2019高考总复习概率统计大题

2019高考总复习概率统计大题

‎2019年春季学期数学高三专属讲义 课题:概率统计大题专练 学生姓名: ‎ 授课教师: 胡 授课时间:2019年 月 日 ‎1.【2019江西九校高三联考理数18】(本小题满分12分）某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：‎ 反馈点数t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销量（百件）/天 ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎1‎ ‎1.4‎ ‎1.7‎ ‎（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量（千件）与返还点数之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测若返回6个点时该商品每天销量；‎ ‎（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：‎ 返还点数预期值区间 ‎（百分比）‎ ‎[1,3)‎ ‎[3,5)‎ ‎[5,7)‎ ‎[7,9)‎ ‎[9,11)‎ ‎[11,13)‎ 频数 ‎20‎ ‎60‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎（）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；‎ ‎（）将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中 “欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.‎ 参考公式及数据：①，；②.‎ 解：（1）易知， ，， 则y关于t的线性回归方程为，当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. ..........................6分 ‎（2）（i）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值X的平均值，及中位数的估计值分别为：，‎ 中位数的估计值为. ...........8分 ‎（ii）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为，“欲望膨胀型”消费者人数为.‎ ‎,,‎ 故随机变量的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ........12分 ‎2.【2019福州高三质检理数19】（12分） ‎ 最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以，，，，（单位：千元）分组的频率分布直方图如上：‎ 乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下：‎ 月收入 户数 ‎38‎ ‎27‎ ‎24‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎（1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”.把频率视为概率，求的概率；‎ ‎（2）利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数；‎ ‎（3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.‎ 幸福指数低 幸福指数高 总计 甲小区租户 乙小区租户 总计 附：临界值表 ‎0.10‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考公式：．‎ 解：（1）记表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元”，记表示事件“乙小区租户的月收入不低于6千元”，‎ 甲小区租户的月收入低于6千元的频率为， 故的估计值为； 1分 乙小区租户的月收入不低于6千元频率为， 故的估计值为； 2分 因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立， 事件的概率的估计值为=． 4分 ‎（2）设甲小区所抽取的 100户的月收入的中位数为，‎ 则， 6分 解得． 7分 ‎（3）设幸福指数高低与租住的小区无关，‎ 幸福指数低 幸福指数高 总计 甲小区租户 ‎66‎ ‎34‎ ‎100‎ 乙小区租户 ‎38‎ ‎62‎ ‎100‎ 总计 ‎104‎ ‎96‎ ‎200‎ ‎ ‎ ‎ 9分 根据列联表中的数据，‎ 得到的观测值， 11分 所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关. ‎ ‎ 12分 ‎3.【2019抚顺市高考模拟理数18】（本小题满分12分）‎ 人数 ‎“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M的微信好友中有位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：、步，（说明：“”表示“大于或等于，小于”，以下同理），、步，、步，、步，、步，且、、三种类别的人数比例为1∶4∶3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．‎ 若某人一天的走路步数大于或等于，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”．‎ ‎（Ⅰ）若以大学生M抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”‎ 的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M的参与“微信运动”的位微信好友中，每天走路步数在的人数；‎ ‎（Ⅱ）若在大学生M该天抽取的步数在的微信好友中，按男女比例分层抽取人进行身体状况调查，然后再从这位微信好友中随机抽取人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；‎ ‎（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的列联表，并据此判断能否有％的把握认为“认定类别”与“性别”有关？ ‎ 参与者 超越者 合计 ‎ 男 ‎20‎ 女 ‎20‎ 合计 ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎40‎ 附：，，‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走步的人数：男12人，女14人……2分，‎ 位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走步的人数约为：人……4分；‎ ‎（Ⅱ）该天抽取的步数在的人数：男8人，女4人，‎ 再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人 ……6分 所求概率（或） ……8分 ‎（Ⅲ）‎ 参与者 超越者 合计 男 ‎12‎ ‎8‎ ‎20‎ 女 ‎16‎ ‎4‎ ‎20‎ 合计 ‎28‎ ‎12‎ ‎40‎ 完成列联表……9分，计算，……11分 ‎ 因为1.905<3.841，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关，即“认定类别”与“性别”无关 ……12分 ‎4.【合肥市2019届高三第二次质检理数19】(本小题满分12分)‎ 某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：‎ 方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；‎ 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.‎ 某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：‎ 维修次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 台数 ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.