广东省广州市高考数学一模试卷理科

广东省广州市高考数学一模试卷理科

‎2016年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x＜1}‎ ‎2．（5分）已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数所对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎4．（5分）如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（　　）‎ A．3 B．6 C．12 D．24‎ ‎5．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a7+a12=24，则S13=（　　）‎ A．52 B．78 C．104 D．208‎ ‎6．（5分）如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+xn=10，则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=（　　）‎ A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+20‎ ‎7．（5分）在梯形ABCD中AD∥BC，已知AD=4，BC=6，若=m+n（m，n∈R）则=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣ C． D．3‎ ‎8．（5分）设实数x，y满足约束条件，则x2+（y+2）2的取值范围是（　　）‎ A．[，17] B．[1，17] C．[1，] D．[，]‎ ‎9．（5分）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（　　）‎ A．20π B． C．5π D．‎ ‎10．（5分）已知下列四个命题：‎ p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；‎ p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；‎ p3：若，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；‎ p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（　　）‎ A．8+8+4 B．8+8+2 C．2+2+ D．++‎ ‎12．（5分）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．‎ 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（　　）‎ A．2017×22015 B．2017×22014 C．2016×22015 D．2016×22014‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）一个总体中有60个个体，随机编号为0，1，2，…59，依编号顺序平均分成6个小组，组号为1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组中抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是　　．‎ ‎14．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为　　．‎ ‎15．（5分）（x2﹣x﹣2）4的展开式中，x3的系数为　　（用数字填写答案）‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=，则函数g（x）=2|x|f（x）﹣2的零点个数为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD．‎ ‎（Ⅰ）求AD的长；‎ ‎（Ⅱ）求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．‎ ‎（I）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；‎ ‎（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．‎ ‎19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．‎ ‎（I）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；‎ ‎（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N；‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ex+m﹣x3，g（x）=ln（x+1）+2．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；‎ ‎（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3．‎ ‎　‎ ‎【选修4-1：几何证明选讲】‎ ‎22．（10分）如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．‎ ‎（I）求证：DE2=AE•BE；‎ ‎（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．‎ ‎　‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．‎ ‎　‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．‎ ‎（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；‎ ‎（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2016•广州一模）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x＜1}‎ ‎【考点】交集及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】集合思想；定义法；集合．‎ ‎【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A={x|﹣1＜x＜1}，‎ 由B中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，‎ 解得：0≤x≤1，即B={x|0≤x≤1}，‎ 则A∩B={x|0≤x＜1}，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2016•广州一模）已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数所对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有 ‎【专题】数形结合；转化思想；数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解：∵复数===1+2i，复数z的共轭复数=1﹣2i所对应的点在第四象限．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2016•蚌埠三模）执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎【考点】程序框图．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．‎ ‎【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x＞100，跳出循环体，确定输出k的值．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 x=3，k=0‎ x=9，k=2‎ 不满足条件x＞100，x=21，k=4‎ 不满足条件x＞100，x=45，k=6‎ 不满足条件x＞100，x=93，k=8‎ 不满足条件x＞100，x=189，k=10‎ 满足条件x＞100，退出循环，输出k的值为10．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2016•广州一模）如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（　　）‎ A．3 B．6 C．12 D．24‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】由条件利用余弦函数的周期性，求得ω的值．‎ ‎【解答】解：∵函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，‎ ‎∴•=，求得ω=6，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查余弦函数的图象，余弦函数的周期性，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2016•广州一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a7+a12=24，则S13=（　　）‎ A．52 B．78 C．104 D．208‎ ‎【考点】等差数列的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由题意和等差数列的性质可得a7的值，再由等差数列的性质和求和公式可得S13=13a7，代值计算可得．