高考文科数学试题分类汇编平面向量

高考文科数学试题分类汇编平面向量

2012 高考文科试题解析分类汇编：平面向量 一、选择题 1.【2012 高考全国文 9】 中， 边的高为 ，若 ， ， ， ， ，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用，以及点到面的距离的求解。体现了 转换与化归的思想的运用，以及线面平行的距离，转化为点到面的距离即可。 【解析】因为底面的边长为 2，高为 ，且连接 ，得到交点为 ，连接 ， ，则点 到平面 的距离等于 到平面 的距离，过点 作 ，则 即为所求，在三角形 中，利用等面积法，可得 ，故选答 案 D。 2.【2012 高考重庆文 6】设 ，向量 且 ，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 3.【2012 高考浙江文 7】设 a，b 是两个非零向量。 A.若|a+b|=|a|-|b|，则 a⊥b B.若 a⊥b，则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得 b=λa D.若存在实数λ，使得 b=λa，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C 【命题意图】本题考查的是平面向量，主要考查向量加法运算，向量的共线含义，向量的垂 直关系。 【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则 a，b 共线，即存在实 数 λ，使得 a＝λb．如选项 A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b 可为异向的共线向量；选项 B：若 a⊥ b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项 D：若存在实数 λ，使得 a＝λb，a，b 可为同向 的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立． 2 2 ,AC BD O EO 1/ /EO AC 1C BDE C BDE C CH OE⊥ CH OCE 1CH = ABC∆ AB CD CB a=  CA b=  0a b⋅ =  | | 1a = | | 2b = AD = 1 1 3 3a b−  2 2 3 3a b−  3 3 5 5a b−  4 4 5 5a b−  x R∈ ( ,1), (1, 2),a x b= = −  a b⊥  | |a b+ =  5 10 2 5 10 4.【2012 高考四川文 7】设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充 分条件是（ ） A、 且 B、 C、 D、 【答案】Ｄ [解析]若使 成立，则 选项中只有 D 能保证，故选 D. [点评]本题考查的是向量相等条件 模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零 向量，其模为 0 且方向任意. 5.【2012 高考陕西文 7】设向量 =（1. ）与 =（-1， 2 ）垂直，则 等于 （ ） A B C .0 D.-1 【答案】C. 【解析】∵向量 与 垂直，∴ ，即 ，∴ ． ∴ ．故选 C． 6.【2012 高考辽宁文 1】已知向量 a = (1,—1)，b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x = (A) —1 (B) — (C) (D)1 【答案】D 【命题意图】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。 【解析】 ，故选 D 7.【2012 高考广东文 3】若向量 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选 8.【2012 高考广东文 10】对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 . 若两个 非 零 的 平 面 向 量 ， 满 足 与 的 夹 角 ， 且 和 都 在 集 合 | | | | a b a b =     方向相同，与ba ⇔ a b 0a b⋅ =  ( )1 1 cos 2cos 0θ θ× − + ⋅ = 22cos 1θ = 2cos2 2cos 1 0θ θ= − = 2 1, 1a b x x⋅ = − = ∴ =   a b | | | | a b a b =     | | | |a b=  //a b  a b= −  //a b  2a b=  a cosθ b cosθ cos2θ 2 2 1 2 1 2 1 2 (1,2)AB = (3,4)BC = AC = (4,6) ( 4, 6)− − ( 2, 2)− − (2,2) A (4,6)AC AB BC= + =   α β = ⋅ ⋅ α βα β β β a b a b ,4 2 π πθ  ∈   a b b a 中，则 A. B. C. 1 D. 【答案】D 都在集合 中得： 9.【2102 高考福建文 3】已知向量 a=（x-1,2），b=（2,1），则 a⊥b 的充要条件是 A.x=- B.x-1 C.x=5 D.x=0 【答案】D 考点：平面向量的垂直。 难度：易。 分析：本题考查的知识点为平面向量的垂直，若非零向量 ， ， 则 。 解答：非零向量 。 。 10.【2012 高考天津文科 8】在△ABC 中， A=90°，AB=1，设点 P，Q 满足 = ， =(1- ) ， R。