2015高考数学（理）（空间几何体的表面积与体积）一轮复习学案

2015高考数学（理）（空间几何体的表面积与体积）一轮复习学案

学案 41　空间几何体的表面积与体积 导学目标： 1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台 的体积的计算公式.3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式 进行必要的计算.4.提高认识图、理解图、应用图的能力． 自主梳理 1．多面体的表面积 (1)设直棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则 S 直棱柱侧＝______. (2)设正 n 棱锥底面边长为 a，底面周长为 c，斜高为 h′，则 S 正棱锥侧＝____________＝ ____________. (3)设正 n 棱台下底面边长为 a，周长为 c，上底面边长为 a′，周长为 c′，斜高为 h′，则 S 正棱台侧＝__________＝____________. (4)设球的半径为 R，则 S 球＝____________. 2．几何体的体积公式 (1)柱体的体积 V 柱体＝______(其中 S 为柱体的底面面积，h 为高)． 特别地，底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的体积 V 圆柱＝πr2h. (2)锥体的体积 V 锥体＝________(其中 S 为锥体的底面面积，h 为高)． 特别地，底面半径是 r，高是 h 的圆锥的体积 V 圆锥＝1 3πr2h. (3)台体的体积 V 台体＝______________(其中 S′，S 分别是台体上、下底面的面积，h 为高)． 特别地，上、下底面的半径分别是 r′、r，高是 h 的圆台的体积 V 圆台＝1 3πh(r2＋rr′＋ r′2)． (4)球的体积 V 球＝__________(其中 R 为球的半径)． 自我检测 1．已知两平行平面 α，β 间的距离为 3，P∈α，边长为 1 的正三角形 ABC 在平面 β 内， 则三棱锥 P—ABC 的体积为(　　) A.1 4 B.1 2 C. 3 6 D. 3 4 2．(2011·唐山月考) 从一个正方体中，如图那样截去 4 个三棱锥后，得到一个正三棱锥 A—BCD，则它的表 面积与正方体表面积的比为(　　) A. 3∶3 B. 2∶2 C. 3∶6 D. 6∶6 3．设三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V，P，Q 分别是侧棱 AA1，CC1 上的点，且 PA＝ QC1，则四棱锥 B—APQC 的体积为(　　) A.1 6V B.1 4V C.1 3V D.1 2V 4．(2011·平顶山月考)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表 面积是(　　) A．9π B．10π C．11π D．12π 5．(2011·陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是(　　) A．8－2π 3 B．8－π 3 C．8－2π D.2π 3 探究点一　多面体的表面积及体积 例 1 　三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形，侧棱长为 3，一条侧棱与底面相邻两边都 成 60°角，求此棱柱的侧面积与体积． 变式迁移 1　(2011·烟台月考)已知三棱柱 ABC—A 1B1C1 的侧棱与底面边长都等于 2， A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则三棱柱的侧面面积为________． 探究点二　旋转体的表面积及体积 例 2 　 如图所示，半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴，旋转一周得到一 几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积． 变式迁移 2　直三棱柱 ABC—A1B1C1 的各顶点都在同一球面上．若 AB＝AC＝AA1＝2， ∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________． 探究点三　侧面展开图中的最值问题 例 3 　如图所示，长方体 ABCD－A 1B1C1D1 中，AB＝a，BC＝b，CC 1＝c，并且 a>b>c>0.求沿着长方体的表面自 A 到 C1 的最短线路的长． 变式迁移 3　 (2011·杭州月考)如图所示，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝ 2.P 是 BC1 上一动点，则 CP＋PA1 的最小值是________． 1．有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的 直角三角形、直角梯形求有关的几何元素． 2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂， 但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为 简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．(1)几何体的“分割”： 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进 而求之．(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易 求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积 的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积． (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　) A．48 B．32＋8 17 C．48＋8 17 D．80 2．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π 3 ，则 这个三棱柱的体积是(　　) A．96 3 B．16 3 C．24 3 D．48 3 3．已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a，长为定值的线段 EF 在棱 AB 上移动 (EFb>c>0，∴ab>ac>bc>0. 故最短线路的长为 a2＋b2＋c2＋2bc. 变式迁移 3　5 2 解析　将△BCC1 沿 BC1 线折到面 A1C1B 上，如图所示． 连接 A1C 即为 CP＋PA1 的最小值，过点 C 作 CD 垂直 A1C1 延长线交于 D，△BCC1 为 等腰直角三角形， ∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7. ∴A1C＝ A1D2＋CD2＝ 49＋1＝5 2. 课后练习区 1．C　[ 由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为 4 的正方形；上底 面是长为 4、宽为 2 的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为 2，下底长为 4，高为 4； 另两个侧面是矩形，宽为 4，长为 42＋12＝ 17.所以 S 表＝42＋2×4＋1 2×(2＋4)×4×2＋4× 17×2＝48＋8 17.] 2．D　[由 4 3πR3＝32π 3 ，∴R＝2.∴正三棱柱的高 h＝4.设其底面边长为 a，则1 3· 3 2 a＝2， ∴a＝4 3. ∴V＝ 3 4 ×(4 3)2×4＝48 3.] 3．D　4.B 5．C　[将三视图还原成几何体的直观图如图所示． 它的四个面的面积分别为 8,6,10,6 2，故最大的面积应为 10. 6．6 7 解析　取底面中心为 O，AF 中点为 M，连接 PO、OM、PM、AO，则 PO⊥OM， OM⊥AF，PM⊥AF， ∵OA＝OP＝2，∴OM＝ 3， PM＝ 4＋3＝ 7. ∴S 侧＝6×1 2×2× 7＝6 7. 7. 15 3 π 解析　围成圆锥筒的母线长为 4 cm， 设圆锥的底面半径为 r，则 2πr＝1 4·2π×4， ∴r＝1，∴圆锥的高 h＝ 42－12＝ 15. ∴V 圆锥＝1 3·πr2·h＝ 15 3 π(cm3)． 8．2πR2 解析　方法一　设圆柱的轴与球的半径的夹角为 α，则圆柱高为 2Rcos α，圆柱底面半 径为 Rsin α，∴S圆柱侧＝2π·Rsin α·2Rcos α＝2πR2sin 2α.当 sin 2α＝1 时，S圆柱侧最大为 2πR2， 此时，S 球表－S 圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2. 方法二　设圆柱底面半径为 r，则其高为 2 R2－r2. ∴S 圆柱侧＝2πr·2 R2－r2， S′圆柱侧＝4π R2－r2－ 4πr2 R2－r2. 令 S′圆柱侧＝0，得 r＝ 2 2 R. 当 00； 当 2 2 R

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