‎ ‎【解答】解：由题意和等差数列的性质可得3a7=a2+a7+a12=24，‎ 解得a7=8，故S13===13a7=104，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，求出a7是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2016•广州一模）如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+xn=10，则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=（　　）‎ A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+20‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】由抛物线性质得|PnF|==xn+1，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2=4x上的点，‎ 它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，‎ x1+x2+…+xn=10，‎ ‎∴|P1F|+|P2F|+…+|PnF|‎ ‎=（x1+1）+（x2+1）+…+（xn+1）‎ ‎=x1+x2+…+xn+n ‎=n+10．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查抛物线中一组线段和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2016•广州一模）在梯形ABCD中AD∥BC，已知AD=4，BC=6，若=m+n（m，n∈R）则=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣ C． D．3‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】利用平面向量的三角形法以及平面向量基本定理求出m，n．‎ ‎【解答】解：由题意，如图，=m+n=，‎ 所以n=，m=1，所以=﹣3．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的三角形法则和平面向量基本定理；属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2016•福建校级模拟）设实数x，y满足约束条件，则x2+（y+2）2的取值范围是（　　）‎ A．[，17] B．[1，17] C．[1，] D．[，]‎ ‎【考点】简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；作图题；转化思想；数形结合法；不等式．‎ ‎【分析】由题意作平面区域，而x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，﹣2）与阴影内的点的距离的平方，从而结合图象解得．‎ ‎【解答】解：由题意作平面区域如下，‎ ‎，‎ x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，﹣2）与阴影内的点的距离的平方，‎ 而点A到直线y=x﹣1的距离d==，‎ B（﹣1，2），故|AB|==，‎ 故（）2≤x2+（y+2）2≤（）2，‎ 即≤x2+（y+2）2≤17，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用，同时考查了转化思想的应用．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2016•广州一模）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（　　）‎ A．20π B． C．5π D．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，球心为O，一个顶点为A，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．‎ ‎【解答】解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，‎ 设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则球心O是O1，O2的中点．‎ ‎∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1，‎ ‎∴Rt△AO1O中，AO1=1，O1O=，可得AO==，‎ 因此，该球的体积为V=π•（）3=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题给出一个正六棱柱，求它的外接球的体积，着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2016•广州一模）已知下列四个命题：‎ p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；‎ p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；‎ p3：若，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；‎ p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．菁优网版权所有 ‎【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．‎ ‎【分析】p1：根据线面垂直的判断定理判定即可；‎ p2：根据奇函数的定义判定即可；‎ p3：对表达式变形可得=x+1+﹣1，利用均值定理判定即可；‎ p4：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立．‎ ‎【解答】解：p1：根据判断定理可知，若直线l和平面α内两条相交的直线垂直，则l⊥α，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；‎ p2：根据奇函数的定义可知，f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），故∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），故正确；‎ p3：若=x+1+﹣1≥1，且当x=0时，等号成立，故不存在x0∈（0，+∞），f（x0）=1，故错误；‎ p4：在△ABC中，根据大边对大角可知，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可知，sinA＞sinB，故正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】考查了线面垂直，奇函数的定义，均值定理和三角形的性质及正弦定理的应用．属于基础题型，应熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2016•福建校级模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（　　）‎ A．8+8+4 B．8+8+2 C．2+2+ D．++‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 ‎【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．‎ ‎【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．‎ ‎【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：‎ 其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．‎ ‎∴S△ABC==4，S△BCD==4．‎ ‎∵AC=4，AC⊥CD，∴S△ACD==8，‎ 由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．‎ ‎∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．‎ ‎∴S△ABD==4．‎ ‎∴几何体的表面积为8+8+4．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了不规则放置的几何体的三视图和面积计算，作出直观图是解题关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2016•广州一模）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．‎ 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（　　）‎ A．2017×22015 B．2017×22014 C．2016×22015 D．2016×22014‎ ‎【考点】归纳推理．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；规律型；探究型；推理和证明．