高考数学大一轮复习 双曲线及其性质试题 理含模拟试题

高考数学大一轮复习 双曲线及其性质试题 理含模拟试题

‎2015届高考数学大一轮复习 双曲线及其性质精品试题 理（含2014模拟试题）‎ ‎1.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，8) 已知双曲线, 则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于(       )‎ A.       ‎ B.   ‎ C. 2       ‎ D. 4‎ ‎[解析] 1.  双曲线的方程为，由此可得双曲线的离心率. 双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比即为该双曲线的离心率，故所求值为2.‎ ‎2. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，12) 已知双曲线，过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（  ） ‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　　　D． ‎ ‎[解析] 2.  令. 由双曲线的性质可得，也即以为直径的圆的半径为，而右顶点与左焦点的距离为a+c，由题意可知，整理得，两边同除，，解得或，又因为双曲线的离心率大于1，可得 ‎.‎ ‎3. (2014山西太原高三模拟考试（一），9) 设P在双曲线上，F1，F2 是该双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且DF1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是(   ) ‎ A. 2‎ B. 3‎ C. 4‎ D. 5‎ ‎[解析] 3.  不妨设点P在双曲线的右支，设、、，则根据双曲线的定义可得①，根据题意可得②、③，由①②得，代入到③中得，两边同除得，又因为e＞1，所以可得e=5.‎ ‎4. (2014福州高中毕业班质量检测, 8) 已知、是双曲线() 的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心为 (    ) ‎ A.        ‎ B.             ‎ C.             ‎ D. 2  ‎ ‎[解析] 4.  依题意，过焦点且垂直于渐近线的直线方程为，‎ 联立方程组，解得，所以对称中心的点的坐标为，‎ 由中点坐标公式得对称点的坐标为代入双曲线方程可得 ‎，又因为，化简得，故.‎ ‎5.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（   ）‎ ‎  A.             B. ‎ ‎  C.             D. ‎ ‎[解析] 5.  因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴 上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.‎ ‎6. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），12) 已知双曲线的左右焦点分别为，，点为坐标原点，点 在双曲线右支上，内切圆的圆心为, 圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，则与的长度依次为(    )‎ ‎    A.          B.            C.            D. ‎ ‎[解析] 6.设的内切圆与分别相切于点、,‎ 那么：, , 。由双曲线的定义：,‎ 所以. 设点，则，‎ 所以，即.‎ 延长交于点C，在中，既是角平分线又是垂线，‎ 所以.‎ 所以在中，=. 选A .‎ ‎7. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，9) 已知、是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（    ）‎ ‎  A. ‎ B.         ‎ C.           ‎ D.  ‎ ‎[解析] 7.  依题意，，，一条渐近线的方程为，则到渐近线的距离为，设关于渐近线的对称点为，交渐近线于，所以，‎ 所以，即.‎ ‎8. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，10) 双曲线左支上一点到直线=的距离为 , 则（    ）‎ A. ‎ B. 2　　            ‎ C. ‎ D. 4‎ ‎[解析] 8.  由已知可得 ，，所以（舍）或，从而，故，选A.‎ ‎9. