2020版高中数学 第三章 概率 3

2020版高中数学 第三章 概率 3

‎§3　模拟方法——概率的应用 课后篇巩固提升 ‎1.将一个长与宽不相等的矩形沿对角线分成四个区域(如图),并涂上四种颜色,中间装个指针,使其可以自由转动.对该指针在各区域停留的可能性下列说法正确的是 (　　)‎ A.一样大 B.蓝白区域大 C.红黄区域大 D.由指针转动圈数决定 答案B ‎2.在长为‎10 cm的线段AB上任取一点G,用AG为半径作圆,则圆的面积介于36π cm2到64π cm2之间的概率是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D.‎ 解析以AG为半径作圆,面积介于36π cm2到64π cm2之间,则AG的长度应介于‎6 cm到‎8 cm之间.‎ ‎∴所求概率P(A)=.‎ 答案D ‎3.在长为‎10 cm的线段AB上任取一点P,并以线段AP为边作正方形,这个正方形的面积介于‎25 cm2与‎49 cm2之间的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 答案B ‎4.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积不小于的概率是(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析如图,在边AB上取点P',使,则点P应在线段AP'上运动,则所求概率为.故选C.‎ 答案C ‎5.在区间[0,1]上任取两个数,则这两个数的平方和在区间[0,1]上的概率是(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析设任意在[0,1]上取出的数为a,b,若a2+b2也在[0,1]上,则有0≤a2+b2≤1(如图),试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形,满足a2+b2在[0,1]内的点在单位圆内(如图阴影部分),故所求概率P=.‎ 答案A 3‎ ‎6.(2018安徽蚌埠高一检测)如图,在一个边长为a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底长分别为a与a,高为b,向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为　　　　　. ‎ 解析直接套用几何概型的概率公式.S矩形=ab,S梯形=·b=ab,所以所投的点落在梯形内部的概率为.‎ 答案 ‎7.如图所示,在平面直角坐标系内,射线OT落在60°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠xOT内的概率为　　　　　. ‎ 解析以O为起点作射线OA是随机的,因而射线OA落在任何位置都是等可能的.落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关,符合几何概型的条件.记事件B={射线OA落在∠xOT内},因为∠xOT=60°,所以P(B)=.‎ 答案 ‎8.已知一个球内切于棱长为2的正方体(与各个面相切).若在正方体内任取一点,则这一点不在球内的概率为　　　　　. ‎ 解析由题意知,正方体内切球的半径为1,则V球=π,所以所求概率为=1-.‎ 答案1-‎ ‎9.在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q,求过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率.‎ 解弦长不超过1,即|OQ|≥,而点Q在直径AB上,是随机的,事件A={弦长超过1}.‎ 由几何概型的概率公式,得P(A)=.‎ 所以弦长不超过1的概率为1-P(A)=1-.‎ ‎10.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a,高为h,在正三棱锥内取点M,试求点M到底面的距离小于的概率.‎ 解如图,分别在SA,SB,SC上取点A1,B1,C1,使A1,B1,C1分别为SA,SB,SC的中点,则当点M位于平面ABC和平面A1B‎1C1之间时,点M到底面的距离小于.‎ 设△ABC的面积为S,由△ABC∽△A1B‎1C1,且相似比为2,得△A1B‎1C1的面积为.‎ 由题意知区域D(三棱锥S-ABC)的体积为Sh,‎ 区域d(三棱台ABC-A1B‎1C1)的体积为Sh-Sh.‎ 3‎ 所以点M到底面的距离小于的概率为P=.‎ ‎11.导学号36424072已知函数f(x)=-x2+ax-b.‎ ‎(1)若a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,求f(x)有零点的概率;‎ ‎(2)若a,b都是从区间[0,4]上任取的一个数,求f(1)>0的概率.‎ 解(1)a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,则基本事件的总数为5×5=25.‎ f(x)有零点的条件为Δ=a2-4b≥0.即a2≥4b;而事件“a2≥4b”包含12个基本事件:(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).所以f(x)有零点的概率P1=.‎ ‎(2)a,b都是从区间[0,4]上任取的一个数,f(1)=-1+a-b>0,即a-b>1,由图可知f(1)>0的概率P2=.‎ 3‎