2011届高考理科数学第三轮复习精编模拟三
2011届高考理科数学第三轮复习精编模拟三
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径
第一部分 选择题（共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、设集合和都是自然数集合，映射把集合中的元素映射到集合中的元素，则在映射下，象20的原象是 （ ）
2、已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜＋3|= （ ）
A． B C． D．4
3、向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是 ( )
4、若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（ ）
A．（1， B．（0， C．[，] D．（，
5、原市话资费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟资费为0.22元，超过3
分钟的，每分钟按0.11元计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率（ ）
A．不会提高70% B．会高于70%，但不会高于90%
C．不会低于10% D．高于30%，但低于100%
6、已知{an}是等差数列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7、设a,b是满足ab<0的实数，那么 （ ）
A．|a+b|>|a－b| B．|a+b|<|a－b|
C．|a－b|<|a|－|b| D．|a－b|<|a|+|b|
8、棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
9、给定四条曲线：①，②，③，④,其中与直线仅有一个交点的曲线是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
10、定义函数，若存在常数C，对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在D上的均值为C。已知，则函数上的均值为（ ）
A、 B、 C、 D、10
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．
11、不等式的解集是______。
12、已知0
1，排除B,C,D，故应选A。
5：取x＝4，y＝·100%≈－8.3%，排除C、D；取x＝30，y ＝ ·100%≈77.2%，排除A，故选B。
3
5
7
O
n
6：等差数列的前n项和Sn=n2+(a1-)n可表示为过原点的抛物线，又本题中a1=-9<0, S3=S7,可表示如图，由图可知，n=,是抛物线的对称轴，所以n=5是抛物线的对称轴，所以n=5时Sn最小，故选B。
7：∵A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B为真，故选B。
8：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半径，从而求出球的表面积为，故选A。
9：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线是相交的，因为直线上的点在椭圆内，对照选项故选D。
10：，从而对任意的，存在唯一的
，使得为常数。充分利用题中给出的常数10，100。令,当时，，由此得故选A。
二．填空题：11、； 12、； 13、；
14、； 15、；
解析：11：不等式等价于，也就是，所以，从而应填．
12： ，不论的值如何，与同号，所以
13：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆的圆心的距离不超过半径，∴。
14.解：由正弦定理得即，∴所求直线的极坐标方程为.
15.解：即，
三．解答题：
16．解：(Ⅰ)函数 要有意义需满足：即
，解得， …………………………………3分
函数要有意义需满足，即，
解得或 …………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，
，………………………12分
17.解：（I）因为是等比数列，
又…………………………………………2分
∴是以a为首项，为公比的等比数列.………………………………6分
（II）（I）中命题的逆命题是：若是等比数列，则也是等比数列，是假命题.
……………………………………………………………8分
设的公比为则
又
是以1为首项，q为公比的等比数列，
是以为首项，q为公比的等比数列.……………………10分
即为1，a，q，aq，q2，aq2，…
但当q≠a2时，不是等比数列
故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分
另解：取a=2，q=1时，
因此是等比数列，而不是等比数列.
故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分
18.解：（1）设选对一道“可判断２个选项是错误的”题目为事件A，“可判断１个选项是错误的”该题选对为事件B，“不能理解题意的”该题选对为事件C.则---
所以得４０分的概率………………………………4分
(2) 该考生得20分的概率=……………………5分
该考生得25分的概率：
= ……………………6分
该考生得30分的概率：== --------------7分
该考生得35分的概率：
= ……………………9分
∵ ∴该考生得25分或30分的可能性最大………………………………11分
（3）该考生所得分数的数学期望=
………………………………14分
19．解：（Ⅰ）由知圆心C的坐标为--------------（1分）
∵圆C关于直线对称
∴点在直线上 -----------------（2分）
即D+E=－2，------------①且-----------------②-----------------（3分）
又∵圆心C在第二象限 ∴ -----------------（4分）
由①②解得D=2,E=－4 -----------------（5分）
∴所求圆C的方程为： ------------------（6分）
（Ⅱ）切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设： -----------（7分）
圆C:
圆心到切线的距离等于半径，
即
。 ------------------（12分）
所求切线方程 ------------------（14分）
20．（Ⅰ）证明：在正方体中，∵平面∥平面
平面平面，平面平面
A
B
CD
D
E
F
G
A1
B1
C1
x
y
z
∴∥.-------------------------------------3分
（Ⅱ）解：如图，以D为原点分别以DA、DC、DD1为
x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有
D1（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），
∴，
设平面的法向量为
则由，和，得，
取，得，，∴ ------------------------------6分
又平面的法向量为（0，0，2）
故；
∴截面与底面所成二面角的余弦值为. ------------------9分
（Ⅲ）解：设所求几何体的体积为V，
∵～，，，
∴，，
∴，
--------------------------11分
故V棱台
∴V=V正方体-V棱台. ------------------14分
21．解：（Ⅰ）由题意，在[]上递减，则解得
所以，所求的区间为[-1，1] ………………………4分
（Ⅱ）取则，即不是上的减函数。
取，
即不是上的增函数
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。-------9分
（Ⅲ）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[]，即，为方程的两个实数根，
即方程有两个不等的实根。
当时，有，解得。
当时，有，无解。
综上所述，---------------------------------------------14分
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