2014高考导数压轴题终极解答60930
导数解答题专项
目 录
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (3)
二、交点与根的分布 (7)
三、不等式证明 (8)
(一)作差证明不等式
(二)变形构造函数证明不等式
(三)替换构造不等式证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围 (13)
(一)恒成立之最值的直接应用
(二)恒成立之分离常数
(三)恒成立之讨论字母范围
五、函数与导数性质的综合运用 (16)
六、导数应用题 (20)
七、导数结合三角函数 (21)
书中常用结论:
⑴ ,变形即为 ,
其几何意义为 上的的点与原点连线斜率小于1.
⑵
⑶
⑷ .
sin 1x
x
<
sin , (0, )y x x π= ∈
1xe x> +
ln( 1)x x> +
ln , 0xx x e x< < >
sin , (0, )x x x π< ∈
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1. (切线)设函数 .
(1)当 时,求函数 在区间 上的最小值;
(2)当 时,曲线 在点 处的切线为 , 与 轴交于点
求证: .
2. (2009天津理20,极值比较讨论)
已知函数 其中
⑴当 时,求曲线 处的切线的斜率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
⑵当 时,求函数 的单调区间与极值.
3. 已知函数
⑴设两曲线 有公共点,且在公共点处的切线相同,若 ,试建立 关
于 的函数关系式,并求 的最大值;
⑵若 在(0,4)上为单调函数,求 的取值范围。
4. (最值,按区间端点讨论)
已知函数f(x)=lnx- .
(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求a的值.
5. (最值直接应用)
已知函数 ,其中 .
(Ⅰ)若 是 的极值点,求 的值;
(Ⅱ)求 的单调区间;
(Ⅲ)若 在 上的最大值是 ,求 的取值范围.
6. (2010北京理数18)
已知函数 =ln(1+ )- + ( ≥0).
(Ⅰ)当 =2时,求曲线 = 在点(1, (1))处的切线方程;
(Ⅱ)求 的单调区间.
7. (2010山东文21,单调性)
已知函数
⑴当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
axxf −= 2)(
1=a )()( xxfxg = ]1,0[
0>a )(xfy = )))((,( 111 axxfxP > l l x )0,( 2xA
axx >> 21
2 2( ) ( 2 3 ) ( ),xf x x ax a a e x= + − + ∈R a∈R
0a = ( ) (1, (1))y f x f= 在点
2
3a ≠ ( )f x
2 21( ) 2 , ( ) 3 ln .2f x x ax g x a x b= + = +
( ) ( )y f x y g x= =与 0a > b
a b
[0,2], ( ) ( ) ( ) (2 )b h x f x g x a b x∈ = + − − a
a
x
)1ln(2
1)( 2 xaxxxf +−−= a∈R
2x = )(xf a
)(xf
)(xf [0, )+ ∞ 0 a
x x 2
2
x x k
k y f
1( ) ln 1( )af x x ax a Rx
−= − + − ∈
1a = − ( )y f x= (2, (2))f
3
2
( )f x
( )f x
( )f x
⑵当 时,讨论 的单调性
8. (是一道设计巧妙的好题,同时用到 e 底指、对数,需要构造函数,证存在且唯一时结合零
点存在性定理不好想,⑴⑵联系紧密)
已知函数
⑴若函数 φ (x) = f (x)- ,求函数 φ (x)的单调区间;
⑵设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0,f (x0))处的切线,证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的
x0,使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切.
9. (最值应用,转换变量)
设函数 .
(1)讨论函数 在定义域内的单调性;
(2)当 时,任意 , 恒成立,求实
数 的取值范围.
10. (最值应用)
已知二次函数 对 都满足 且 ,设函数
( , ).
(Ⅰ)求 的表达式;
(Ⅱ)若 ,使 成立,求实数 的取值范围;
(Ⅲ)设 , ,求证:对于 ,恒有
.
11. 设 是函数 的一个极值点.
(1)求 与 的关系式(用 表示 ),并求 的单调区间;
(2)设 ,若存在 ,使得 成立,求
的取值范围.
12. .
(1)若 ,求函数 的极值;
(2)若 是函数 的一个极值点,试求出 关于 的关系式(用 表示 ),并确
定 的单调区间;
(3)在(2)的条件下,设 ,函数 .若存在 使得
成立,求 的取值范围.
.
13. (2010山东,两边分求,最小值与最大值)
1
2a ≤ ( )f x
1
1
x
x
+
-
22 1( ) (2 )ln ( 0)axf x a x ax
+= − + <
( )f x
( 3, 2)a∈ − − 1 2, [1,3]x x ∈ 1 2( ln3) 2ln3 | ( ) ( ) |m a f x f x+ − > −
m
( )g x x R∀ ∈ 2( 1) (1 ) 2 1g x g x x x− + − = − − (1) 1g = −
1 9( ) ( ) ln2 8f x g x m x= + + + m R∈ 0x >
( )g x
x R+∃ ∈ ( ) 0f x ≤ m
1 m e< ≤ ( ) ( ) ( 1)H x f x m x= − + 1 2 [1, ]x x m∀ ∈,
1 2| ( ) ( ) | 1H x H x− <
3x = ( ) ( ) ( )2 3 ,xf x x ax b e x R−= + + ∈
a b a b ( )f x
( ) 2 250, 4
xa g x a e > = +
[ ]1 2, 0,4ξ ξ ∈ ( ) ( )1 2 1f gξ ξ− < a
2( ) ( ) ( )xf x x ax b e x R= + + ∈
2, 2a b= = − ( )f x
1x = ( )f x a b a b
( )f x
0a > 2 4( ) ( 14) xg x a e += + ]4,0[, 21 ∈λλ
1|)()(| 21 <− λλ ff a
( ) ln , ( ) .xf x x g x e= =
已知函数 .