若 =-2，则 = （A） （B） C） （D）2 【答案】B 【 解 析 】 如 图 ， 设 ， 则 ，又 ， ， 由 得 ， 即 ， 1 2 ),( 11 yxa = → ),( 22 yxb = → 00 2121 =+⇔=⋅⇔⊥ →→→→ yyxxbaba 0=⋅⇔⊥ →→→→ baba 0 02)1(2 =⇔ =+−⇔ x x cACbAB == , 0,2,1 =•== cbcb cbAQBABQ )1( λ−+−=+= bcAPCACP λ+−=+= 2−=•CPBQ 2)1(4)1()(])1([ 22 −=−−=−−=+−•−+− λλλλλλ bcbccb 3 2,23 == λλ 2 n n  ∈   Z =a b 5 2 3 2 1 2 2 1cos 0, cos 0 ( ) ( ) cos (0, )2 a b a b b a a b b a b a θ θ θ= > = > ⇒ × = ∈                ,a b b a      }2 n n Z ∈ *1 2 1 2 1( ) ( ) ( , )4 2 n na b b a n n N a b× = ∈ ⇒ =         ∠ AP  ABλ  AQ  λ AC  λ ∈ BQ  • CP  λ 1 3 2 3 4 3 选 B. 二、填空题 1.【2012 高考新课标文 15】已知向量 夹角为 ，且 ；则 【答案】 【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则，是简单题. 【解析】∵| |= ，平方得 ，即 ，解 得| |= 或 （舍） 2.【2012 高考安徽文 11】设向量 ， ， ，若 ， 则 ______. 【答案】 3.【2012 高考湖南文 15】如图 4，在平行四边形 ABCD 中 ，AP⊥BD，垂足为 P， 且 = . 【答案】18 【解析】设 ，则 ， = . 【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、 等价转化思想等数学思想方法. 4.【2012 高考浙江文 15】在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=3，BC=10，则 =________. 【答案】-16 【命题意图】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用. 【解析】由余弦定理 ， ， 2 −a b 10 2 24 4 10− =a a b+ b 2 2 2 6 0− − =| b | | b | b 3 2 2− 1(3,3 ),( ) 3( 1) 3 0 22a c m a c b m m m a+ = + = + + = ⇔ = − ⇒ =       AC BD O= 2( )AC AB BO= +   AP AC   2( )AP AB BO+ =    2 2AP AB AP BO+      22 2 ( ) 2AP AB AP AP PB AP= = + =       18= 2 2 2 2 22 cos 5 3 2 5 3cosAB AM BM AM BM AMB AMB= + − ⋅ ∠ = + − × × ∠ 2 2 2 2 22 cos 3 5 2 5 3cosAC AM CM AM CM AMC AMC= + − ⋅ ∠ = + − × × ∠ ,a b  45° 1, 2 10a a b= − =   _____b = 3 2 )2,1( ma = )1,1( += mb ),2( mc = bca ⊥+ )( =|| a 2 3AP = AP AC   AB AC⋅  ，两式子相加为 ， ， . 5.【2012 高考山东文 16】如图，在平面直角坐标系 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0，1)，此时圆上一点 P 的位置在(0，0)，圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于 (2，1)时， 的坐标为＿＿＿＿. 【答案】 考点：考查转化化归能力、弧度制、诱导公式等 【 解 析 】 因 为 圆 心 移 动 的 距 离 为 2 ， 所 以 劣 弧 ， 即 圆 心 角 , , 则 , 所 以 ， ，所以 ， ，所以 . 另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为 ，且 ， 则 点 P 的 坐 标 为 ， 即 . 0180AMB AMC∠ + ∠ = 2 2 2 2 2 22 2 2 (3 5 ) 68AC AB AM CM+ = + = × + = 2 2 2 2 2 210 68 100cos 2 2 2 AB AC BC AB ACBAC AB AC AB AC AB AC + − + − −∠ = = =× × × × × × 68 100cos 162AB AC AB AC BAC AB AC AB AC −⋅ = ∠ = ⋅ = −× ×       xOy OP )2cos1,2sin2( −− 2=PA 2=∠PCA 22 π−=∠PCA 2cos)22sin( −=−= π PB 2sin)22cos( =−= π CB 2sin22 −=−= CBxp 2cos11 −=+= PByp )2cos1,2sin2( −−=OP    += += θ θ sin1 cos2 y x 22 3,2 −==∠ πθPCD      −=−+= −=−+= 2cos1)22 3sin(1 2sin2)22 3cos(2 π π y x )2cos1,2sin2( −−=OP 6.【2012 高考江西文 12】设单位向量 m=（x，y），b=（2，-1）。若 ，则 =_______________ 【答案】 【 解 析 】 由 已 知 可 得 ， 又 因 为 m 为 单 位 向 量 所 以 ， 联 立 解 得 或 代入所求即可. 7.【2012 高考江苏 9】（5 分）如图，在矩形 中， 点 为 的 中点，点 在边 上，若 ，则 的值是 ▲ ． 