‎ ‎【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论 ‎【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，‎ 且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，‎ 故第1行的第一个数为：2×2﹣1，‎ 第2行的第一个数为：3×20，‎ 第3行的第一个数为：4×21，‎ ‎…‎ 第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，‎ 第2016行只有M，‎ 则M=（1+2016）•22014=2017×22014‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）（2016•蚌埠三模）一个总体中有60个个体，随机编号为0，1，2，…59，依编号顺序平均分成6个小组，组号为1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组中抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是　43　．‎ ‎【考点】系统抽样方法．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．‎ ‎【分析】由总体容量及组数求出间隔号，然后用3加上40即可．‎ ‎【解答】解：总体为60个个体，依编号顺序平均分成6个小组，则间隔号为=10，‎ 所以在第5组中抽取的号码为3+10×4=43．‎ 故答案为：43．‎ ‎【点评】本题考查了系统抽样，系统抽样是根据分组情况求出间隔号，然后采用简单的随机抽样在第一组随机抽取一个个体，其它的只要用第一组抽到的号码依次加上间隔号即可．此题为基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2016•广州一模）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】设出A，F的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，bc的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），F（c，0），B（0，b），‎ 可得=（﹣a，﹣b），=（c，﹣b），‎ 由，可得﹣ac+b2=0，‎ 即有b2=c2﹣a2=ac，‎ 由e=，可得e2﹣e﹣1=0，‎ 解得e=（负的舍去）．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示，考查双曲线的渐近线方程和离心率公式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2016•广州一模）（x2﹣x﹣2）4的展开式中，x3的系数为　﹣40　（用数字填写答案）‎ ‎【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想；综合法；二项式定理．‎ ‎【分析】解法一：根据（x2﹣x﹣2）4 =（x﹣2）4•（x+1）4 ，把（x﹣2）4和（x+1）4 分别使用二项式定理展开，可得x3的系数．‎ 解法二：根据乘方的意义，分类讨论求得x3的系数．‎ ‎【解答】解：解法一：∵（x2﹣x﹣2）4 =（x﹣2）4•（x+1）4 =‎ ‎[•x4+•x3•（﹣2）+•x2•（﹣2）2+•x•（﹣2）3+•（﹣2）4]•（•x4+•x3+•x2+•x+）‎ 故x3的系数为﹣2•1+4•+（﹣8）•+16•=﹣40，‎ 故答案为：﹣40．‎ 解法二：∵（x2﹣x﹣2）4 表示4个因式（x2﹣x﹣2）的乘积，‎ x3的系数可以是：从4个因式中选一因式提供x2，其余的3个因式中有一个提供（﹣x），其余的2个因式都提供（﹣2），‎ 也可以是从4个因式中选3个因式都提供（﹣x），其余的1个提供（﹣2），可得x3的系数，‎ 故x3的系数为：•（﹣1）•（﹣2）2+（﹣1）•（﹣2）=﹣48+8=﹣40．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，乘方的意义，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2016•广州一模）已知函数f（x）=，则函数g（x）=2|x|‎ f（x）﹣2的零点个数为　2　．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；作图题；数形结合法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】函数g（x）=2|x|f（x）﹣2的零点个数转化为方程g（x）=2|x|f（x）﹣2=0的解的个数，再转化为函数f（x）与y=的图象的交点的个数，从而解得．‎ ‎【解答】解：令g（x）=2|x|f（x）﹣2=0得，‎ f（x）=，‎ 作函数f（x）与y=的图象如下，‎ ‎，‎ 结合图象可知，函数的图象有两个不同的交点，‎ 故函数g（x）=2|x|f（x）﹣2的零点个数为2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了函数的零点与方程的根，方程的根与函数的图象的交点的关系应用，考查了数形结合的思想．‎ ‎　‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2016•江苏模拟）如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥‎ BC，AC=5，CD=5，BD=2AD．‎ ‎（Ⅰ）求AD的长；‎ ‎（Ⅱ）求△ABC的面积．‎ ‎【考点】解三角形．菁优网版权所有 ‎【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．‎ ‎【分析】（1）假设AD=x，分别在△ACD和△ABC中使用余弦定理计算cosA，列方程解出x；‎ ‎（2）根据（1）的结论计算sinA，代入面积公式计算．‎ ‎【解答】解：（1）设AD=x，则BD=2x，∴BC==．‎ 在△ACD中，由余弦定理得cosA==，‎ 在△ABC中，由余弦定理得cosA==．‎ ‎∴=，解得x=5．‎ ‎∴AD=5．‎ ‎（2）由（1）知AB=3AD=15，cosA==，∴sinA=．‎ ‎∴S△ABC===．‎ ‎【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016•蚌埠三模）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．‎ ‎（I）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；‎ ‎（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计．‎ ‎【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；‎ ‎（Ⅱ）求出每件产品质量指标值落在区间[45，75）内的概率为0.6，利用题意可得：X～B（3，0.6），根据概率分布知识求解即可．‎ ‎【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和为1﹣0.04﹣0.12﹣0.19﹣0.3=0.35，‎ ‎∵质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1，‎ ‎∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05；‎ ‎（Ⅱ）根据样本频率分布直方图，每件产品质量指标值落在区间[45，75）内的概率为0.6，‎ 由题意可得：X～B（3，0.6）‎ ‎∴X的概率分布列为 ‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ 0.064‎ ‎ 0.288‎ ‎ 0.432‎ ‎ 0.216‎ ‎∴EX=0.288+2×0.432+3×0.216=1.8‎ ‎【点评】‎ 本题考查概率分布在实际问题中的应用，结合了统计的知识，综合性较强，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016•南昌校级二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．‎ ‎（I）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；‎ ‎（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．‎ ‎【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．‎ ‎【解答】证明：（1）∵A1O⊥面ABCD，且BD，AC⊂面ABCD，‎ ‎∴A1O⊥BD，‎ 又∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，‎ ‎∵A1O∩AC=O，‎ ‎∴BD⊥面A1AC，‎ ‎∵BD⊂平面BB1D1D，‎ ‎∴平面A1CO⊥平面BB1D1D ‎（2）建立以O为坐标原点，OA，OB，OA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：‎ ‎∵AB=AA1=2，∠BAD=60°，‎ ‎∴OB=1，OA=，‎ ‎∵AA1=2，‎ ‎∴A1O=1．‎ 则A（，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，1），C（﹣，0，0），‎ ‎==（﹣，1，0），=（0，1，0），=（﹣，0，0），‎ ‎=（0，0，1），‎ 则=+=（﹣，1，1），‎ 设平面BOB1的一个法向量为=（x，y，z），‎ 则，‎ 令x=，则y=0，z=3，即=（，0，3），‎ 设平面OB1C的一个法向量为=（x，y，z），‎ 则，‎ 令y=1，则z=﹣1，x=0，则=（0，1，﹣1），‎ cos＜，＞===﹣，‎ ‎∵二面角B﹣OB1﹣C是钝二面角，‎ ‎∴二面角B﹣OB1﹣C的余弦值是﹣．