⑴当 时,讨论 的单调性;
⑵设 当 时,若对任意 ,存在 ,使
,求实数 取值范围.
.
14. 设函数 .
(Ⅰ)当 时,过原点的直线与函数 的图象相切于点 P,求点 P 的坐标;
(Ⅱ)当 时,求函数 的单调区间;
(Ⅲ)当 时,设函数 ,若对于 ], [0,1]
使 ≥ 成立,求实数 b 的取值范围.( 是自然对数的底, )
15. (2010山东,两边分求,最小值与最大值)
已知函数 .
⑴求 在 上的最小值;
⑵若存在 ( 是常数, =2.71828 )使不等式 成立,求实数 的取
值范围;
⑶证明对一切 都有 成立.
16. (最值应用)
设函数 ,且 ,其中 是自然对数的底数.
⑴求 与 的关系;
⑵若 在其定义域内为单调函数,求 的取值范围;
⑶设 ,若在 上至少存在一点 ,使得 > 成立,求实数 的取值范
围.
17. (2011湖南文,第2问难,单调性与极值,好题)
设函数
⑴讨论函数 的单调性;
⑵若 有两个极值点 ,记过点 的直线斜率为 ,问:是否存
在 ,使得 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
1( ) ln 1af x x ax x
−= − + − ( )a∈R
1
2a ≤ ( )f x
2( ) 2 4.g x x bx= − + 1
4a = 1 (0,2)x ∈ [ ]2 1,2x ∈
1 2( ) ( )f x g x≥ b
2( ) ln , ( ) 3f x x x g x x ax= = − + −
( )f x [ , 2]( 0)t t t+ >
1 ,x ee
∈ e e ⋅⋅⋅ 2 ( ) ( )f x g x≥ a
(0, ),x∈ +∞ 1 2ln xx e ex
> −
( ) 2lnqf x px xx
= − − ( ) 2pf e qe e
= − − e
p q
( )f x p
2( ) eg x x
= [ ]1,e 0x 0( )f x 0( )g x p
1( ) ln ( ).f x x a x a Rx
= − − ∈
( )f x
( )f x 1 2,x x 1 1( , ( )),A x f x 2 2( , ( ))B x f x k
a 2k a= − a
11ln)( −−+−=
x
aaxxxf
1=a )(xf
2
10 << a )(xf
3
1=a 12
52)( 2 −−= bxxxg ex ,01 (∈∀ ∈∃ 2x
)( 1xf )( 2xg e 13 +
( ) 2lnf x x ax= − 0x > ( )f x
( )f x
[ ]1,3 ,α β 1β α− ≥ ( ) ( )f fα β=
ln3 ln 2 ln 2
5 3a
− ≤ ≤
2( ) ln( 1) , 0f x ax x ax a= + + − >
2
1=x )(xf a
)(xf
[1,2]a∈ ( )f x m≤ 1[ ,1]2
m
Ra ∈ eaaxexf
x
)(1(2)( 2 ++=
−
)(xf
]2,1[1)( 2
∈> xexf 在
( )f x
( )f x ( )f x
( )f x
xxf ln)( =
21( ) ln ( 1) ( 0)2f x x ax a x a R a= − + − ∈ ≠,
( )f x
( )F x C 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 C
C 0 0( , )M x y 1 2
0 2
x xx
+= C M AB
( )F x ( )f x
⑴若 ,求 的极大值;
⑵若 在定义域内单调递减,求满足此条件的实数k的取值范围.
二、交点与根的分布
24. (2008四川22,交点个数与根的分布)
已知 是函数 的一个极值点.
⑴求 ;
⑵求函数 的单调区间;
⑶若直线 与函数 的图像有 个交点,求 的取值范围.
25. 已知函数 在 上是减函数,在 上是增函数,函数
在 上有三个零点.
(1)求 的值;
(2)若1是其中一个零点,求 的取值范围;
(3)若 ,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x)
相切?请说明理由.
26. (交点个数与根的分布)
已知函数
⑴求 在区间 上的最大值
⑵是否存在实数 使得 的图像与 的图像有且只有三个不同的交点?若
存在,求出 的取值范围;若不存在,说明理由。
27. (交点个数与根的分布)
已知函数
⑴求f(x)在[0,1]上的极值;
⑵若对任意 成立,求实数a的取值范围;
⑶若关于x的方程 在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.
