备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题35 等比数列问题探究

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题35 等比数列问题探究

专题35 等比数列问题探究 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等比数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等差数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．‎ ‎1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比 注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列 ‎2、等比数列通项公式：，也可以为：‎ ‎3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项 ‎（1）若为的等比中项，则有 ‎（2）若为等比数列，则，均为的等比中项 ‎（3）若为等比数列，则有 ‎4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为 当时，则为常数列，所以 当时，则 可变形为：，设，可得：‎ ‎5、由等比数列生成的新等比数列 ‎（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 ‎（2）已知等比数列，则有 ‎① 数列（为常数）为等比数列 ‎② 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列 ‎③ 数列为等比数列 16‎ ‎④ 数列为等比数列 ‎6、相邻项和的比值与公比相关：‎ 设，则有：‎ 特别的：若 ‎，则成等比数列 ‎7、等比数列的判定：（假设不是常数列）‎ ‎（1）定义法（递推公式）：‎ ‎（2）通项公式：（指数类函数）‎ ‎（3）前项和公式： x-k/w 注：若，则是从第二项开始成等比关系 ‎（4）等比中项：对于，均有 ‎8、非常数等比数列的前项和 与前项和的关系 ‎，因为是首项为，公比为的等比数列，所以有 ‎ ‎9、等差数列性质与等比数列性质：‎ 等差数列 等比数列 16‎ 递推公式 通项公式 等差（比）中项 等间隔抽项 仍构成等差数列 仍构成等比数列 相邻项和 成等差数列 成等比数列 ‎10、等差数列与等比数列的互化：‎ ‎（1）若为等差数列，，则成等比数列 证明：设的公差为，则为一个常数 所以成等比数列 ‎（2）若为正项等比数列，，则成等差数列 证明：设的公比为，则为常数 所以成等差数列 ‎【经典例题】‎ 例1.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 16‎ ‎【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论.‎ ‎ 例2.【2019届河北省衡水金卷一模】已知等比数列中，，，则（ ）‎ A. B. -2 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C 点睛：等比数列中，若，则；‎ 等差数列中，若，则.‎ 例3.【2019届2019届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】已知等比数列的前项和是，则下列说法一定成立的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】分析：由，可得，分当时，当时，当时和时，由不等式的性质均可得到.‎ 详解：当时，，‎ 又当时，，‎ 16‎ 点睛：本题考查等比数列的通项公式与求和公式以及不等式的性质，意在考查分类讨论思想与计算能力，属于中档题.‎ 例4.【2017课标3，理9】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为 A． B． C．3 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 例5.【2019年4月2019届高三第二次全国大联考】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地，请问第天比第天多走 A. 12里 B. 24里 C. 36里 D. 48里 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】设第天走了里，其中．由题意可知成等比数列，公比，且，解得，所以，，所以，故第天比第天多走里．故选C．‎ 例6.【2019届河南省名校压轴第二次考试】在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列进行“扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列；….设第次“扩展”后得到的数列为，并记，其中，则数列的前项和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先求出，再找到关系构造数列求出，最后求数列的前n项和得解.‎ 所以，‎ 所以.‎ 16‎ 故答案为：‎ 点睛：(1)本题属于定义题，考查学生理解新定义及利用定义解决数学问题的能力,同时考查了等比数列的通项和前n项和,考查了数列分组求和. (2)解答本题的关键是想到找的关系，并能找到关系 ‎ 例7.【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= .‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】当时，显然不符合题意；‎ 当时，，解得，则.‎ ‎【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ 例8.【2017北京，理10】若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ 例9.【2019届北京市海淀区二模】已知等差数列满足.‎ 16‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为， 由 ，令 ‎ 可得，解得，从而可得结果；（Ⅱ）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，结合（1）可得，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列的前项和.‎ 详解：设等差数列的公差为，‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 因为，‎ 所以. ‎ 设数列的前项和为，‎ 则 16‎ ‎ ‎ 所以数列的前项和为 点睛：本题主要考查等差数列及等比数列的通项公式与求和公式和利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.‎ 例10.【2019届福建省龙岩市4月检测】已知正项等比数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎∵数列是等比数列，∴公比，‎ ‎∴数列的通项公式为. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ ‎∴数列的前项和 16‎ ‎＝.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019届福建省三明市5月检测】若为数列的前项和，且，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 其前8项和为：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.‎ ‎2．【2019届东北三省三校（哈尔滨师范大学附属中学）三模】已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：设出等比数列的公比，利用求出公比，利用等比数列通项公式求解即可.‎ 详解：设公比为，则，‎ 解得，故选A.‎ ‎3．【2019届安徽省合肥市三模】若正项等比数列满足，则的值是 16‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：设正项等比数列的公比为，由，可得，解得 ，解得，代入即可得结果.‎ 则，故选D.‎ ‎4．【2019届安徽省合肥市三模】若正项等比数列满足，则其公比为 A. B. 2或-1 C. 2 D. -1‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得，即，可解得的值，根据正项数列，排除不合题意的公比即可.‎ 详解：根据题意，设等比数列的公比为，‎ 若，则有，‎ 即，‎ 解可得或，‎ 由数列为正项等比数列，可得，故选C.‎ 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 16‎ ‎，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.‎ ‎5．【2019届湖南省长郡中学一模】已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】D 点睛：正整数满足，若数列是等差数列，则，若数列是等比数列，则，时也成立，此性质是等差数列（等比数列）的重要性质，解题时要注意应用.‎ ‎6．【2019届湖南省株洲市检测二】已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是的前项和，则等于( )‎ A. -8 B. -6 C. 0 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由成等比数列，可得 ‎ 再利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出．‎ 详解：∵4成等比数列，∴， 化为 解得 16‎ ‎ 则 ‎ 故选D．‎ ‎7．【2019届华大新高考联盟高三4月检测】设等比数列的前项和为，若，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎8.【2019届吉林省梅河口市第五中学二模】设正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析：由得到等比数列的公比，然后再根据基本不等式求解．‎ 详解：设等比数列的公比为，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立．‎ ‎∴的最小值为4．‎ 16‎ 点睛：利用基本不等式求最值时要注意不等式成立的条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可，解题时要说明等号成立的条件．‎ ‎9.【2019届安徽省“皖南八校”第三次（4月）联考】已知数列的前的前项和为，数列的的前项和为，则满足的最小的值为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎ 点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项与的关系，推导数列的通项公式，以及等差、等比数列的前项和公式的应用，熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.‎ ‎10．【2019届宁夏石嘴山市4月一模）】在正项等比数列中，若成等差数列，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由于成等差数列,所以,即,,解得.故.‎ ‎11．【2019届山东省名校联盟第一次模拟】已知数列中，，对任意的，都有 16‎ ‎（1）证明：数列成等比数列，成等比数列，其中；‎ ‎（2）记数列的前项和为，求．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由题意，求得，同理可得，即可利用等比数列的定义，证得结论．‎ ‎（2）由（1）得，，即可利用分组求和求的数列的值．‎ ‎（2），，‎ ‎，‎ ‎12．【2019届辽宁省丹东市模拟二】为数列的前项和，已知，．‎ 16‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前项和满足，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由和作差得，化简可得等比数列，从而得解；‎ ‎（2）由，利用裂项相消法求和得，进而求解不等式即可.‎ 不等式可化为．因为，所以，故．‎ 因此实数的取值范围为．‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ 16‎