‎ ‎【点评】本小题主要考查面面垂直的判断和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016•福建校级模拟）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N；‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）由题意可设椭圆标准方程，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，‎ 则，解得：a2=8，b2=4．‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（2）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），‎ 则，‎ A（﹣，0），‎ AF所在直线方程，取x=0，得，‎ ‎∴N（0，），‎ AE所在直线方程为，取x=0，得y=．‎ 则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），‎ 半径r=，‎ 圆的方程为=，‎ 即．‎ 取y=0，得x=±2．‎ ‎∴以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016•广州一模）已知函数f（x）=ex+m﹣x3，g（x）=ln（x+1）+2．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；‎ ‎（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 ‎【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得m；‎ ‎（2）f（x）＞g（x）﹣x3即为ex+m＞ln（x+1）+2．由函数y=ex﹣x﹣1，求得最小值，可得ex≥x+1，则ex+m＞x+m+1，再由h（x）=x+m+1﹣ln（x+1）﹣2=x+m﹣ln（x+1）﹣1，求出导数，求得最小值，由条件即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=ex+m﹣x3的导数为f′（x）=ex+m﹣3x2，‎ 在点（0，f（0））处的切线斜率为k=em=1，‎ 解得m=0；‎ ‎（2）证明：f（x）＞g（x）﹣x3即为 ex+m＞ln（x+1）+2．‎ 由y=ex﹣x﹣1的导数为y′=ex﹣1，‎ 当x＞0时，y′＞0，函数递增；当x＜0时，y′＜0，函数递减．‎ 即有x=0处取得极小值，也为最小值0．‎ 即有ex≥x+1，则ex+m≥x+m+1，‎ 由h（x）=x+m+1﹣ln（x+1）﹣2=x+m﹣ln（x+1）﹣1，‎ h′（x）=1﹣，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增；‎ ‎﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．‎ 即有x=0处取得最小值，且为m﹣1，‎ 当m≥1时，即有h（x）≥m﹣1≥0，‎ 即x+m+1≥ln（x+1）+2，‎ 则有f（x）＞g（x）﹣x3成立．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造法，以及不等式的传递性，考查推理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎【选修4-1：几何证明选讲】‎ ‎22．（10分）（2016•广州一模）如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．‎ ‎（I）求证：DE2=AE•BE；‎ ‎（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 ‎【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．‎ ‎【分析】（Ⅰ）推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE•BE．‎ ‎（Ⅱ）由切割线定理得EF2=EA•EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，‎ ‎∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，‎ ‎∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，‎ ‎∴，∴DE2=AE•BE．‎ 解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，‎ ‎∴EF2=EA•EB，‎ ‎∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB﹣EA=6，‎ 由（Ⅰ）知DE2=AE•BE，∴DE=4，‎ ‎∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC==．‎ ‎【点评】本题考查与圆有关的线段间等量关系的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．‎ ‎　‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎23．（2016•广州一模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 ‎【专题】选作题；数形结合；转化思想；消元法；坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（I）利用可把圆C的极坐标方程化为普通方程．‎ ‎（II）消去参数把直线l的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，得出直线与圆的位置关系即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ，化为x2+y2﹣2y=0，配方为x2+（y﹣1）2=1．‎ ‎（2）曲线C的圆心C（0，1），半径r=1．‎ 直线l：，（t为参数，t∈R）化为普通方程：﹣y﹣1=0，‎ 可得圆心C到直线l的距离d==1=0，‎ ‎∴直线l与圆C相切，其切点即为所求．‎ 联立，解得D．‎ ‎【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎24．（2016•淮南二模）设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．‎ ‎（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；‎ ‎（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得b大于f（x）的最大值．再根据绝对值的意义可得f（x）的最大值为+，可得实数b的范围．‎ ‎【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）≥，即|x+1|﹣|x|≥，‎ 即数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离大于，‎ 而﹣0.25对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于，‎ 故|x+1|﹣|x|≥ 的解集为{x|x≥﹣0.25}．‎ ‎（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，即 f（x）＜b恒成立，‎ 则b大于f（x）的最大值．‎ 函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到对应点的距离，‎ 故f（x）的最大值为+，故实数b＞+．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；沂蒙松；w3239003；caoqz；lincy；zlzhan；changq；炫晨；qiss；洋洋；zhczcb；豫汝王世崇；whgcn；双曲线；刘长柏；maths；sxs123（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2017年3月12日 考点卡片 ‎　‎ ‎1．交集及其运算 ‎【知识点的认识】‎ 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．‎ 符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．‎ A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．‎ 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．‎ 运算形状：‎ ‎①A∩B=B∩A．②A∩∅=∅．③A∩A=A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B=A⇔A⊆B．⑥A∩B=∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（CUA）=∅．⑧CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）．‎ ‎【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．‎ ‎【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．‎ 命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．‎ ‎　‎ ‎2．命题的真假判断与应用 ‎【知识点的认识】‎ ‎ 判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．