28. (2009宁夏,利用根的分布)
已知函数
⑴如 ,求 的单调区间;
⑵若 在 单调增加,在 单调减少,证明: <6. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
于是 w.w
29. (2009天津文,利用根的分布讨论)
)()()( Rax
axfxF ∈+= )(xF
kxxfxG −= 2)]([)(
3x = 2( ) ln(1 ) 10f x a x x x= + + −
a
( )f x
y b= ( )y f x= 3 b
( ) 3 2f x x ax bx c= − + + + ( ),0−∞ ( )0,1
( )f x R
b
( )2f
( ) ( )' 21 3 lna g x f x x x= = + +,
2( ) 8 , ( ) 6ln .f x x x g x x m= − + = +
( )f x [ ], 1t t + ( );h t
,m ( )y f x= ( )y g x=
m
.2
3)32ln()( 2xxxf −+=
0]3)(ln[|ln|],3
1,6
1[ >+′+−∈ xxfxax 不等式
bxxf +−= 2)(
3 2( ) ( 3 ) xf x x x ax b e−= + + +
3a b= = − ( )f x
( )f x ( , ),(2, )α β−∞ ( ,2),( , )α β +∞ β α−
6.a < − 6.β α− >
设函数 ,其中
⑴当 时,求曲线 在点 处的切线的斜率
⑵求函数 的单调区间与极值
⑶已知函数 有三个互不相同的零点 ,且 ,若对任意的
恒成立,求 的取值范围.
30. (2007全国II理22,转换变量后为根的分布)
已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程;
(2)设 ,如果过点 可作曲线 的三条切线,证明:
.
31. 已知函数 在点 处的切线方程为 .
⑴求函数 的解析式;
⑵若对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ,求实数 的最
小值;
⑶若过点 可作曲线 的三条切线,求实数 的取值范围.
32. (2011省模,利用⑴的结论,转化成根的分布分题)
已知 ,函数 (其中 )
(I)求函数 在区间 上的最小值;
(II)是否存在实数 ,使曲线 在点 处的切线与y轴垂直?若存在,求
出 的值;若不存在,请说明理由。
33. 已知函数 ,函数 是区间[-1,1]上的减函数.
(I)求 的最大值;
(II)若 上恒成立,求t的取值范围;
(Ⅲ)讨论关于x的方程 的根的个数.
三、不等式证明
作差证明不等式
34. (2010湖南,最值、作差构造函数)
已知函数 .
(1)求函数 的单调递减区间;
( ) ( ) ( )3 2 21 13f x x x m x x= − + + − ∈R 0m >
1m = ( )y f x= ( )( )1, 1f
( )f x
( )f x 1 20 x x、 、 1 2x x<
[ ] ( ) ( )1 2, , 1x x x f x f∈ > m
3( )f x x x= −
( )y f x= ( ( ))M t f t,
0a > ( )a b, ( )y f x= ( )a b f a− < <
( ) ( )3 2 3 ,f x ax bx x a b R= + − ∈ ( )( )1, 1f 2 0y + =
( )f x
[ ]2,2− 1 2,x x ( ) ( )1 2f x f x c− ≤ c
( )( )2, 2M m m ≠ ( )y f x= m
a∈R ( ) ln 1, ( ) (ln 1) ,xaf x x g x x e xx
= + − = − + 2.718e ≈
( )f x ( ]0,e
( ]0 0,x e∈ ( )y g x= 0x x=
0x
xxf =)( xxfxg sin)()( += λ
λ
]1,1[1)( 2 −∈++< xttxg 在λ
mexxxf
x +−= 2)(
ln 2
xxxf −+= )1ln()(
)(xf
(2)若 ,求证: ≤ ≤x.
35. (2007湖北20,转换变量,作差构造函数,较容易)
已知定义在正实数集上的函数 , ,其中 .设两曲线
, 有公共点,且在该点处的切线相同.
⑴用 表示 ,并求 的最大值;
⑵求证:当 时, .
36. (2009全国II理21,字母替换,构造函数)
设函数 有两个极值点 ,且
⑴求 的取值范围,并讨论 的单调性;
⑵证明: .
变形构造函数证明不等式
37. (变形构造新函数,一次)
已知函数 .
⑴试讨论 在定义域内的单调性;
⑵当 <-1时,证明: , .求实数 的取值范围.
38. (2011辽宁理21,变形构造函数,二次)
已知函数 .
⑴讨论函数 的单调性;
⑵设 ,如果对任意 , ≥ ,求 的取值范围.
39. (2010辽宁文21,构造变形,二次)
已知函数 .
⑴讨论函数 的单调性;
⑵设 ,证明:对任意 , .
40. (辽宁,变形构造,二次)
已知函数f(x)= x2-ax+(a-1) , .
(1)讨论函数 的单调性;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)证明:若 ,则对任意x ,x ,x x ,有 .
41. 已知函数
(1)确定函数 的单调性;
1−>x 1
11 +−
x
)1ln( +x
21( ) 22f x x ax= + 2( ) 3 lng x a x b= + 0a >
( )y f x= ( )y g x=
a b b
0x > ( ) ( )f x g x≥
( ) ( )2 ln 1f x x a x= + + 1 2x x、 1 2x x<
a ( )f x
( )2
1 2ln 2
4f x
−>
( ) ( 1)lnf x a x ax= + −
( )f x
a 1 2, (0,1)x x∀ ∈ 1 2
1 2
| ( ) ( ) | 1| |
f x f x
x x
− >− m
1ln)1()( 2 +++= axxaxf
)(xf
1−
( )f x
5a < 1 2
∈ (0, )+∞ 1 ≠ 2
1 2
1 2
( ) ( ) 1f x f x
x x
− > −−
( ) 1 ln ( 0).f x x a x a= − − <
( )y f x=
(2)若对任意 ,且 ,都有 ,求实数 a 的取值
范围。
42. (变形构造)
已知二次函数 和“伪二次函数” ( 、 、
),
(I)证明:只要 ,无论 取何值,函数 在定义域内不可能总为增函数;
(II)在二次函数 图象上任意取不同两点 ,线段 中
点的横坐标为 ,记直线 的斜率为 ,
(i)求证: ;
(ii)对于“伪二次函数” ,是否有①同样的性质?证明你的结论.
