2018版高考数学(浙江·文理通用)大一轮教师文档讲义:第七章7-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

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2018版高考数学(浙江·文理通用)大一轮教师文档讲义:第七章7-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

‎1.二元一次不等式表示的平面区域 ‎(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线.‎ ‎(2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号即可判断Ax+By+C>0表示的直线是Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.‎ ‎2.线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x,y组成的一次不等式 线性约束条件 由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x,y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ‎【知识拓展】‎ ‎1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界,特殊点定域:‎ ‎(1)直线定界:不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线;‎ ‎(2)特殊点定域:若直线不过原点,特殊点常选原点;若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.‎ ‎2.利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:‎ 对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则有 ‎(1)当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;‎ ‎(2)当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.‎ ‎3.最优解和可行解的关系:‎ 最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.( × )‎ ‎(2)点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0同侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.( √ )‎ ‎(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示.( √ )‎ ‎(4)线性目标函数的最优解是唯一的.( × )‎ ‎(5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.( √ )‎ ‎(6)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.( × )‎ ‎1.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的是(  )‎ A.(0,0) B.(-1,1)‎ C.(-1,3) D.(2,-3)‎ 答案 C 解析 把各点的坐标代入可得(-1,3)不适合,故选C.‎ ‎2.(教材改编)不等式组表示的平面区域是(  )‎ 答案 C 解析 用特殊点代入,比如(0,0),容易判断为C.‎ ‎3.(2016·北京)若x,y满足则2x+y的最大值为(  )‎ A.0 B.3 C.4 D.5‎ 答案 C 解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z=2x+y,则y=-2x+z,作直线2x+y=0并平移,当直线过点A时,截距最大,即z取得最大值,‎ 由得所以A点坐标为(1,2),可得2x+y的最大值为2×1+2=4.‎ ‎4.(2017·杭州质检)设实数x,y满足不等式组若z=2x+y,则z的最大值等于________,z的最小值等于________.‎ 答案 2 0‎ 解析 作出可行域(图略),由y=-2x+z,知当z=2x+y经过点(1,0)时,zmax=2;‎ 当z=2x+y经过点(0,0)时,zmin=0.‎ 题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1 不含参数的平面区域问题 例1 (1)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的(  )‎ ‎(2)不等式组所表示的平面区域的面积等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 (1)C (2)C 解析 (1)(x-2y+1)(x+y-3)≤0⇒ 或画出平面区域后,只有C符合题意.‎ ‎(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分,A(0,),B(1,1),C(0,4),则△ABC的面积为×1×=.故选C.‎ 命题点2 含参数的平面区域问题 例2 (1)(2015·重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为(  )‎ A.-3 B.1 C. D.3‎ ‎(2)若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是_________________.‎ 答案 (1)B (2) 解析 (1) 不等式组表示的平面区域如图,则图中A点纵坐标yA=1+m,B点纵坐标yB=,‎ C点横坐标xC=-2m,‎ ‎∴S△ABD=S△ACD-S△BCD=×(2+2m)×(1+m)-×(2+2m)×==,‎ ‎∴m=1或m=-3,当m=-3时,不满足题意应舍去,‎ ‎∴m=1.‎ ‎(2)不等式组表示的平面区域如图所示.‎ 由于直线y=kx+过定点.因此只有直线过AB中点时,直线y=kx+能平分平面区域.‎ 因为A(1,1),B(0,4),所以AB中点D.‎ 当y=kx+过点时,=+,‎ 所以k=.‎ 思维升华 (1)求平面区域的面积:‎ ‎①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域;‎ ‎②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可.‎ ‎(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.