‎ 注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+‎ ‎1=0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分． ‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．‎ ‎ 2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．‎ ‎3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．‎ ‎【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．‎ ‎　‎ ‎3．函数零点的判定定理 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、函数零点存在性定理：‎ ‎ 一般地，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是f（x）=0的根．‎ 特别提醒：‎ ‎（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．‎ ‎（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）=x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．‎ ‎（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．‎ ‎2、函数零点个数的判断方法：‎ ‎（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．‎ 特别提醒：‎ ‎①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1=0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；‎ ‎②函数的零点是实数而不是数轴上的点．‎ ‎（2）代数法：求方程f（x）=0的实数根．‎ ‎　‎ ‎4．利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【考点描述】‎ ‎ 利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．‎ ‎【实例解析】‎ ‎ 例：已知函数y=xlnx，求这个函数的图象在点x=1处的切线方程．‎ ‎ 解：k=y'|x=1=ln1+1=1‎ 又当x=1时，y=0，所以切点为（1，0）‎ ‎∴切线方程为y﹣0=1×（x﹣1），‎ 即y=x﹣1．‎ ‎ 我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．‎ ‎　‎ ‎5．简单线性规划 ‎【概念】‎ ‎ 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．‎ ‎【例题解析】‎ 例：若目标函数z=x+y中变量x，y满足约束条件．‎ ‎（1）试确定可行域的面积；‎ ‎（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．‎ ‎ 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，‎ 其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），‎ 则可行域的面积S==．‎ ‎ （2）由z=x+y，得y=﹣x+z，则平移直线y=﹣x+z，‎ 则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y=﹣x+z得截距最小，‎ 此时z最小为z=2+3=5，‎ 当直线经过点B（4，3）时，直线y=﹣x+z得截距最大，‎ 此时z最大为z=4+3=7，‎ 故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）‎ ‎ 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．‎ ‎【考点预测】‎ ‎ 线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标曲线．‎ ‎　‎ ‎6．等差数列的性质 ‎【知识点的知识】‎ 等差数列的性质：‎ ‎（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d=0，则为常数列； ‎ ‎（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； ‎ ‎（3）m，n∈N+，则am=an+（m﹣n）d；‎ ‎（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有 as+at=2ap； ‎ ‎（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．‎ ‎（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．‎ ‎（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1=an+an+2，‎ ‎2an=an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+） ‎ ‎（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．‎ ‎　‎ ‎7．平面向量的基本定理及其意义 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、平面向量基本定理内容：‎ ‎ 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．‎ ‎2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．‎ ‎3、说明：‎ ‎（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．‎ ‎（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．‎ ‎　‎ ‎8．复数的代数表示法及其几何意义 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、复数的代数表示法 ‎ 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z=a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．‎ ‎2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：‎ ‎（1）|z|=|z﹣0|=a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a； ‎ ‎（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．‎ ‎3、复数中的解题策略：‎ ‎（1）证明复数是实数的策略：‎ ‎①z=a+bi∈R⇔b=0（a，b∈R）；②z∈R⇔z=z．‎ ‎（2）证明复数是纯虚数的策略：‎ ‎①z=a+bi为纯虚数⇔a=0，b≠0（a，b∈R）； ‎ ‎②b≠0时，z﹣z=2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+z=0且z≠0．‎ ‎　‎ ‎9．系统抽样方法 ‎【知识点的认识】‎ ‎1．定义：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．‎ ‎2．系统抽样的特征：‎ ‎（1）当总体容量N较大时，适宜采用系统抽样；‎ ‎（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此系统抽样又称等距抽样，这里的间隔一般为k=‎ ‎（3）在第一部分的抽样采用简单随机抽样；‎ ‎（4）每个个体被抽到的可能性相等 ‎3．系统抽样与简单随机抽样的关系：‎ ‎（1）系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，当将总体均分后对每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；‎ ‎（2）系统抽样和简单随机抽样都是等概率抽样，它是公平的．‎ ‎4．系统抽样与简单随机抽样的优缺点：‎ ‎（1）当总体的个体数较大时，用系统抽样比用简单随机抽样更易实施，更节约成本；‎ ‎（2）系统抽样比简单随机抽样应用范围更广；‎ ‎（3）系统抽样所得到的样本的代表性和个体的编号有关，而简单随机抽样所得到的样本的代表性与编号无关，如果编号的特征随编号的变化呈一定的周期性，可能造成系统抽样的代表性很差．‎ ‎【解题方法点拨】‎ 系统抽样的一般步骤：‎ ‎（1）编号：采用随机的方式将总体中的个体编号；‎ ‎（2）分段：确定分段间隔k，对编号进行分段（N为总体个数，n为样本容量）：‎ ‎①当时，k=，‎ ‎②当时，通过从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体数N′能被n整除，这时k=‎ ‎（注意这时要重新编号1﹣N′后，才能再分段）‎ ‎（3）确定起始编号：在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l（l∈N，l≤‎ k）；‎ ‎（4）抽样：按事先确定的规则抽取样本，即l，l+k，l+2k，…，l+（n﹣1）k．‎ ‎【命题方向】‎ ‎1．考查系统抽样的定义 例：某小礼堂有25排座位，每排有20个座位．