43. (变形构造,第2问用到均值不等式)
已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+4ax+1,g(x)=6a2lnx+2b+1,其中a>0.
⑴设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同,用a表示b,并求b的最大值;
⑵设h(x)=f(x)+g(x)-8x,证明:若a≥-1,则h(x)在(0,+∞)上单调递增;
⑶设F(x)=f(x)+g(x),求证:对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2有>8.
44. 已知函数 ,a为正常数.
⑴若 ,且a ,求函数 的单调增区间;
⑵在⑴中当 时,函数 的图象上任意不同的两点 , ,线段 的
中点为 ,记直线 的斜率为 ,试证明: .
⑶若 ,且对任意的 , ,都有 ,求a的
取值范围.
45. 已知函数 ( ).
(Ⅰ)求函数 的单调区间;
(Ⅱ)记函数 的图象为曲线 .设点 , 是曲线 上的不同两
点.如果在曲线 上存在点 ,使得:① ;②曲线 在点 处的切
线平行于直线 ,则称函数 存在“中值相依切线”.试问:函数 是否存在“中
值相依切线”,请说明理由.
46. 已知函数 .
(1)若 对任意的 恒成立,求实数 的取值范围;
( ]1 2, 0,1x x ∈ 1 2x x≠ 1 2
1 2
1 1| ( ) ( ) | 4 | |f x f x x x
− < −
( ) 2f x ax bx c= + + ( ) 2g x ax= + lnbx c x+ a b
,c R∈ 0abc ≠
0a < b ( )g x
( ) 2f x ax bx c= + + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y AB
0x AB k
0( )k f x′=
( ) 2 lng x ax bx c x= + +
1)( +=
x
axϕ
)(ln)( xxxf ϕ+=
2
9= )(xf
0=a )(xfy = ( )11, yxA ( )22 , yxB AB
),( 00 yxC AB k )( 0xfk ′>
)(ln)( xxxg ϕ+= ( ]2,0, 21 ∈xx 21 xx ≠ 1)()(
12
12 −<−
−
xx
xgxg
21( ) ln ( 1)2f x x ax a x= − + − 0= aaxxxf
2)(' xxf ≤ 0>x a
(2)当 时,设函数 ,若 ,求证
47. 已知 .
(1) 求函数 在 上的最小值;
(2) 对一切 , 恒成立,求实数 a 的取值范围;
(3) 证明: 对一切 ,都有 成立.
48. (2011陕西21,变形构造,反比例)
设函数 定义在 上, ,导函数 , .
(1)求 的单调区间和最小值;
(2)讨论与 的大小关系;
(3)是否存在 ,使得 对任意 成立?若存在,求出 的取值
范围;若不存在,请说明理由.
49. 已知函数 ,
(Ⅰ)求 的极值
(Ⅱ)若 在 上恒成立,求 的取值范围
(Ⅲ)已知 , 且 ,求证
50. 已知函数 的图象为曲线 , 函数 的图象为直线 .
(Ⅰ) 当 时, 求 的最大值;
(Ⅱ) 设直线 与曲线 的交点的横坐标分别为 , 且 , 求证:
.
51. 已知函数 ,其中常数
⑴若 处取得极值,求 a 的值;
⑵求 的单调递增区间;
⑶ 已 知 若 , 且 满 足 , 试 比 较
的大小,并加以证明。
1=a x
xfxg )()( = 1),1,1(, 2121 <+∈ xxexx 4
2121 )( xxxx +<
2( ) ln , ( ) 3f x x x g x x ax= = − + −
( )f x [ , 2]( 0)t t t+ >
(0, )x∈ +∞ 2 ( ) ( )f x g x≥
(0, )x∈ +∞ 1 2ln xx e ex
> −
( )f x (0, )+∞ (1) 0f = 1( )f x x
′ = ( ) ( ) ( )g x f x f x′= + ( )g x
( )g x
1( )g x
0 0x > 0
1| ( ) ( ) |g x g x x
− < 0x > 0x
1 ln( ) a xf x a Rx
− += ∈
( )f x
ln 0x kx− < R+ k
1 0x > 2 0x > 1 2x x e+ < 1 2 1 2x x x x+ >
x
xxf ln)( = C baxxg +=
2
1)( l
3,2 −== ba )()()( xgxfxF −=
l C 21, xx 21 xx ≠
2)()( 2121 >++ xxgxx
21 1( ) ln( )4f x x x x aa
= − + + 0.a >
( ) 1f x x =在
( )f x
10 ,2a< < 1 2 1 2, ( , ),x x a a x x∈ − ≠ 1 2'( ) '( ) 0f x f x+ =
1 2'( ) '(0)f x x f+ 与
替换构造不等式证明不等式
52. ( 第 3 问 用 第 2 问 ) 已 知 , 直 线 与 函 数
的图像都相切,且与函数 的图像的切点的横坐标为1。
(I)求直线 的方程及m的值;
(II)若 ,求函数 的最大值。
(III)当 时,求证:
53. 已知函数 、
(Ⅰ)求函数 的单调区间;
(Ⅱ)若 为正常数,设 ,求函数 的最小值;
(Ⅲ)若 , ,证明: 、
54. (替换构造不等式)
已知函数 在点 的切线方程为 .