‎ ‎ (1)不等式组表示的平面区域为Ω,直线y=kx-1与区域Ω有公共点,则实数k 的取值范围为(  )‎ A.(0,3] B.[-1,1]‎ C.(-∞,3] D.[3,+∞)‎ ‎(2)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的值为(  )‎ A.1 B.-1 C.0 D.-2‎ 答案 (1)D (2)A 解析 (1)直线y=kx-1过定点M(0,-1),由图可知,当直线y=kx-1经过直线y=x+1与直线x+y=3的交点C(1,2)时,k最小,此时kCM==3,因此k≥3,即k∈[3,+∞).故选D.‎ ‎(2)由于x=1与x+y-4=0不可能垂直,所以只可能x+y-4=0与kx-y=0垂直或x=1与kx-y=0垂直.‎ ‎①当x+y-4=0与kx-y=0垂直时,k=1,检验知三角形区域面积为1,即符合要求.‎ ‎②当x=1与kx-y=0垂直时,k=0,检验不符合要求.‎ 题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值 例3 (1)(2016·全国丙卷)若x,y满足约束条件 则z=x+y的最大值为________.‎ ‎(2)已知实数x,y满足:z=|2x-2y-1|,则z的取值范围是(  )‎ A.[,5] B.[0,5]‎ C.[0,5) D.[,5)‎ 答案 (1) (2)C 解析 (1)满足约束条件的可行域为以A(-2,-1),B(0,1),C为顶点的三角形内部及边界,则y=-x+z过点C时Z取得最大值.‎ ‎(2)由约束条件作可行域如图,‎ 联立解得 ∴A(2,-1),‎ 联立解得∴B(,).‎ 令u=2x-2y-1,则y=x--,由图可知,当y=x--经过点A(2,-1)时,直线y=x--在y轴上的截距最小,u最大,最大值为2×2-2×(-1)-1=5;当y=x--经过点B(,)时,直线y=x--在y轴上的截距最大,u最小,最小值为2×-2×-1=-.‎ ‎∴-≤u<5,∴z=|u|∈[0,5).‎ 命题点2 求非线性目标函数的最值 例4 实数x,y满足 ‎(1)若z=,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;‎ ‎(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.‎ 解 由作出可行域,‎ 如图中阴影部分所示.‎ ‎ (1)z=表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,‎ 因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在,即zmax不存在).‎ 由得B(1,2),‎ ‎∴kOB==2,即zmin=2,‎ ‎∴z的取值范围是[2,+∞).‎ ‎(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.‎ 因此x2+y2的最小值为OA2,最大为OB2.‎ 由得A(0,1),‎ ‎∴OA2=()2=1,‎ ‎∴zmax=5,OB2=()2=5,‎ ‎∴z的取值范围是[1,5].‎ 引申探究 ‎1.若z=,求z的取值范围.‎ 解 z=可以看作过点P(1,1)及(x,y)两点的直线的斜率.‎ ‎∴z的取值范围是(-∞,0].‎ ‎2.若z=x2+y2-2x-2y+3.求z的最大值、最小值.‎ 解 z=x2+y2-2x-2y+3‎ ‎=(x-1)2+(y-1)2+1,‎ 而(x-1)2+(y-1)2表示点P(1,1)与Q(x,y)的距离的平方PQ2,(PQ)=(0-1)2+(2-1)2=2,‎ ‎(PQ)=()2=,‎ ‎∴zmax=2+1=3,zmin=+1=.‎ 命题点3 求参数值或取值范围 例5 (1)(2015·山东)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a等于(  )‎ ‎ A.3 B.2 C.-2 D.-3‎ ‎(2)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=________.‎ 答案 (1)B (2) 解析 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.‎ 易知A(2,0),‎ 由得B(1,1).‎ 由z=ax+y,得y=-ax+z.‎ ‎∴当a=-2或a=-3时,z=ax+y在O(0,0)处取得最大值,最大值为zmax=0,不满足题意,排除C,D选项;当a=2或3时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值,‎ ‎∴2a=4,∴a=2,排除A,故选B.‎ ‎(2)作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).‎ 易知直线z=2x+y过交点A时,z取最小值,‎ 由得 ‎∴zmin=2-2a=1,解得a=.‎ 思维升华 (1)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.‎ ‎(2)当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题,常见代数式的几何意义:‎ ‎①表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,表示点(x,y)与点(a,b)的距离;‎ ‎②表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.‎ ‎(3)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件.‎ ‎ (1)(2016·临沂检测)若x,y满足约束条件则z=x-y的最小值是(  )‎ A.-3 B.0 C. D.3‎ ‎(2)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是________.‎ 答案 (1)A (2)[1,]‎ 解析 (1) 作出不等式组表示的可行域(如图所示的△ABC的边界及内部).‎ 平移直线z=x-y,易知当直线z=x-y经过点C(0,3)时,目标函数z=x-y取得最小值,即zmin=-3.‎ ‎(2)画可行域如图所示,设目标函数z=ax+y,即y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,则a>0,数形结合知,满足即可,解得1≤a≤.所以a的取值范围是[1,].‎ 题型三 线性规划的实际应用问题 例6 (2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.‎ 答案 216 000‎ 解析 设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为 目标函数z=2 100x+900y.