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 12) 双曲线的左、右焦点分别为，, 过左焦点作圆的切线，切点为，直线 交双曲线右支于点. 若，则双曲线的离心率是（    ）‎ ‎[解析] 9.由已知可知，且是的中点，所以，从而，在中，，故.‎ ‎10. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，4）双曲线的焦点到渐近线的距离为（）‎ A. 2          ‎ B. 4‎ C. 1       ‎ D. 3     ‎ ‎[解析] 10.  双曲线的焦点为，渐近线为，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为.‎ ‎11. (2014北京东城高三第二学期教学检测，7) 已知抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点, 若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（    ）‎ A.  ‎ B.           ‎ C.   ‎ D. ‎ ‎[解析] 11.  由已知可得抛物线的焦点，双曲线的右焦点为，两个点连线的直线方程为。设该直线与抛物线于，则在处的切线的斜率为，由题意知，所以，所以，代入直线方程可解得 ‎12. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，11) 设、、是双曲线上不同的三个点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为（    ）‎ A. ‎ B. ‎ C.   ‎ D. ‎ ‎[解析] 12.  根据双曲线的对称性可知，、关于原点对称，设，，，‎ 则，，所以，‎ 所以该双曲线的离心率为.‎ ‎13. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，9) 如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（     ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎[解析] 13.  设，，因为点在椭圆上，‎ 所以，即，又四边形为矩形，‎ 所以，即，‎ 解方程组得，，‎ 设双曲线的实轴长为，焦距为，则，，‎ 所以双曲线的离心率为.‎ ‎14. (2014广西桂林中学高三2月月考，11) 已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（    ）‎ ‎(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D) ‎ ‎[解析] 14.  依题意，双曲线的焦点为，，所以，所以三角形的高为，，则中点代入曲线方程得，又因为，化简整理的，解得，而，所以.‎ ‎15.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，6）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为（ ）‎ ‎  A．　　         B．　　       C．　　        D．5‎ ‎[解析] 15.  双曲线的一条渐近线方程为y=，即，由题意可得圆的圆心为（3,0）到直线的距离等于2，即，解得a=，所以该双曲线的离心率为.‎ ‎16. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，6) 过双曲线的左焦点作圆的两条切线，切点分别为、，双曲线左顶点为，若，则该双曲线的离心率为  （   ）‎ A.             ‎ B.             ‎ C. 　　 ‎ D.  ‎ ‎[解析] 16.  即为双曲线的渐近线，为等边三角形，直线的倾斜角为，所以， . 选D.‎ ‎17.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 8) 已知双曲线的一条渐近线与曲线相切，且右焦点F为抛物线的焦点，则双曲线的标准方程为(  )‎ ‎ (A)      (B)      (C)      (D) ‎ ‎[解析] 17.  抛物线的焦点为（5,0）. 设曲线与双曲线的一条渐近线为相切与点，则根据导数的几何意义可知，解得，所以切点为（2,1），所以，又因为，所以可得，所以双曲线方程为.‎ ‎18.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，11) 已知直线与双曲线交于，‎ 两点(，在同一支上), 为双曲线的两个焦点, 则在（  ）‎ A．以，为焦点的椭圆上或线段的垂直平分线上  ‎ B．以，为焦点的双曲线上或线段的垂直平分线上 C．以为直径的圆上或线段的垂直平分线上 D．以上说法均不正确 ‎[解析] 18.  