⑴求函数 的解析式;
⑵设 ,求证: ≥ 在 上恒成立;(反比例,变形构造)
⑶已知 ,求证: .(替换构造)
55. (替换证明)
已知函数 .
(1)试判断函数 的单调性;
(2)设 ,求 在 上的最大值;
(3)试证明:对任意 ,不等式 都成立(其中 是自然对数的底数).
56. (2010湖北,利用⑵结论构造)
已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
(反比例,作差构造)
⑶ .(替换构造)
21 7( ) ln , ( ) ( 0)2 2f x x g x x mx m= = + + < l
( ), ( )f x g x ( )f x
l
( ) ( 1) '( )( )h x f x g x= + − 其中g' ( x) 是g( x) 的导函数 ( )h x
0 b a< < ( ) (2 ) .2
b af a b f a a
−+ − <
( ) xxxf ln=
( )f x
k ( ) ( ) ( )g x f x f k x= + − ( )g x
0a > 0b > ( ) ( ) ( ) ( )2f a a b ln f a b f b+ + + −≥
1)( 2 +
+=
x
baxxf ))1(,1( −− f 03 =++ yx
( )f x
xxg ln)( = )(xg )(xf ),1[ +∞∈x
ba <<0 22
2lnln
ba
a
ab
ab
+>−
−
ln( ) 1xf x x
= −
( )f x
0m > ( )f x [ ,2 ]m m
*n∈N 1 1ln( )en n
n n
+ +< e
0bf x ax c ax
= + + >( ) ( ) (1, (1))f 1y x= −
a b c⑴用 表示出 、 ;
( ) ln [1 )f x x a+ ∞≥⑵若 在 , 上恒成立,求 的取值范围;
1 1 11 ln( 1) ( 1)2 3 2( 1)
nn nn n
+ + +⋅⋅⋅+ > + + ≥+证明:
57. 已知 的图像在点 处的切线与直线 平行.
(1)求 a,b 满足的关系式;
(2)若 上恒成立,求 a 的取值范围;
(3)证明: (n∈N*)
58. 已知函数
(1)求函数 的极值点。
(2)若 恒成立,试确定实数 的取值范围。
(3)证明: .
59. (替换构造)
已知函数
⑴求函数 的单调区间;
⑵若 ≤0恒成立,试确定实数 的取值范围;(一次,作差构造)
⑶证明:①当 时, ;② .
60. (2011浙江理22,替换构造)
已知函数 .
⑴求 的单调区间和极值;
⑵求证: .
61. (替换构造)
已知函数 .
⑴求函数 的最小值;
⑵若 ≥0对任意的 恒成立,求实数a的值;(一次,作差构造)
⑶在⑵的条件下,证明: .
四、不等式恒成立求字母范围
恒成立之最值的直接应用
62. (2011北京理18倒数第3大题,最值的直接应用)
已知函数 。
⑴求 的单调区间;
⑵若对于任意的 ,都有 ≤ ,求 的取值范围.
( ) 2 2 ( 0)bf x ax a ax
= + + − > (1, (1))f 2 1y x= +
( ) 2ln )f x x≥ ∞在[ 1, +
1 1 1 11 (2 1) ( )3 5 2 1 2 2 1
nn nn n ++ + + + > + + ∈− + 12)12ln(2
1
+++
n
nn
.1)1()1ln()( +−−−= xkxxf
)(xf
0)( ≤xf k
)1,(6
)1)(4(
1
ln
15
4ln
8
3ln
3
2ln
2
>∈−+<−++++ nNnnn
n
n
( ) ln( 1) ( 1) 1.f x x k x= − − − +
( )f x
( )f x k
2x > ln( 1) 2x x− < − *
1
ln ( 1) ( , 1)1 4
n
i
i n n n N ni=
−< ∈ >+∑
( ) 2 ln(1 ) ( 0)f x a x x a= + − >
( )f x
(1 )lg lg lg4lg lg ( 1)2 3
n
n
n
ne e ee e nn
+
+ + +⋅⋅⋅+ > + *( )n N∈
( ) 1( 0, )xf x e ax a e= − − > 为自然对数的底数
( )f x
( )f x x∈R
1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( *)1
n n n nn n e nn n n n e
−+ +⋅⋅⋅+ + < ∈− N其中
2( ) ( )
x
kf x x k e= −
( )f x
(0, )x∈ +∞ ( )f x 1
e k
63. (2008天津理20倒数第3大题,最值的直接应用,第3问带有小的处理技巧)
已知函数 ,其中 .
⑴若曲线 在点 处切线方程为 ,求函数 的解析式;
⑵讨论函数 的单调性;
⑶若对于任意的 ,不等式 在 上恒成立,求 的取值范围.
64. (转换变量,作差)
已知函数 .