一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，讲座后为了了解有关情况，留下了座位号是15的25名学生进行测试，这里运用的抽样方法是（　　）‎ A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 分析：由题意可得，从第一排起，每隔20人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，符合系统抽样的定义．‎ 解答：由题意可得，从第一排起，每隔20人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，故属于系统抽样，‎ 故选C．‎ 点评：本题考查系统抽样的定义和方法，属于容易题．‎ ‎2．考查系统抽样的应用 例：将参加夏令营的100名学生编号为001，002，…，100．先采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽得的号码为003，那么从048号到081号被抽中的人数是　　‎ 分析：根据系统抽样的定义，即可得到结论．‎ 解答：∵样本容量为20，首个号码为003，‎ ‎∴样本组距为100÷20=5‎ ‎∴对应的号码数为3+5（x﹣1）=5x﹣2，‎ 由48≤5x﹣2≤81，‎ 得10≤x≤16.6，‎ 即x=10，11，12，13，14，15，16，共7个，‎ 故答案为：7．‎ 点评：本题主要考查系统抽样的应用，利用系统抽样的定义建立号码关系是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎10．频率分布直方图 ‎【知识点的认识】‎ ‎1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．‎ ‎2．频率分布直方图的特征 ‎①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．‎ ‎②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．‎ ‎③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．‎ ‎3．频率分布直方图求数据 ‎①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．‎ ‎②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．‎ ‎③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．‎ ‎【解题方法点拨】‎ 绘制频率分布直方图的步骤：‎ ‎　‎ ‎11．离散型随机变量及其分布列 ‎【考点归纳】‎ ‎1、相关概念；‎ ‎（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．‎ ‎（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．‎ ‎（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 ‎ ‎（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．‎ ‎2、离散型随机变量 ‎（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．‎ ‎（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．‎ ‎3、离散型随机变量的分布列．‎ ‎（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：‎ ‎ X ‎ x1‎ ‎ x2‎ ‎ …‎ ‎ xi ‎ …‎ ‎ xn ‎ P ‎ p1‎ ‎ p2‎ ‎ …‎ ‎ pi ‎ …‎ ‎ pn 该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．‎ ‎（2）性质：①pi≥0，i=1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn=1．‎ ‎　‎ ‎12．离散型随机变量的期望与方差 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、离散型随机变量的期望 数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 x1‎ x2‎ ‎…‎ xn ‎…‎ P p1‎ p2‎ ‎…‎ pn ‎…‎ 则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．‎ 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．‎ 平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1=p2=…=pn，则有p1=p2=…=pn=，Eξ=（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值． ‎ 期望的一个性质：若η=aξ+b，则E（aξ+b）=aEξ+b． ‎ ‎2、离散型随机变量的方差；‎ 方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，‎ 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．‎ 标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．‎ 方差的性质：．‎ 方差的意义：‎ ‎（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；‎ ‎（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；‎ ‎（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．‎ ‎　‎ ‎13．二项式定理的应用 ‎【知识点的知识】‎ 二项式定理的应用：‎ ‎（1）求特征项：先求通项公式，再求满足条件的r；‎ ‎（2）求二项式系数及项的系数的问题：‎ ‎①二次项系数：每项中的组合数 ‎②项的系数：除去变量以外的部分 ‎（3）证明组合恒等式问题：熟记组合数的各个性质；‎ ‎（4）整除、余数的问题：通常把底数适当地拆成两项之和或之差，再按二项式定理展开推得所求结论；‎ ‎（5）近似计算的问题：一般地，当a较小时，（1+a）n≈1+na ‎*记清二项展开式的特点，熟记二项展开式的通项公式是正确应用二项式定理的关键．‎ ‎　‎ ‎14．程序框图 ‎【知识点的知识】‎ ‎1．程序框图 ‎（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；‎ ‎（2）构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止框 表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的．‎ 输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置．‎ 处理框 赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．‎ 判断框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．‎ 流程线 算法进行的前进方向以及先后顺序 连结点 连接另一页或另一部分的框图 注释框 帮助编者或阅读者理解框图 ‎（3）程序框图的构成．‎ 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．‎ ‎　‎ ‎15．归纳推理 ‎【知识点的认识】‎ ‎1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理． ‎ ‎ 推理形式：设S={A1，A2，A3，…，An，…}，‎ ‎2．特点：‎ ‎（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；‎ ‎（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；‎ ‎（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．‎ ‎3．作用：‎ ‎（1）获取新知，发现真理；‎ ‎（2）说明和论证问题．‎ ‎【解题技巧点拨】‎ 归纳推理一般步骤：‎ ‎（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；‎ ‎（2）提出带有规律性的结论，即猜想；‎ ‎（3）检验猜想．‎ ‎【命题方向】‎ 归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．‎ ‎（1）考查对归纳推理理解 掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．‎ 例1：下列表述正确的是（　　）‎ ‎①归纳推理是由部分到整体的推理；‎ ‎②归纳推理是由一般到一般的推理；‎ ‎③演绎推理是由一般到特殊的推理；‎ ‎④类比推理是由特殊到一般的推理；‎ ‎⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤‎ 分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．‎ 解答：归纳推理是由部分到整体的推理，‎ 演绎推理是由一般到特殊的推理，‎ 类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ 故①③⑤是正确的 故选D 点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．