当直线垂直于实轴时，则易知在的垂直平分线上；当直线不垂直于实轴时，不妨设双曲线焦点在轴，分别为双曲线的左、右焦点，且、都在右支上，由双曲线定义：，，则，由双曲线定义可知，在以、为焦点的双曲线上，故选 ‎19.(2014湖北武汉高三2月调研测试，10) 如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为 ‎                             ‎ ‎[解析] 19.  分别过点作的垂线，垂足分别为，连结, 设,‎ 则＝, 等腰梯形的周长,‎ 令则，所以， ，‎ 所以，当即 ，  ,‎ 此时，  ,‎ 因为为双曲线的焦点，点在双曲线上，所以实轴长. 故选D.‎ ‎20.(2014湖北八市高三下学期3月联考，9) 己知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为(    )‎ ‎ A．+1　　    B．2　　    C．　　    D．－1‎ ‎[解析] 20.  由题意得抛物线上的点在双曲线上，而，所以点在双曲线上，因此又因为，所以.‎ ‎21. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 6) 已知是双曲线的两个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一个公共点是，若 则双曲线的离心率是（    ）‎ ‎   A.     　　 ‎ B.  　　　　    ‎ C.  　　　　 ‎ D.  ‎ ‎[解析] 21.   由题意，，设，，，，‎ ‎，.‎ ‎22. (2014天津七校高三联考, 6) 以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（      ）‎ ‎（A）　　（B）‎ ‎（C）　　（D）‎ ‎[解析] 22.   由双曲线方程知，实轴长为6，离心率，右焦点坐标，即圆心的坐 标，渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，即圆的半径为4，‎ 故所求的圆的方程为.‎ ‎23. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 11) 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）‎ A.        ‎ B.     ‎ C.      ‎ D. ‎ ‎[解析] 23.椭圆：与双曲线有相同的焦点，，‎ ‎，解得，‎ 椭圆的离心率，又，‎ 故椭圆的离心率的取值范围是.‎ ‎24. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 11) 已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上 的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，‎ 若为双曲线的离心率，则()‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 与关系不确定 ‎[解析] 24.设内切圆与的切点分别为, 设则，又, 所以，从而，，即。延长交于点，因为是角平分线和的垂线，所以 是等腰三角形, 故且是中点。所以。‎ ‎25.(2014兰州高三第一次诊断考试, 8) 已知双曲线 的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（   ）‎ A．      B．       C．       D．‎ ‎[解析] 25.  依题意，，解得，，双曲线方程为.‎ ‎26. (2014湖北黄冈高三期末考试) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于、两点，为坐标原点，的面积为，则双曲线的离心率（    ）‎ A.          ‎ B.        ‎ C.         ‎ D.   ‎ ‎[解析] 26.双曲线的性质. 双曲线的渐近线方程为，准线方程为，又，即，，解得.‎ ‎27. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，15) 双曲线的左右焦点为，P是双曲线左支上一点，满足相切，则双曲线的离心率为________. ‎ ‎[解析] 27.  设与圆相切于点，因为，所以是等腰三角形，‎ 从而. 在中，，故，. 由双曲线定义得，所以，平方后化简可算得.‎ ‎28.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，12）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为           .‎ ‎[解析] 28.  双曲线的一条渐近线方程为，焦点到该渐近线的距离为，又因为OF的线段长为c，所以可得原点与垂足之间的距离为a，又因为垂足恰在线段为坐标原点）的垂直平分线上可得a=b，所以双曲线的离心率为.