⑴若 ,求 的单调区间;
⑵ 已 知 是 的 两 个 不 同 的 极 值 点 , 且 , 若
恒成立,求实数b的取值范围。
恒成立之分离常数
65. (分离常数)
已知函数
(1) 若 在 处的切线平行于直线 ,求函数 的单调区间;
(2) 若 ,且对 时, 恒成立,求实数 的取值范围
66. (2011长春一模,恒成立,分离常数,二阶导数)
已知函数 ,(其中 R, 为自然对数的底数).
(1)当 时,求曲线 在 处的切线方程;
(2)当 ≥1时,若关于 的不等式 ≥0恒成立,求实数 的取值范围.
(改x≥0时, ≥0恒成立. ≤1)
67. (两边取对数的技巧)设函数 且 )
(1)求 的单调区间;
(2)求 的取值范围;
(3)已知 对任意 恒成立,求实数 的取值范围。
68. (分离常数)
已知函数 .
( ) ( )0≠++= xbx
axxf Rba ∈,
( )xfy = ( )( )2,2 fP 13 += xy ( )xf
( )xf
∈ 2,2
1a ( ) 10≤xf
1,4
1 b
2( ) ( ) xf x x a e= −
3a = ( )f x
1 2,x x ( )f x 1 2 1 2| | | |x x x x+ ≥
3 233 ( ) 32f a a a a b< + − +
( ) ln 1, .af x x a Rx
= + − ∈
( )y f x= 0(1, )P y 1y x= − + ( )y f x=
0a > (0,2 ]x e∈ ( ) 0f x > a
12)(
2
−−−= axxexf x ∈a e
0=a )(xfy = ))0(,0( f
x x )(xf a
)(xf
1( ) ( 1( 1)ln( 1)f x xx x
= > −+ + 0x ≠
( )f x
( )f x
1
12 ( 1)mx x+ > + ( 1,0)x∈ − m
1 ln( ) xf x x
+=
a
(Ⅰ)若函数在区间 其中a >0,上存在极值,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)如果当 时,不等式 恒成立,求实数k的取值范围;
69. (2010湖南,分离常数,构造函数)
已知函数 对任意的 恒有 .
⑴证明:当
⑵若对满足题设条件的任意b、c,不等式 恒成立,求M的最小值。
70. (第3问不常见,有特点,由特殊到一般,先猜后证)已知函数
(Ⅰ)求函数f (x)的定义域
(Ⅱ)确定函数f (x)在定义域上的单调性,并证明你的结论.
(Ⅲ)若x>0时 恒成立,求正整数k的最大值.
71. (恒成立,分离常数,涉及整数、较难的处理)
已知函数
(Ⅰ)试判断函数 上单调性并证明你的结论;
(Ⅱ)若 恒成立,求整数k的最大值;(较难的处理)
(Ⅲ)求证:(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3.
72. (分离常数,双参,较难)已知函数 , .
(1)若函数 依次在 处取到极值.
①求 的取值范围;②若 ,求 的值.
(2)若存在实数 ,使对任意的 ,不等式 恒成立.求正整数 的
最大值.
73. (2008湖南理22,分离常数,复合的超范围)
已知函数
⑴求函数 的单调区间;
⑵若不等式 对任意的 都成立(其中e是自然对数的底数),求a的最大值.
(分离常数)
74. (变形,分离常数)
已知函数 (a为实常数).
(1)若 ,求证:函数 在(1,+∞)上是增函数;
1( , )2a a +
1x ≥ ( ) 1
kf x x
≥ +
2( ) ( , ),f x x bx c b c= + + ∈R ,x∈R ( ) ( )f x f x′ ≤
20 ( ) ( ) ;x f x x c+≥ 时, ≤
2 2( ) ( ) ( )f c f b M c b− −≤
x
xnxf )1(11)(
++=
1)( +>
x
kxf
).0()1ln(1)( >++= xx
xxf
),0()( +∞在xf
1)( +>
x
kxf
3 2( ) ( 6 3 ) xf x x x x t e= − + + t R∈
( )y f x= , , ( )x a x b x c a b c= = = < <
t 22a c b+ = t
[ ]0,2t ∈ [ ]1,x m∈ ( )f x x≤ m
2
2( ) ln (1 ) .1
xf x x x
= + − +
( )f x
1(1 )n a en
++ ≤ N*n∈
xaxxf ln)( 2 +=
2−=a )(xf
(2)求函数 在[1,e]上的最小值及相应的 值;
(3)若存在 ,使得 成立,求实数a的取值范围.
75. (分离常数,转换变量,有技巧)
设函数 .
⑴若函数 在 处与直线 相切:
①求实数 的值;②求函数 在 上的最大值;
⑵当 时,若不等式 ≥ 对所有的 都成立,求实数 的取值
范围.
恒成立之讨论字母范围
76. (2007全国I,利用均值,不常见)
设函数 .
⑴证明: 的导数 ;
⑵若对所有 都有 ,求 的取值范围.
77. 设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x).
(Ⅰ)若 x=0 是 F(x)的极值点,求 a 的值;
(Ⅱ)当 a=1 时,设 P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1>0,x2>0), 且 PQ//x 轴,求 P、Q 两点间的最短距离;
(Ⅲ):若 x≥0 时,函数 y=F(x)的图象恒在 y=F(-x)的图象上方,求实数 a 的取值范围.
78. (用到二阶导数,二次)
设函数 .
⑴若 ,求 的最小值;
⑵若当 时 ,求实数 的取值范围.
