高考试题数学理福建卷解析版
2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（理工农医类）
选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
函数最小值是
A．-1 B. C. D.1
1．【答案】：B
[解析]∵∴.故选B
2.已知全集U=R，集合，则等于
A． { x ∣0x2} B { x ∣0
2} D { x ∣x0或x2}
2．【答案】：A
[解析]∵计算可得或∴.故选A
3.等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于
A．1 B C.- 2 D 3
3．【答案】：C
[解析]∵且.故选C
4. 等于
A． B. 2 C. -2 D. +2
4．【答案】：D
[解析]∵.故选D
5.下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>
的是
A．= B. = C .= D
5．【答案】：A
[解析]依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。
6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A．2 B .4 C. 8 D .16
6．【答案】：C
[解析]由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=2×4=8. 故选C
7.设m，n是平面 内的两条不同直线，，是平面 内的两条相交直线，则// 的一个充分而不必要条件是
A.m // 且l // B. m // l 且n // l
C. m // 且n // D. m // 且n // l
7．【答案】：B
[解析]若，则可得.若则存在
8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。现采用随机模拟的方法估计该运动
员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，
指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
A．0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.15
8．【答案】：B
[解析]由随机数可估算出每次投篮命中的概率则三次投篮命中两次为0.25故选B
9.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，
ac ∣a∣=∣c∣,则∣b • c∣的值一定等于
A． 以a，b为两边的三角形面积 B 以b，c为两边的三角形面积
C．以a，b为邻边的平行四边形的面积 D 以b，c为邻边的平行四边形的面积
9．【答案】：C
[解析]依题意可得故选C.
10.函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是
A. B C D
10. 【答案】：D
[解析]本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出代入求出检验即得.
第二卷 （非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
11.若（i为虚数单位， ）则_________
11. 【答案】：2
解析：由，所以故。
12．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清。若记分员计算失误，则数字应该是___________
12. 【答案】：1
解析：观察茎叶图，
可知有。
13.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________
13. 【答案】：2
解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。
14.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.
14. 【答案】：
解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，
所以。
15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.
15. 【答案】：5
解析：由题意可设第次报数，第次报数，第次报数分别为，，，所以有，又由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。
三解答题
16.（13分）
从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个。
记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；
记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望E
16、解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A
基本事件总数n==31
事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4}
事件A包含的基本事件数m=3
所以
（II）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，5
又， ，
，
故的分布列为：
1
2
3
4
5
P
从而E+2+3+4+5
17（13分）
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，
，且MD=NB=1，E为BC的中点
求异面直线NE与AM所成角的余弦值
在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由
17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标
依题意，得。
，
所以异面直线与所成角的余弦值为.A
（2）假设在线段上存在点，使得平面.
,
可设
又.
由平面，得即
故，此时.
经检验，当时，平面.
故线段上存在点，使得平面，此时.
18、（本小题满分13分）
如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动
赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数
y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的图象，且图象的最高点为
S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛
运动员的安全，限定MNP=120
（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；
（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，
解法一
（Ⅰ）依题意，有，，又，。
当 是，
又
（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，
设∠PMN=，则0°<<60°
由正弦定理得
,
故
0°<<60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长
亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长
解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，
由余弦定理得∠MNP=
即
故
从而，即
当且仅当时，折线段道MNP最长
注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①；②；③点N在线段MP的垂直平分线上等
19、（本小题满分13分）
已知A,B 分别为曲线C： +=1（y0,a>0）与x轴
的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上
异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.
(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；
（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。
19.【解析】
解法一：
(Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.
(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.
又AB=2,故在△SAE中,有
(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,
(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线.
由于点M在以SB为直线的圆上,故.
显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.
由
设点
故,从而.
亦即
由得
由,可得即
经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.
由于点M在以SO为直径的圆上,故.
显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为
由
设点,则有
故
由所直线SM的方程为
O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.
故存在,使得O,M,S三点共线.
20、（本小题满分14分）
已知函数,且
(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；
（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：
（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；
（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）
20.解法一:
(Ⅰ)依题意,得
由.
从而
令
①当a>1时,
当x变化时，与的变化情况如下表：
x
+
－
+
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。
②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R
③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.
(Ⅱ)由得令得
由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。
观察的图象，有如下现象：
①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率
之差Kmp-的值由正连续变为负。
②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；
③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；
线段MP的斜率Kmp
当Kmp－=0时，解得
直线MP的方程为
令
当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。
当时，.
所以存在使得
即当MP与曲线有异于M,P的公共点
综上，t的最小值为2.
（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为
解法二：
（1）同解法一.
（2）由得，令，得
由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为
，所以函数在处取得极值。故M().N()
(Ⅰ) 直线MP的方程为
由
得
线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数
上有零点.
因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.
又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.
等价于 即
又因为,所以m 的取值范围为(2,3)
从而满足题设条件的r的最小值为2.
21、本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中，
（1）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换
已知矩阵M所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A ‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l:3x+4y-12=0与圆C: (为参数 )试判断他们的公共点个数
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1
21.
(1)解:依题意得
由得,故
从而由得
故为所求.
(2)解:圆的方程可化为.
其圆心为,半径为2.
(3)解:当x<0时,原不等式可化为
又不存在;
当时,原不等式可化为
又
当
综上,原不等式的解集为