‎ ‎29.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 5) 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为   ▲   ．‎ ‎[解析] 29.  双曲线的焦点在轴上，一条渐近线为，，又，‎ ‎，.‎ ‎30. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 15) 已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数_________. ‎ ‎[解析] 30.由已知可得，从而. 因为，所以 ‎，从而渐近线的斜率为，故，得.‎ ‎31. (2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 9) 设双曲线的半焦距为，直线过两点，若原点到的距离为，则双曲线的离心率为（    ）‎ ‎    A .            B.        C.         D.    ‎ ‎[解析] 31.  由题意，直线的方程为，，原点到直线的距离为，，解得或.‎ ‎32. (2014广东广州高三调研测试，21) 如图，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为. ‎ 过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下依次为，.‎ ‎(Ⅰ) 若与的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ) 求的最大值.‎ ‎[解析] 32.解：(Ⅰ) 因为双曲线方程为，‎ 所以双曲线的渐近线方程为.‎ 因为两渐近线的夹角为且，所以.‎ 所以.‎ 所以.‎ 因为，所以，[‎ ‎]所以，.‎ 所以椭圆的方程为. （4分）‎ ‎(Ⅱ) 因为，所以直线与的方程为，其中.‎ 因为直线的方程为，‎ 联立直线与的方程解得点.‎ 设，则. （7分）‎ 因为点，设点，‎ 则有.‎ 解得，.‎ 因为点在椭圆上，‎ 所以.‎ 即.‎ 等式两边同除以得（10分）‎ 所以，‎ ‎.‎ 所以当，即时，取得最大值.‎ 故的最大值为. （14分）‎ ‎33. （2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，21）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点D(0,) 为圆心，1为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与D关于直线y=x对称．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（－2，0）及AB的中点，求直线在y轴上的截距b的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，F‎1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．‎ ‎[解析] 33.（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx－y=0，‎ ‎∵该直线与圆x2+(y－) 2=1相切，有= 1 Þk =±1.‎ ‎∴双曲线C的两条渐近线方程为, 故设双曲线C的方程为．‎ 易求得双曲线C的一个焦点为 (, 0) ，∴，．‎ ‎∴双曲线C的方程为．（4分）‎ ‎（Ⅱ）由得．‎ 令，‎ 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程在上有两个不等实根．‎ 因此　解得．‎ 又的中点为，所以直线的方程为，‎ 令，得，‎ 因为，所以，‎ 所以.      （9分）‎ ‎（Ⅲ）若点在双曲线的右支上，则延长到，使，‎ 若点在双曲线的左支上，则延长到，使，‎ 根据双曲线的定义，，所以点在以为圆心，2为半径的圆上，即点的轨迹是①‎ 由于点是线段的中点，设，，‎ 则，即，代入①并整理，‎ 即得点N的轨迹方程为．(x ≠ －) .     （12分）‎ ‎(或者用几何意义得到| NO |=| F2T |=1, 得点N的轨迹方程为).‎ ‎34.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，20）已知双曲线C：的焦距为，其一条渐近线的倾斜角为，且．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E．‎ ‎   　( I ) 求椭圆E的方程；‎ ‎   　(Ⅱ) 设点A是椭圆E的左顶点，P、Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为，问直线PQ是否恒过定点? 