‎ ‎(Ⅰ)求的分布列；‎ ‎(Ⅱ)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？‎ 解：(Ⅰ) 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6.‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎…………………………5分 ‎(Ⅱ) 选择延保方案一，所需费用元的分布列为：‎ ‎7000‎ ‎9000‎ ‎11000‎ ‎13000‎ ‎15000‎ P ‎(元).‎ 选择延保方案二，所需费用元的分布列为：‎ ‎10000‎ ‎11000‎ ‎12000‎ P ‎(元).‎ ‎∵，∴该医院选择延保方案二较合算. …………………………12分 ‎5.【昆明市2019届高三质检理数】（12分）‎ 某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗、、，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为，引种树苗、的自然成活率均为. ‎ ‎（1）任取树苗、、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及；‎ ‎（2）将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率．该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为，其余的树苗不能成活．‎ ‎①求一棵种树苗最终成活的概率；‎ ‎②若每棵树苗引种最终成活后可获利元，不成活的每棵亏损元，该农户为了获利不低于万元，问至少引种种树苗多少棵？‎ 解：（1）依题意，的所有可能值为，，，．则 ‎；‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎；‎ 的分布列为：‎ ‎…………………………………………4分 ‎．‎ ‎………………6分 ‎（2）当时，取得最大值．‎ ‎①一棵树苗最终成活的概率为. …………8分 ‎②记为棵树苗的成活棵数，为棵树苗的利润，‎ 则，，，‎ ‎，要使，则有．‎ 所以该农户至少种植棵树苗，就可获利不低于万元． ………………12分 ‎6.【湖南湖北八市十二校2019届高三联考理数19】近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示：‎ 根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．‎ ‎(1)根据散点图判断，在推广期内，‎ ‎ (c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)；‎ ‎(2)根据(1)的判断结果及表l中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；‎ ‎(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2‎ 已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为，享受8折优惠的概率为，享受9折优惠的概率为．根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用．‎ 参考数据：‎ 其中.‎ 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，，其回归方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.‎ 解：（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型；………………………………………………………………2分 ‎（2），两边同时取常用对数得：；‎ 设………………………………………………………………3分 ‎， ‎ ‎，……………………………4分 把样本中心点代入,得: ，‎ ‎，， …………………………………………5分 关于的回归方程式：；‎ 把代入上式， ； ‎ 活动推出第天使用扫码支付的人次为； …………………………………………7分 ‎（3）记一名乘客乘车支付的费用为，‎ 则的取值可能为：；………………………………………………………8分 ‎； ；‎ ‎ ； ……………………10分 分布列为：‎ 所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：‎ ‎（元）………………………………12分 ‎7.【南昌市四校高三联考理数18】“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：‎ 步数/步 ‎10000以上 男生人数/人 ‎1‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎15‎ ‎5‎ 女性人数/人 ‎0‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎1‎ 规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”.‎ ‎（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，从社会上任取3人，记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极型”的人数，求PX≤2和X的数学期望.‎ ‎（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其中男性中被系统评定为“积极型”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极型”的人数为x；其中女性中被系统评定为“积极型”和“懈怠型”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极型”的人数为y；求x>y的概率.‎ 解：（1）被系统评为“积极性”的概率为3050=35,X∼B3,35.‎ 故PX≤2=1-353=98125，‎ X的数学期望EX=3×35=95；‎ ‎（2）“x>y”包含“x=3,y=2”，“ x=3,y=1”，“ x=3,y=0”，“ x=2,y=1”，“ x=2,y=0”，“ x=1,y=0”，‎ Px=3,y=2=C43C63×C22C42=130，Px=3,y=1=C43C63×C21C21C42=215，，‎ ‎，Px=2,y=0=C42C21C63×C20C42=110，‎ Px=1,y=0=C41C22C63×C22C42=130，‎ 所以Px>y=130+215+130+25+110+130=1115.‎ ‎8.【上饶市重点中学2019届高三六校联考理数19】(12分）‎ 某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线；‎ ‎（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人？‎ ‎（3）从（2）抽取的7人中，选出4人参加全市座谈交流，设表示得分在中参加全市座谈交流的人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在给予500元奖励，若该生分数在给予800元奖励，用Y表示学校发的奖金数额，求Y的分布列和数学期望。‎ 解：（1）由题意知的频率为：，‎ 的频率为：所以分数在的频率为：………………………1分 从而分数在的，………………………2分 假设该最低分数线为由题意得解得．故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分。………………………4分 ‎（2）在区间与，，………………………5分 在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，‎ 分在区间与各抽取5人，2人．结果是5人，2人．……………8分 ‎（3）的可能取值为2，3，4，则：‎ ‎ ………………9分 从而Y的分布列为 Y ‎2600‎ ‎2300‎ ‎2000‎ ‎………………………11分 ‎(元)．………………………12分