各省高考数学圆锥曲线大题汇总

各省高考数学圆锥曲线大题汇总

‎【14湖北省2】（本小题满分13分）如图，已知、是抛物线：上的两个不同的点，且，，直线是线段的垂直平分线．设椭圆的方程为．‎ ‎（1）当、在上移动时，求直线的斜率的取值范围；‎ ‎（2）已知直线与抛物线交于、两点，与椭圆交于、两点，设线段的中点为，线段的中点为，若，求椭圆的离心率的取值范围．‎ ‎【14湖北省2答案】（1）由题意知，直线的斜率为，‎ 又，，∴直线的斜率为． （2分）‎ ‎∵，由，得，即（当时，等号成立），∴．‎ ‎∵、是不同的两点，即，∴，∴，‎ 即或．‎ ‎∴直线的斜率的取值范围为． （4分）‎ ‎（2）由题意易得，线段的中点坐标为．‎ ‎∵直线是线段的垂直平分线，‎ ‎∴直线的方程为， （5分）‎ 又∵，，即，‎ ‎∴直线的方程为． （6分）‎ 将直线的方程分别代入抛物线方程和椭圆方程并整理得，‎ ‎， ①‎ ‎．②‎ 易知方程①的判别式，‎ 方程②的判别式，‎ 由（1）易知，又，∴，∴恒成立．‎ 设，则 ‎，‎ ‎∴线段的中点的坐标为，‎ 又∵，‎ ‎∴线段的中点的坐标为． （9分）‎ ‎∴，，由得，‎ ‎，即， ∴． （10分）‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴．由题易知，椭圆的离心率，，‎ ‎∴，∴，∴．‎ 故椭圆的离心率的取值范围为． （13分）‎ ‎【14湖北1】（满分14分）在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1，记点M的轨迹为C.‎ (1) 求轨迹为C的方程 设斜率为k的直线过定点，求直线与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。‎ ‎【14湖北1答案】‎ ‎【14全国卷1】20. (本小题满分12分) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎（I）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.‎ ‎【14全国卷1答案】(Ⅰ) 设()，由条件知，得= 又，‎ 所以a=2=， ,故的方程. ……….6分 ‎（Ⅱ）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设 ‎ 将代入，得，‎ 当，即时，‎ 从而= + 又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积 ，‎ 设，则，，‎ 当且仅当，时等号成立，且满足，所以当OPQ的面积最大时，的方程为： 或. …………………………12分 ‎【14全国卷2】（本小题满分12分）‎ 设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.‎ ‎（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.‎ ‎【14全国卷2答案】‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【14福建】‎ ‎【14福建答案】‎ ‎【14广东】20.（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.‎ ‎【14广东答案】‎ ‎【14湖南】‎ ‎1、如图7，O为坐标原点，椭圆:（a>b>0）的左、右焦点分别为，，离心率为：双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为。已知=，且。‎ ‎（Ⅰ）求、的的方程；‎ ‎（Ⅱ）过做的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值 ‎【14湖南答案】‎ 解:(1)由题可得,且,因为,且,所以且且,所以椭圆方程为,双曲线的方程为.学科网 (1) 由(1)可得,因为直线不垂直于轴,所以设直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,则,则,因为在直线上,所以,因为为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得,则直线的方程为,联立直 ‎【14辽宁】20. （本小题满分12分）‎ 圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.‎ ‎【14辽宁答案】‎ ‎【14山东】（21）（本小题满分14分）‎ 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，‎ ‎（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.‎ 20. ‎【14陕西】（本小题满分13分）‎ 如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.‎ （1） 求的值；‎ （2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.‎ ‎【14陕西答案】 ‎ ‎（1）‎ （2） ‎【14四川】20．已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q。‎ ‎（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；‎ ‎（ii）当最小时，求点T的坐标。‎ ‎【14四川答案】解：（1）依条件 所以椭圆C的标准方程为 ‎（2）设，，，又设中点为 ‎（i）因为，所以直线的方程为：‎ 所以 于是，‎ 所以。因为 所以，，三点共线 即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）‎ ‎（ii），‎ 所以，令（）‎ 则（当且仅当时取“”）‎ 所以当最小时，即或，此时点T的坐标为或 ‎【13湖北】21、如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，，，。记，和的面积分别为和。‎ ‎（I）当直线与轴重合时，若，求的值；‎ ‎（II）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由。‎ ‎【13湖北答案】（I），‎ 解得：（舍去小于1的根）‎ ‎（II）设椭圆，，直线：‎ 同理可得，‎ 又和的的高相等 如果存在非零实数使得，则有，‎ 即：，解得 当时，，存在这样的直线；当时，，不存在这样的直线。‎ ‎【相关知识点】直线与椭圆相交的问题（计算异常复杂）‎ ‎【12湖北】21.（本小题满分13分）‎ 设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；‎ ‎（2）过原点且斜率为的直线交曲线于两点，其中在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线交曲线于另一点，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