‎ 例2：下列推理是归纳推理的是（　　）‎ A．A，B为定点，动点P满足||PA|﹣|PB||=2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线 B．由a1=2，an=3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式 C．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆的面积S=πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇 分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．‎ 解答：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．‎ B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．‎ C选项由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆的面积S=πab，用的是类比推理，不符合要求．‎ D选项用的是演绎推理，不符合要求．‎ 故选B．‎ 点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．‎ ‎（2）考查归纳推理的运用 做题的关键是读懂题意．‎ 例：对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：‎ ‎22=1+3　 　‎ ‎32=1+3+5　　 ‎ ‎42=1+3+5+7‎ ‎23=3+5　 　‎ ‎33=7+9+11 　　‎ ‎43=13+15+17+19‎ 根据上述分解规律，若m2=1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n=（　　）‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ 分析：根据m2=1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n的值．‎ 解答：：m2=1+3+5+…+11==36，‎ ‎∴m=6‎ ‎∵23=3+5，33=7+9+11，‎ ‎43=13+15+17+19，‎ ‎∴53=21+23+25+27+29，‎ ‎∵n3的分解中最小的数是21，‎ ‎∴n3=53，n=5‎ ‎∴m+n=6+5=11‎ 故选B．‎ 点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n的值是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．三角函数的周期性及其求法 ‎【知识点的认识】‎ 周期性 ‎①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．‎ ‎②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．‎ ‎③函数y=Asin（ωx+φ），x∈R及函数y=Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=．‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎1．一点提醒 求函数y=Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y=sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．‎ ‎2．两类点 y=sin x，x∈[0，2π]，y=cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．‎ ‎3．求周期的三种方法 ‎①利用周期函数的定义．f（x+T）=f（x）‎ ‎②利用公式：y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y=tan（ωx+φ）的最小正周期为．‎ ‎③利用图象．图象重复的x的长度．‎ ‎　‎ ‎17．y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义 ‎【知识点的知识】‎ 函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的物理意义 当函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈[0，+∞））表示一个简谐振动时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f=叫做频率，ωx+φ叫做相位，x=0时的相位φ叫做初相．‎ ‎　‎ ‎18．解三角形 ‎【知识点的知识】‎ 在解三角形时，常用定理及公式如下表：‎ 名称 公式 变形 内角和定理 A+B+C=π ‎+=﹣，2A+2B=2π﹣2C 余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA b2=a2+c2﹣2accosB c2=a2+b2﹣2abcosC cosA=‎ cosB=‎ cosC=‎ 正弦定理 ‎=2R R为△ABC的外接圆半径 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC sinA=，sinB=，sinC=‎ 射影定理 acosB+bcosA=c acosC+ccosA=b bcosC+ccosB=a 面积公式 ‎①S△=aha=bhb=chc ‎②S△=absinC=acsinB=bcsinA ‎③S△=‎ ‎④S△=，（s=（a+b+c））；‎ ‎⑤S△=（a+b+c）r ‎（r为△ABC内切圆半径）‎ sinA=‎ sinB=‎ sinC=‎ ‎　‎ ‎19．椭圆的简单性质 ‎【知识点的认识】‎ ‎1．椭圆的范围 ‎2．椭圆的对称性 ‎3．椭圆的顶点 顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．‎ 顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）‎ 其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．‎ ‎4．椭圆的离心率 ‎①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=，且0＜e＜1．‎ ‎②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：‎ e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a=b时，c=0，椭圆变为圆，方程为x2+y2=a2．‎ ‎5．椭圆中的关系：a2=b2+c2．‎ ‎　‎ ‎20．抛物线的简单性质 ‎【知识点的知识】‎ 抛物线的简单性质：‎ ‎　‎ ‎21．双曲线的简单性质 ‎【知识点的知识】‎ 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 ‎（a＞0，b＞0）‎ ‎（a＞0，b＞0）‎ 图形 性 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0）‎ F1（0，﹣c），F2（0，c） ‎ 质 焦距 ‎|F1F2|=2c a2+b2=c2‎ 范围 ‎|x|≥a，y∈R ‎|y|≥a，x∈R 对称 关于x轴，y轴和原点对称 顶点 ‎（﹣a，0）．（a，0）‎ ‎（0，﹣a）（0，a）‎ 轴 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e=（e＞1）‎ 准线 x=±‎ y=±‎ 渐近线 ‎±=0‎ ‎±=0‎ ‎　‎ ‎22．由三视图求面积、体积 ‎【知识点的认识】‎ ‎1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：‎ ‎（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；‎ ‎（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；‎ ‎（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．‎ ‎2．三视图的画图规则：‎ ‎（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；‎ ‎（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；‎ ‎（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．‎ ‎3．常见空间几何体表面积、体积公式 ‎（1）表面积公式：‎ ‎（2）体积公式：‎ ‎【解题思路点拨】‎ ‎1．解题步骤：‎ ‎（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）‎ ‎（2）选对应公式 ‎（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）‎ ‎（4）代公式计算 ‎2．求面积、体积常用思想方法：‎ ‎（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；‎ ‎（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；‎ ‎（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；‎ ‎（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．