若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．‎ ‎[解析] 34.‎ ‎35. (2014广州高三调研测试, 21) 如图7，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为. 过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下依次为，. ‎ ‎（1）若与的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎[解析] 35.  （1）因为双曲线方程为，‎ 所以双曲线的渐近线方程为.‎ 因为两渐近线的夹角为且，所以.‎ 所以.‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 所以，.‎ 所以椭圆的方程为.　　   （4分）‎ ‎（2）因为，所以直线与的方程为，其中.‎ 因为直线的方程为，‎ 联立直线与的方程解得点.‎ 设，则.‎ 因为点，设点，‎ 则有.‎ 解得，.             （8分）‎ 因为点在椭圆上，‎ 所以.‎ 即.‎ ‎   等式两边同除以得，‎ ‎，‎ 当，即时，取最大值.‎ 故的最大值为.          （14分）‎ 答案和解析 理数 ‎[答案] 1.  C ‎[解析] 1.  双曲线的方程为，由此可得双曲线的离心率. 双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比即为该双曲线的离心率，故所求值为2.‎ ‎[答案] 2.  A ‎[解析] 2.  令. 由双曲线的性质可得，也即以为直径的圆的半径为，而右顶点与左焦点的距离为a+c，由题意可知，整理得，两边同除，，解得或，又因为双曲线的离心率大于1，可得.‎ ‎[答案] 3.  D ‎[解析] 3.  不妨设点P在双曲线的右支，设、、，则根据双曲线的定义可得①，根据题意可得②、③，由①②得，代入到③中得，两边同除得，又因为e＞1，所以可得e=5.‎ ‎[答案] 4.  B ‎[解析] 4.  依题意，过焦点且垂直于渐近线的直线方程为，‎ 联立方程组，解得，所以对称中心的点的坐标为，‎ 由中点坐标公式得对称点的坐标为代入双曲线方程可得 ‎，又因为，化简得，故.‎ ‎[答案] 5.  D ‎[解析] 5.  因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴 上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.‎ ‎[答案] 6.  A ‎ ‎[解析] 6.设的内切圆与分别相切于点、,‎ 那么：, , 。由双曲线的定义：,‎ 所以. 设点，则，‎ 所以，即.‎ 延长交于点C，在中，既是角平分线又是垂线，‎ 所以.‎ 所以在中，=. 选A .‎ ‎[答案] 7.  C ‎[解析] 7.  依题意，，，一条渐近线的方程为，则到渐近线的距离为，设关于渐近线的对称点为，交渐近线于，所以，‎ 所以，即.‎ ‎[答案] 8.  A ‎ ‎[解析] 8.  由已知可得 ，，所以（舍）或，从而，故，选A.‎ ‎[答案] 9.C ‎[解析] 9.由已知可知，且是的中点，所以，从而，在中，，故.‎ ‎[答案] 10.C ‎ ‎[解析] 10.  双曲线的焦点为，渐近线为，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为.‎ ‎[答案] 11.D ‎[解析] 11.  由已知可得抛物线的焦点，双曲线的右焦点为 ‎，两个点连线的直线方程为。设该直线与抛物线于，则在处的切线的斜率为，由题意知，所以，所以，代入直线方程可解得 ‎[答案] 12.  A ‎[解析] 12.  根据双曲线的对称性可知，、关于原点对称，设，，，‎ 则，，所以，‎ 所以该双曲线的离心率为.‎ ‎[答案] 13.D ‎[解析] 13.  设，，因为点在椭圆上，‎ 所以，即，又四边形为矩形，‎ 所以，即，‎ 解方程组得，，‎ 设双曲线的实轴长为，焦距为，则，，‎ 所以双曲线的离心率为.‎ ‎[答案] 14.  C ‎[解析] 14.  依题意，双曲线的焦点为，，所以，所以三角形的高为，，则中点代入曲线方程得，又因为，化简整理的，解得，而，所以.‎ ‎[答案] 15.  B ‎[解析] 15.  双曲线的一条渐近线方程为y=，即，由题意可得圆的圆心为（3,0）到直线的距离等于2，即，解得a=，所以该双曲线的离心率为.‎ ‎[答案] 16.  D ‎[解析] 16.  即为双曲线的渐近线，为等边三角形，直线的倾斜角为，所以， . 选D.‎ ‎[答案] 17.  A ‎[解析] 17.  抛物线的焦点为（5,0）. 设曲线与双曲线的一条渐近线为相切与点，则根据导数的几何意义可知，解得，所以切点为（2,1），所以，又因为 ‎，所以可得，所以双曲线方程为.‎ ‎[答案] 18.  ‎ ‎[解析] 18.  