‎ 作出可行域为图中的四边形,‎ 包括边界,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,zmax=2 100×‎ ‎60+900×100=216 000(元).‎ 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤 ‎(1)审题:仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,借助表格或图形理清变量之间的关系.‎ ‎(2)设元:设问题中起关键作用(或关联较多的)量为未知量x,y,并列出相应的不等式组和目标函数.‎ ‎(3)作图:准确作出可行域,平移找点(最优解).‎ ‎(4)求解:代入目标函数求解(最大值或最小值).‎ ‎(5)检验:根据结果,检验反馈.‎ ‎ (2016·杭州质检)某校今年计划招聘女教师a名,男教师b名,若a,b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名,则x等于(  )‎ A.10 B.12 C.13 D.16‎ 答案 C 解析 如图所示,画出约束条件所表示的区域,即可行域,作直线l:b+a=0,平移直线l,再由a,b∈N,可知当a=6,b=7时,xmax=a+b=13.‎ ‎7.含参数的线性规划问题 典例 (1)在直角坐标系xOy中,若不等式组表示一个三角形区域,则实数k的取值范围是________.‎ ‎(2)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=________.‎ 错解展示 解析 (1) 如图,直线y=k(x-1)-1过点(1,-1),‎ 作出直线y=2x,当k<-1或02时,不等式组表示一个三角形区域.‎ ‎(2)由不等式组表示的可行域,可知z=ax+y在点A(1,1)处取到最大值4,‎ ‎∴a+1=4,∴a=3.‎ 答案 (1)(-∞,-1)∪(0,2)∪(2,+∞) (2)3‎ 现场纠错 解析 (1)直线y=k(x-1)-1过定点(1,-1),当这条直线的斜率为负值时,该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方,即直线的斜率为(-∞,-1),只有此时可构成三角形区域.‎ ‎(2) 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.‎ 由得A(1,1).‎ z=ax+y等价于y=-ax+z,‎ 因为z的最大值为4,‎ 即直线y=-ax+z的纵截距最大为4.‎ 若z=ax+y在A(1,1)处取得最大值,‎ 则纵截距必小于2,‎ 故只有直线y=-ax+z过点(2,0)且-a<0时符合题意,‎ ‎∴4=a×2+0,即a=2.‎ 答案 (1)(-∞,-1) (2)2‎ 纠错心得 (1)含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答.‎ ‎(2)目标函数含参的线性规划问题,要根据z的几何意义确定最优解,切忌搞错符号.‎ ‎1.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则a的取值范围为(  )‎ A.(-24,7) B.(-7,24)‎ C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞)‎ 答案 B 解析 由[3×(-3)-2×(-1)-a]·[3×4-2×(-6)-a]<0,‎ 得(a+7)(a-24)<0,∴-70时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=2;‎ 当a<0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=-1.‎ ‎8.(2016·枣庄模拟)已知实数x,y满足约束条件则ω=的最小值是(  )‎ A.-2 B.2‎ C.-1 D.1‎ 答案 D 解析 作出不等式组对应的平面区域如图,‎ ω=的几何意义是区域内的点P(x,y)与定点A(0,-1)所在直线的斜率,‎ 由图象可知当P位于点D(1,0)时,直线AP的斜率最小,此时ω=的最小值为=1.‎ 故选D.‎ ‎9.若关于x,y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形,则其表示的平面区域的面积为______.‎ 答案 或 解析 直线kx-y+1=0过点(0,1),要使不等式组表示的区域为直角三角形,只有直线kx-y+1=0垂直于y轴(如图(1))或与直线x+y=0垂直(如图(2))时才符合题意.所以S=×1×1=或S=××=.‎ ‎10.已知变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围是__________.‎ 答案  解析 画出x、y满足约束条件的可行域如图所示,‎ 要使目标函数z=ax+y仅在点(3,0)处取得最大值,则直线y=-ax+z的斜率应小于直线x+2y-3=0的斜率,即-a<-,‎ ‎∴a>.‎ ‎11.(2017·宜春中学、新余一中联考)设x,y满足约束条件则的取值范围是________.‎ 答案 [3,11]‎ 解析 设z===1+2·,‎ 设z′=,则z′的几何意义为动点P(x,y)到定点D(-1,-1)的斜率.画出可行域如图阴影部分所示,则易得z′∈[kDA,kDB],即z′∈[1,5],∴z=1+2·z′∈[3,11].‎ ‎*12.(2016·嘉兴期末)设不等式组表示的平面区域为M,点P(x,y)是平面区域内的动点,则z=2x-y的最大值是________,若直线l:y=k(x+2)上存在区域M内的点,则k的取值范围是________.‎ 答案 2 [,1]‎ 解析 不等式组对应的平面区域是以点(1,1),(1,3)和(2,2)为顶点的三角形,当z=2x-y经过点(2,2)时取得最大值2.又k=经过点(1,1)时取得最小值,经过点(1,3)时取得最大值1,所以k的取值范围是[,1].‎ ‎13. 已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部).如图所示.‎ ‎(1)写出表示区域D的不等式组;‎ ‎(2)设点B(-1,-6),C(-3,2)在直线4x-3y-a=0的异侧,求a的取值范围.‎ 解 (1)直线AB,AC,BC的方程分别为7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.‎ 原点(0,0)在区域D内,故表示区域D的不等式组为 ‎(2)根据题意有[4×(-1)-3×(-6)-a][4×(-3)-3×2-a]<0,‎ 即(14-a)(-18-a)<0,‎ 解得-18
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