文数高考专题10——等差数列与等比数列

文数高考专题10——等差数列与等比数列

‎1.【2017浙江，6】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>‎0”‎是“S4 + S6>2S‎5”‎的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【考点】 等差数列、充分必要性 ‎【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故为充要条件．‎ ‎2.【2015高考新课标1，文7】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎∵公差，，∴，解得=，∴，故选B.‎ ‎【考点定位】等差数列通项公式及前n项和公式 ‎【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.学！‎ ‎3.【2014高考重庆文第2题】在等差数列中,，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B 试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，‎ 所以，.故选B.‎ 考点：等差数列通项公式.‎ ‎【名师点睛】本题考查了等差数列的概念与通项公式，本题属于基础题，利用下标和相等的两项的和相等更能快速作答.‎ ‎4. 【2014天津，文5】设是首项为，公差为的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ）‎ A.2 B.‎-2 C. D .‎ ‎【答案】D 考点：等比数列 ‎【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，本题属于基础题，利用等差数列的前项和公式表示出然后依据成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前项和公式通过列方程或方程组就可以解出.‎ ‎5. 【2014辽宁文9】设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 试题分析：由已知得，，即，，又，‎ 故，从而，选C．‎ ‎【考点定位】1、等差数列的定义；2、数列的单调性．‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等，解答本题的关键，是写出等差数列的通项，利用是递减数列，确定得到，得到结论.‎ 本题是一道基础题.在考查等差数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.‎ ‎6. 【2015新课标2文5】设是等差数列的前项和,若,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【考点定位】本题主要考查等差数列的性质及前n项和公式的应用.‎ ‎【名师点睛】本题解答过程中用到了的等差数列的一个基本性质即等差中项的性质,利用此性质可得高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.‎ ‎7. 【2015新课标2文9】已知等比数列满足,,则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】C 试题分析：由题意可得,所以 ,故 ,选C.‎ ‎【考点定位】本题主要考查等比数列性质及基本运算.‎ ‎【名师点睛】解决本题的关键是利用等比数列性质 得到一个关于 ‎ 的一元二次方程,再通过解方程求的值,我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.学#‎ ‎8.【2014全国2，文5】等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．‎ ‎【考点定位】1.等差数列；2.等比数列.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项的概念，等差数列的前n项和公式，本题属于基础题，解决本题的关健在于熟练掌握相应的公式.‎ ‎9.【2015高考广东，文13】若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】等比中项．‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是等比中项，属于容易题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念，即若，，成等比数列，则称为与的等比中项，即．‎ ‎10. 【2014高考广东卷.文.13】等比数列的各项均为正数,且,‎ 则 .‎ ‎【答案】.‎ 由题意知,且数列的各项均为正数,所以,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎【考点定位】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算,属于中等偏难题.‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的性质和对数的基本运算，属于中等偏难题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比数列的性质和对数的基本运算，即等比数列中，若（、、、），则，（，，，）．‎ ‎11.【2015高考新课标1，文13】数列中为的前n项和，若，则 .‎ ‎【答案】6‎ 考点：等比数列定义与前n项和公式 ‎【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算.‎ ‎12.【2015高考浙江，文10】已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ， ．‎ ‎【答案】‎ 由题可得，，故有，又因为，‎ 即，所以.‎ ‎【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以及等比中项的性质，建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题，主要考查学生正确运算的能力.‎ ‎13. 【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________‎ ‎【答案】5‎ 若这组数有个，则，，又，所以；‎ 若这组数有个，则，，又，所以；‎ 故答案为5‎ ‎【考点定位】等差数列的性质.‎ ‎【名师点睛】1.本题考查等差数列的性质，这组数字有可能是偶数个，也有可能是奇数个.然后利用等差数列性质.2.本题属于基础题，注意运算的准确性.‎ ‎14.【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= ▲ .‎ ‎【答案】32‎ ‎【考点】等比数列通项 ‎【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ ‎15.【2017课标1，文17】记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解+析．‎ 试题分析：（1）由等比数列通项公式解得，；（2）利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．‎ 试题详细分析：（1）设的公比为．由题设可得 ，解得，．‎ 故的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）可得．‎ 由于，‎ 故，，成等差数列．‎ ‎【考点】等比数列 ‎【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．‎ ‎16.【2017课标II，文17】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， ‎ ‎(1)若 ，求的通项公式；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）bn‎=‎‎2‎n+1‎；（Ⅱ）当q=-5‎时，‎ S‎3‎=21‎.当q=4‎时，‎ S‎3‎=-6‎.‎ 试题详细分析：（1）设‎{an}‎的公差为d，‎{bn}‎的公比为q，则,‎ bn=‎qn-1‎.由a‎2‎‎+b‎2‎=2‎得 d+q=3. ①‎ （1） 由a‎3‎‎+b‎3‎=5‎得‎2d+q‎2‎=6‎ ②‎ 联立①和②解得d=3‎q=0‎（舍去）， 因此‎{bn}‎的通项公式bn‎=‎‎2‎n+1‎ （2） 由得q‎2‎‎+q-20=0‎.