79. (第 3 问设计很好,2 问是单独的,可以拿掉)已知函数 ,斜率
为 的直线与 相切于 点.
(Ⅰ)求 的单调区间;
(Ⅱ)当实数 时,讨论 的极值点。
(Ⅲ)证明: .
80. (2011全国I文21,恒成立,一次,提出一部分再处理的技巧)
)(xf x
],1[ ex ∈ xaxf )2()( +≤
2( ) lnf x a x bx= −
( )f x 1x = 1
2y = −
,a b ( )f x 1[ , ]ee
0b = ( )f x m x+ 23[0, ], [1, ]2a x e∈ ∈ m
( ) e ex xf x −= −
( )f x ( ) 2f x′ ≥
0x≥ ( )f x ax≥ a
2( ) 2
x kf x e x x= − −
0k = ( )f x
0x ≥ ( ) 1f x ≥ k
1ln)1()( +−+= xxxbxf
1 )(xf (1,0)
( ) ( ) lnh x f x x x= −
0 1a< < 21( ) ( ) ( )ln 2g x f x a x x ax= − + +
( 1) ( ) 0x f x− ≥
设函数 .
⑴若a = ,求 的单调区间;
⑵若当 ≥0时 ≥0,求a的取值范围.
81. (2011全国新理21,恒成立,反比例,提出公因式再处理的技巧,本题的创新之处是将一
般的过定点(0,0)变为过定点(1,0),如果第2问范围变为 则更间单)
已知函数 在点 处的切线方程为 .
⑴求 、 的值;
⑵如果当 ,且 时, ,求 的取值范围。
82. (恒成立,讨论,较容易,但说明原理)已知函数 .
(1)求函数 的单调区间和极值;
(2)若 对 上恒成立,求实数 的取值范围.
83. (2010新课程理21,恒成立,讨论,二次,用到结论 )
设函数 .
⑴若 ,求 的单调区间;
⑵若当 时 ,求 的取值范围.
84. (恒成立,2010全国卷2理数,利用⑴结论,较难的变形讨论)
设函数 .
⑴证明:当 时, ;
⑵设当 时, ,求a的取值范围.
85. 已知函数 ,且函数 是 上的增函数。
(1)求 的取值范围;
(2)若对任意的 ,都有 (e 是自然对数的底),求满足条件的最大整数
的值。
86. (2008山东卷21)
已知函数 其中n∈N*,a为常数.
⑴当n=2时,求函数f(x)的极值;
( ) 2( ) 1xf x x e ax= − −
1
2
( )f x
x ( )f x
1x >
ln( ) 1
a x bf x x x
= ++ (1, (1))f 2 3 0x y+ − =
a b
0x > 1x ≠ ln( ) 1
x kf x x x
> +− k
xaxxf ln)1()( −−=
)(xf
0)( ≥xf ),1[ +∞∈x a
1xe x+≥
2( ) 1xf x e x ax= − − −
0a = ( )f x
0x≥ ( ) 0f x ≥ a
( ) 1 xf x e−= −
x>- 1 ( )
1
xf x x
≥ +
0x ≥ ( )
1
xf x ax
≤ +
1
1)( +
−=
x
kxxf ( )f x ( )1,− +∞
k
0x > 11
1
+<+
−
xe x
kx
k
1( ) ln( 1),(1 )nf x a xx
= + −−
⑵当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1.
五、函数与导数性质的综合运用
87. (综合运用)
已知函数
⑴求函数 的单调区间和极值;
⑵已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称,证明当 时,
⑶如果 ,且 ,证明
88. (2010天津理数21,综合运用)
已知函数
⑴求函数 的单调区间和极值;
⑵已知函数 对任意 满足 ,证明:当 时,
⑶如果 ,且 ,证明:
89. 已知函数
(1) 求函数 的单调区间和极值;
(2) 若函数 对任意 满足 ,求证:当 ,
(3) 若 ,且 ,求证:
90. 已知函数 ,
(Ⅰ)若 ,求 的单调区间;
(Ⅱ)对于任意的 ,比较 与 的大小,并说明理由.
91. (2011辽宁理21,利用2的对称)
已知函数 .
⑴讨论 的单调性;
⑵设 ,证明:当 时, ;(作差)
⑶若函数 的图像与x轴交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为 ,证明:
.
92. (恒成立,思路不常见)
( ) ( )xf x xe x−= ∈R
( )f x
( )y g x= ( )y f x= 1x = 1x >
( ) ( )f x g x>
1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 2x x+ >
1
1( ) (x
xf x xe −
−= ∈R).
( )f x
( )y g x= x ( ) (4 )g x f x= − 2x > ( ) ( );f x g x>
1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 4.x x+ >
1( ) x
xf x e
−= .
( )f x
( )y g x= x ( ) (4 )g x f x= − 2x > ( ) ( );f x g x>
1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 4.x x+ >
xaaxxxf )2(ln)( 2 −+−=
)(xf
0>a ax 10 << )1()1( xafxaf −>+
)(xfy = 0x
0( ) 0f x′ <
( ) ln( 1), ( ) 1xf x x g x e= + = −
( ) ( )F x f x px= + ( )F x
2 1 0x x> > 2 1( ) ( )f x f x− 2 1( )g x x−
已知函数 ,其中 为实数.
