎ ‎(2)若过点可作曲线的三条切线,求实数m的取值范围.‎ 例61:已知函数,曲线与有3个交点,求a的范围。‎ 例62:已知函数,,且在区间上为增函。(1)求实数的取值范围。(2)若函数与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.‎ 真题:‎ ‎1.(2017新课标Ⅲ文数)已知函数有唯一零点,则 ‎( ) ‎ ‎2.(2016年北京高考)设函数 ‎(I)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(II)设,若函数有三个不同零点,求c的取值范围;‎ ‎(III)求证:是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎ 九:优化问题:‎ ‎1.设计产品规格问题 x y 例63:如图在二次函数的图像与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个内接矩形的最大面积.‎ 例64:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?‎ ‎2.利润最大问题 例66:某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件. ‎(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式; ‎(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).‎ 例67:某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x(单位:元, )的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.‎ ‎(1)将一星期的商品销售利润表示成x的函数 ‎(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 十一:构造计算类题型:‎ 例68:对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )‎ A B ‎ C D ‎ 例69:函数在定义域R内可导,若,且当时,,设,的的大小关系为 .‎ 例70:设f(x)、g(x)分别是定义在R()上的奇函数和偶函数,当x<0时,>0.且.则不等式的解集是 ‎ 例71:函数的定义域为R,,对任意,则的解集为 .‎ 例72:是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足,对任意正数a、b,若,则必有( )‎ A. B. C. D. ‎ 例73:已知对恒成立,则下列式子一定正确的是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.不确定 ‎【2015高考新课标2,理12】设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【2015高考新课标1,理12】设函数=,其中a1,若存在唯一的整数,使得0,则的取值范围是( )‎ ‎(A)[-,1) (B)[-,) (C)[,) (D)[,1)‎ ‎【2015高考福建,理10】若定义在上的函数 满足 ,其导函数 满足 ,则下列结论中一定错误的是( )‎ A. B. C. D. ‎ 十二:导数综合问题(不等式及函数综合)‎ 例74:已知二次函数的导数为,,对于任意实数都有,则的最小值为 .‎ 例76:证明下列不等式:‎ ‎(1)已知:,求证;‎ ‎(2)已知:,求证:。‎ 例77:求证下列不等式 ‎(1) (相减)‎ ‎(2) (相除)‎ ‎(3) ‎ 例78:已知函数,‎ ‎(1)求函数的最大值;‎ ‎(2)当时,求证:‎ 十三:定积分问题:‎ ‎1.求简单函数的定积分 例79:求下列函数的定积分:‎ ‎(1); (2); (3);‎ ‎2.求分段函数的定积分 例80:求函数在区间[0,3]上的定积分.‎ 例81:求定积分:(1); (2)‎ ‎ ‎ ‎3.用定积分求平面图形的面积 例82:求曲线与所围成的图形的面积.‎ 例83:求由抛物线所围成的图形的面积 例84:求正弦曲线和直线及x轴所围成的平面图形的面积.‎ 例85:求由曲线所围成的图形的面积 例86:曲线所围成的图型的面积为 ‎ 例87:的值为 ‎ 例88:的值为 ‎
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