【答案】 。 【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。 【解析】由 ，得 ，由矩形的性质，得 。 ∵ ，∴ ，∴ 。∴ 。 记 之间的夹角为 ，则 。 又∵ 点 E 为 BC 的中点，∴ 。 ∴ 。 2 0x y− = 2 2 1x y+ = 5 5 2 5 5 x y  =  = 5 5 2 5 5 x y  = −  = − 2AB AF =   cos 2AB AF FAB∠ =    cos =AF FAB DF∠  2AB = 2 2DF = 1DF = 2 1CF = − AE BF 和 ,AEB FBCθ α β∠ = ∠ =， θ α β= + 2BC = ， 1BE = ( ) ( )= cos = cos = cos cos sin sinAE BF AE BF AE BF AE BFθ α β α β α β+ −               ( )= cos cos sin sin = 1 2 2 2 1 2AE BF AE BF BE BC AB CFα β α β− − = × − − =         5 ABCD 2 2AB BC= =， ， E BC F CD 2AB AF =   AE BF   2 8.【2012 高考上海文 12】在矩形 中，边 、 的长分别为 2、1，若 、 分 别是边 、 上的点，且满足 ，则 的取值范围是 【答案】[1,4]. 【解析 1】设 = （0≤ ≤1）， 则 = , = ， 则 = = = + + + , 又∵ =0， ∴ = ， ∵0≤ ≤1，∴1≤ ≤4，即 的取值范围是[1,4]. 【解析 2】以向量 AB 所在直线为 轴，以向量 AD 所在直线为 轴建立平面直角坐标系， 如 图 所 示 ， 因 为 ， 所 以 设 ，根据题意， ，所以 所以 ，所以 ， 即 . 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时， x y 1,2 == ADAB (0,0), (2,0), (2,1) (0,1).A B C D )20(),1,(),,2( ≤≤ xxNbM 2 2 xb −= 2( ,1), (2, ).2 xAN x AM → → −= = 12 3 +=• →→ xANAM ( )20 ≤≤ x 412 31 ≤+≤ x →→ ≤•≤ 41 ANAM 10 5 5 10 6 4 2 2 4 6 C A D B M N ABCD AB AD M N BC CD BM CN BC CD =     AM AN⋅  CD CN BC BM = λ λ BCBM λ= ADλ DCDN )1( λ−= AB)1( λ− ANAM ⋅ ))(( DNADBMAB ++ ])1()[( ABADADAB λλ −++ ADAB ⋅ 2 )1( ABλ− 2 ADλ ABAD ⋅− )1( λ ADAB ⋅ ANAM ⋅ λ34 − λ ANAM ⋅ ANAM ⋅ 要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中. 9.【2012 高考湖北文 13】已知向量 a=（1,0），b=（1,1），则 （Ⅰ）与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为____________； （Ⅱ）向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为____________。 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）由 ，得 .设与 同向的单位向量为 ， 则 且 ， 解 得 故 . 即 与 同向的单位向量的坐标为 . （Ⅱ）由 ，得 .设向量 与向量 的夹角为 ，则 . 【点评】本题考查单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等.与某向量同向 的单位向量一般只有 1 个，但与某向量共线的单位向量一般有 2 个，它包含同向与反向两种. 不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查. 10【2102 高考北.京文 13】已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 的值为________， 的最大值为______。 【答案】1，1 【解析】根据平面向量的数量积公式 ，由图可知， ，因此 ， ，而 就是向量 在 边上的 射影，要想让 最大，即让射影最大，此时 E 点与 B 点重合，射影为 ，所以长 度为 1． 【考点定位】 本题是平面向量问题，考查学生对于平面向量点乘知识的理解，其中包含动 3 10 10,10 10       2 5 5 − ( ) ( )1,0 , 1,1a = b = ( )2 3,1+a b = 2 +a b ( ),x yc = 2 2 1, 3 0, x y y x  + =  − = , 0x y > 3 10 ,10 10 .10 x y  =  = 3 10 10,10 10       c = 2 +a b 3 10 10,10 10       ( ) ( )1,0 , 1,1a = b = ( )3 2,1− −b a = 3−b a a θ ( ) ( ) ( )3 2,1 1,0 2 5cos 3 55 1 θ − −= = = −− ×  b a a b a a CBDE ⋅ DCDE ⋅ =⋅=⋅ DADECBDE θcos|||| DADE ⋅ ||cos|| DADE =⋅ θ 1|| 2 ==⋅ DACBDE =⋅=⋅ αcos|||| DCDEDCDE αcos|| ⋅DE αcos|| ⋅DE DE DC DCDE ⋅ DC 点问题，考查学生最值的求法。