‎ ‎【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．‎ 例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A.8﹣2π B.8﹣π C.8﹣ D.8﹣‎ 分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．‎ 解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，‎ 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，‎ ‎∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．‎ 故选：B．‎ 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．球的体积和表面积 ‎【知识点的认识】‎ ‎1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．‎ ‎2．球体的体积公式 设球体的半径为R，‎ ‎ V球体=‎ ‎3．球体的表面积公式 设球体的半径为R，‎ ‎ S球体=4πR2．‎ ‎【命题方向】‎ 考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．‎ ‎　‎ ‎24．平面与平面垂直的判定 ‎【知识点的认识】‎ 平面与平面垂直的判定：‎ 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．‎ ‎　‎ ‎25．用空间向量求平面间的夹角 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、用空间向量求平面间夹角的方法：‎ 设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则 ‎（1）当0≤＜，＞≤，θ=＜，＞，此时cosθ=cos＜，＞=．‎ ‎（2）当＜＜，＞≤π时，θ=cos（π﹣＜，＞）=﹣cos＜，＞=﹣=．‎ ‎2、用空间向量直线与平面所成角的求法：‎ ‎（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．‎ ‎（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ=|cos φ|=．‎ ‎　‎ ‎26．二面角的平面角及求法 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、二面角的定义：‎ ‎ 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．‎ ‎2、二面角的平面角-- ‎ 在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．‎ ‎3、二面角的平面角求法：‎ ‎（1）定义；‎ ‎（2）三垂线定理及其逆定理；‎ ‎①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．‎ ‎②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．‎ ‎（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；‎ ‎（4）平移或延长（展）线（面）法；‎ ‎（5）射影公式；‎ ‎（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；‎ ‎（7）向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或补角）相等．‎ ‎　‎ ‎27．与圆有关的比例线段 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、相交弦定理 ‎ ‎ 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． ‎ ‎2、割线定理 ‎ ‎ 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．‎ ‎3、切割线定理 ‎ ‎ 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． ‎ ‎4、切线长定理 ‎ ‎ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎ 相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这四个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理以及圆内接四边形的性质定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题． ‎ ‎ 因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到两条割线要想到割线定理；见到切线和割线要想到切割线定理．‎ ‎　‎ ‎28．简单曲线的极坐标方程 ‎【知识点的认识】‎ 一、曲线的极坐标方程 ‎ 定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）=0有如下关系 ‎（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）=0；‎ ‎（2）以方程f（ρ，θ）=0的所有解为坐标的点都在曲线C上．‎ ‎ 则曲线C的方程是f（ρ，θ）=0．‎ 二、求曲线的极坐标方程的步骤：‎ 与直角坐标系里的情况一样 ‎①建系 （适当的极坐标系）‎ ‎②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）‎ ‎③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式） ‎ ‎④将等式坐标化 ‎⑤化简 （此方程f（ρ，θ）=0即为曲线的方程）‎ 三、圆的极坐标方程 ‎（1）圆心在极点，半径为r，ρ=r．‎ ‎（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．‎ ‎ ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）=r2．‎ 四、直线的极坐标方程 ‎（1）过极点，θ=θ0（ρ∈R）‎ ‎（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ=a ‎（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ=a ‎（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）=ρ1sin（α﹣θ1）‎ 五、直线的极坐标方程步骤 ‎1、据题意画出草图；‎ ‎2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；‎ ‎3、连接MO；‎ ‎4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；‎ ‎5、检验并确认所得的方程即为所求．‎ ‎　‎ ‎29．参数方程化成普通方程 ‎【知识点的认识】‎ 参数方程和普通方程的互化 由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x=f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．‎ ‎　‎ ‎30．绝对值不等式的解法 ‎【知识点的认识】‎ 绝对值不等式的解法 ‎1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集 ‎ 不等式 ‎ a＞0 ‎ a=0 ‎ a＜0 ‎ ‎|x|＜a ‎ ‎{x|﹣a＜x＜a}‎ ‎∅‎ ‎∅‎ ‎|x|＞a ‎ ‎{x|x＞a，或x＜﹣a}‎ ‎{x|x≠0}‎ R ‎ ‎2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：‎ ‎ （1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；‎ ‎ （2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤﹣c；‎ ‎ （3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：‎ 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．‎ 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎1、解绝对值不等式的基本方法：‎ ‎（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；‎ ‎（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；‎ ‎（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．‎ ‎2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．‎ ‎3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．‎ ‎4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．‎ ‎　‎