‎ 解得 当q=-5‎时，由①得d=8‎，则S‎3‎‎=21‎.‎ 当q=4‎时，由①得d=-1‎，则S‎3‎‎=-6‎.‎ ‎【考点】等差、等比数列通项与求和 ‎【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,‎ 一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ ‎17.【2015高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列满足，．‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？‎ ‎【答案】（I）；（II）与数列的第项相等.‎ 试题详细分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为.‎ 因为，所以.‎ 又因为，所以，故.‎ 所以 .‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为.‎ 因为，，‎ 所以，.‎ 所以.‎ 由，得.‎ 所以与数列的第项相等.‎ 考点：等差数列、等比数列的通项公式.‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，属于中档题．本题通过求等差数列和等比数列的基本量，利用通项公式求解．解本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，即等差数列的通项公式：，等比数列的通项公式：．‎ ‎18. 【2015高考广东，文19】（本小题满分14分）设数列的前项和为，．已知，，，且当 时，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：为等比数列；‎ ‎（3）求数列的通项公式．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解+析；（3）．‎ 再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列的通项公式．‎ 试题详细分析：（1）当时，，即 ‎，解得：‎ ‎（2）因为（），所以（），即（），因为，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列 ‎（3）由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以 即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是 考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，属于难题．‎ 本题通过将的递推关系式转化为的递推关系式，利用等比数列的定义进行证明，进而可得通项公式，根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解．解题时一定要注意关键条件“”，否则很容易出现错误 ‎．解本题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，即等比数列的定义：（常数），等比数列的通项公式：，等差数列的通项公式：．‎ ‎19.【2016高考新课标2文数】等差数列{}中，.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如0.9]=0,2.6]=2.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.‎ 试题分析：(Ⅰ) 题目已知数列{}是等差数列，根据通项公式列出关于，的方程，解方程求得，，从而求得；（Ⅱ）根据条件表示不超过的最大整数，求，需要对分类讨论，再求数列的前10项和.‎ 当1,2,3时，；‎ 当4,5时，；‎ 当6,7,8时，；‎ 当9,10时，，‎ 所以数列的前10项和为.‎ 考点：等差数列的性质 ，数列的求和.‎ ‎【名师点睛】求解本题会出现以下错误：①对“表示不超过的最大整数 ‎”理解出错；‎ ‎20.【2016高考北京文数】（本小题13分）‎ 已知是等差数列，是等差数列，且，，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）（，，，）；（2）‎ 试题分析：（Ⅰ）求出等比数列的公比，求出，的值，根据等差数列的通项公式求解；‎ ‎（Ⅱ）根据等差数列和等比数列的前项和公式求数列的前项和.‎ 试题详细分析：（I）等比数列的公比，‎ 所以，．‎ 设等差数列的公差为．‎ 因为，，‎ 所以，即．‎ 所以（，，，）．‎ ‎．‎ 考点：等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力.‎ ‎【名师点睛】1.数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，或)等.‎ ‎21.【2015高考四川，文16】设数列{an}(n＝1，2，3…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a3，且a1，a2＋1，a3成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设数列的前n项和为Tn，求Tn. ‎ ‎(Ⅰ) 由已知Sn＝2an－a1，有 an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得所以Tn＝‎ ‎【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和等基础知识，考查运算求解能力.‎ ‎【名师点睛】数列问题放在解答题第一题，通常就考查基本概念和基本运算，对于已知条件是Sn与an关系式的问题，基本处理方法是“变更序号作差”，这种方法中一定要注意首项a1是否满足一般规律(代入检验即可，或者根据变换过程中n的范围和递推关系中的表达式判断).数列求和时，一定要注意首项、公比和项数都不能出错.同时注意，对于较为简单的试题，解+析步骤一定要详细具体，不可随意跳步.属于简单题.‎ ‎22.【2016高考四川文科】（本小题满分12分）‎ 已知数列{ }的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q>0， .‎ ‎（Ⅰ）若 成等差数列，求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设双曲线 的离心率为 ，且 ，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ 试题分析：（Ⅰ）已知的递推式，一般是写出当时，，两式相减，利用，得出数列的递推式，从而证明为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到的表达式，再由解出的值，最后利用等比数列的求和公式求解计算.‎ 由成等差数列，可得，所以，故.‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.‎ 所以双曲线的离心率.‎ 由解得.所以，‎ ‎，‎ 考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式 ‎23.【2015高考重庆，文16】已知等差数列满足=2，前3项和=.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式，‎ ‎(Ⅱ)设等比数列满足=，=，求前n项和. ‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.‎ 试题分析：（Ⅰ）由已知及等差数列的通项公式和前n项和公式可得关于数列的首项a1和公式d的二元一次方程组，解此方程组可求得首项及公差的值，从而可写出此数列的通项公式，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可求出b1和b4的值，进而就可求出等比数列的公比，再由等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．‎ 试题详细分析： （1）设的公差为，则由已知条件得 ‎(2)由（1）得.‎ 设的公比为q,则,从而.‎ 故的前n项和 ‎ ‎.‎ ‎【考点定位】1. 等差数列，2. 等比数列.‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列及等比数列的概念、通项公式及前n项的求和公式，利用方程组思想求解.‎ 本题属于基础题，注意运算的准确性.‎