当直线垂直于实轴时，则易知在的垂直平分线上；当直线不垂直于实轴时，不妨设双曲线焦点在轴，分别为双曲线的左、右焦点，且、都在右支上，由双曲线定义：，，则，由双曲线定义可知，在以、为焦点的双曲线上，故选 ‎[答案] 19.  D ‎[解析] 19.  分别过点作的垂线，垂足分别为，连结, 设,‎ 则＝, 等腰梯形的周长,‎ 令则，所以， ，‎ 所以，当即 ，  ,‎ 此时，  ,‎ 因为为双曲线的焦点，点在双曲线上，所以实轴长. 故选D.‎ ‎[答案] 20.  A ‎[解析] 20.  由题意得抛物线上的点在双曲线上，而，所以点在双曲线上，因此又因为，所以.‎ ‎[答案] 21.  B ‎[解析] 21.   由题意，，设，，，，‎ ‎，.‎ ‎[答案] 22.  D ‎[解析] 22.   由双曲线方程知，实轴长为6，离心率，右焦点坐标，即圆心的坐 标，渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，即圆的半径为4，‎ 故所求的圆的方程为.‎ ‎[答案] 23.  A ‎[解析] 23.椭圆：与双曲线有相同的焦点，，‎ ‎，解得，‎ 椭圆的离心率，又，‎ 故椭圆的离心率的取值范围是.‎ ‎[答案] 24.C ‎[解析] 24.设内切圆与的切点分别为, 设则，又, 所以，从而，，即。延长交于点，因为是角平分线和的垂线，所以是等腰三角形, 故且是中点。所以。‎ ‎[答案] 25.  C ‎[解析] 25.  依题意，，解得，，双曲线方程为.‎ ‎[答案] 26.   C ‎[解析] 26.双曲线的性质. 双曲线的渐近线方程为，准线方程为，又，即，，解得.‎ ‎[答案] 27.‎ ‎[解析] 27.  设与圆相切于点，因为，所以是等腰三角形，‎ 从而. 在中，，故，‎ ‎. 由双曲线定义得，所以，平方后化简可算得.‎ ‎[答案] 28.  ‎ ‎[解析] 28.  双曲线的一条渐近线方程为，焦点到该渐近线的距离为，又因为OF的线段长为c，所以可得原点与垂足之间的距离为a，又因为垂足恰在线段为坐标原点）的垂直平分线上可得a=b，所以双曲线的离心率为.‎ ‎[答案] 29.  ‎ ‎[解析] 29.  双曲线的焦点在轴上，一条渐近线为，，又，‎ ‎，.‎ ‎[答案] 30.‎ ‎[解析] 30.由已知可得，从而. 因为，所以，从而渐近线的斜率为，故，得.‎ ‎[答案] 31.  A ‎[解析] 31.  由题意，直线的方程为，，原点到直线的距离为，，解得或.‎ ‎[答案] 32.查看解析 ‎[解析] 32.解：(Ⅰ) 因为双曲线方程为，‎ 所以双曲线的渐近线方程为.‎ 因为两渐近线的夹角为且，所以.‎ 所以.‎ 所以.‎ 因为，所以，[‎ ‎]所以，.‎ 所以椭圆的方程为. （4分）‎ ‎(Ⅱ) 因为，所以直线与的方程为，其中.‎ 因为直线的方程为，‎ 联立直线与的方程解得点.‎ 设，则. （7分）‎ 因为点，设点，‎ 则有.‎ 解得，.‎ 因为点在椭圆上，‎ 所以.‎ 即.‎ 等式两边同除以得（10分）‎ 所以，‎ ‎.‎ 所以当，即时，取得最大值.‎ 故的最大值为. （14分）‎ ‎[答案] 33.查看解析 ‎[解析] 33.（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx－y=0，‎ ‎∵该直线与圆x2+(y－) 2=1相切，有= 1 Þk =±1.‎ ‎∴双曲线C的两条渐近线方程为, 故设双曲线C的方程为．‎ 易求得双曲线C的一个焦点为 (, 0) ，∴，．‎ ‎∴双曲线C的方程为．（4分）‎ ‎（Ⅱ）由得．‎ 令，‎ 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程在上有两个不等实根．‎ 因此　解得．‎ 又的中点为，所以直线的方程为，‎ 令，得，‎ 因为，所以，‎ 所以.      （9分）‎ ‎（Ⅲ）若点在双曲线的右支上，则延长到，使，‎ 若点在双曲线的左支上，则延长到，使，‎ 根据双曲线的定义，，所以点在以为圆心，2为半径的圆上，即点的轨迹是①‎ 由于点是线段的中点，设，，‎ 则，即，代入①并整理，‎ 即得点N的轨迹方程为．(x ≠ －) .     （12分）‎ ‎(或者用几何意义得到| NO |=| F2T |=1, 得点N的轨迹方程为).‎ ‎[答案] 34.查看解析 ‎[解析] 34.‎ ‎[答案] 35.查看解析 ‎[解析] 35.  （1）因为双曲线方程为，‎ 所以双曲线的渐近线方程为.‎ 因为两渐近线的夹角为且，所以.‎ 所以.‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 所以，.‎ 所以椭圆的方程为.　　   （4分）‎ ‎（2）因为，所以直线与的方程为，其中.‎ 因为直线的方程为，‎ 联立直线与的方程解得点.‎ 设，则.‎ 因为点，设点，‎ 则有.‎ 解得，.             （8分）‎ 因为点在椭圆上，‎ 所以.‎ 即.‎ ‎   等式两边同除以得，‎ ‎，‎ 当，即时，取最大值.‎ 故的最大值为.          （14分）‎