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)是否存在实数 ,使得对任意 , 恒成立?若不存在,请说
明理由,若存在,求出 的值并加以证明.
93. 已知函数 ,在区间 上有最大值4,最小值1,设
.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)不等式 在 上恒成立,求实数 的范围;
(Ⅲ)方程 有三个不同的实数解,求实数 的范围.
94. 已知函数 , 设
(1)是否存在唯一实数 ,使得 ,若存在,求正整数 m 的值;若不存在,
说明理由。
(2)当 时, 恒成立,求正整数 n 的最大值。
95. (第 3 问难想)已知函数 ,其中e是自然数的底数, 。
(1) 当 时,解不等式 ;
(2) 若 在[-1,1]上是单调增函数,求 的取值范围;
(3) 当 时,求整数k的所有值,使方程 在[k,k+1]上有解。
96. (2011高考,单调性应用,第2问难)
已知a、b是实数,函数 和 是 的导
函数,若 在区间I上恒成立,则称 和 在区间I上单调性一致.
(1)设 ,若函数 和 在区间 上单调性一致,求实数b的取值范围;
(2)设 且 ,若函数 和 在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求
|a-b|的最大值.
97. (2010湖南文数,另类区间)
已知函数 其中a<0,且a≠-1.
(Ⅰ)讨论函数 的单调性;
(Ⅱ)设函数 (e是自然数的底数)。是否存在
x
axxf ln)(
−= a
2=a )(xfy = ))2(,2( f
a ),1()1,0( +∞∈ x xxf >)(
a
)1,0(12)( 2 <≠++−= babaxaxxg [ ]3,2
( )( ) g xf x x
=
ba,
02)2( ≥⋅− xx kf ]1,1[−∈x k
0)3|12|
2(|)12(| =−−+−
x
x kf k
1( ) (1 )[1 ln( 1)]f x xx
= + + + 2( ) ( )g x x f x′= ⋅ ( 0)x >
( , 1)a m m∈ + ( ) 0g a =
0x > ( )f x n>
2( ) ( ) xf x ax x e= + a R∈
0a < ( ) 0f x >
( )f x a
0a = ( ) 2f x x= +
,)(,)( 23 bxxxgaxxxf +=+= )(xf ′ )(xg′ )(),( xgxf
0)()( ≥′′ xgxf )(xf )(xg
0>a )(xf )(xg ),1[ +∞−
,0
=
a,使 在[a,-a]上为减函数?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。
98. (2008辽宁理22,第2问无从下手,思路太难想)
设函数 .
⑴求 的单调区间和极值;
⑵是否存在实数 ,使得关于 的不等式 的解集为 ?若存在,求 的取值范围;
若不存在,试说明理由.
99. (第二问较难)
设函数 , , 是 的一个极大值点.
⑴若 ,求 的取值范围;
⑵当 是给定的实常数,设 是 的3个极值点,问是否存在实数 ,可找到
,使得 的某种排列 (其中 = )
依次成等差数列?若存在,求所有的 及相应的 ;若不存在,说明理由.
100. 已知函数 , ,记
(Ⅰ)求 的单调区间;
(Ⅱ)当 时,若 ,比较: 与 的大小;
(Ⅲ)若 的极值为 ,问是否存在实数 ,使方程 有四个
不同实数根?若存在,求出实数 的取值范围;若不存在,请说明理由。
六、导数应用题
101. 某工厂生产某种儿童玩具,每件玩具的成本为30元,并且每件玩具的加工费为t元(其中t为
常数,且2≤t≤5),设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售
量与ex(e为自然对数的底数)成反比例,当每件玩具的出厂价为40元时,日销售量为10件.
(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式;
(2)当每件玩具的日售价为多少元时,该工厂的利润y最大,并求y的最大值.
102. 如图,ABCD是正方形空地,正方形的边长为30m,电源在点P处,点P到边AD、AB的距离
分别为9m、3m,某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF,MN:NE=16:
9,线段MN必须过点P,满足M、N分别在边AD、AB上,设 ,液晶广告屏幕MNEF
的面积为
( )g x
ln( ) ln ln( 1)1
xf x x xx
= − + ++
( )f x
a x ( )f x a (0, )+∞ a
2( ) ( ) ( ) xf x x a x b e= − + a b R∈、 x a= ( )f x
0a = b
a 1 2 3x x x, , ( )f x b
4x R∈ 1 2 3 4x x x x, , , 1 2 3 4
, , ,i i i ix x x x { }1 2 3 4i i i i, , , { }1 2 3 4,,,
b 4x
( )f x = lna x 2( )g x x= ( ) ( ) ( )F x g x f x= −
( )F x
1
2a ≥ 1x ≥ ( 1)g x − 1( )f x
( )F x
2
a k 21 ( ) (1 )2 g x f x k− + =
k
( )AN x m=
2( ).S m
(I)求S关于x的函数关系式,并写出该函数的定义域;
(II)当x取何值时,液晶广告屏幕MNEF的面积S最小?
七、导数结合三角函数
103. 已知函数 ,函数 是区间[-1,1]上的减函数.
(I)求 的最大值;
(II)若 上恒成立,求t的取值范围;
(Ⅲ)讨论关于x的方程 的根的个数.
104. 设函数 ( ),其中 .
(Ⅰ)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)当 时,求函数 的极大值和极小值;
(Ⅲ)当 , 时,若不等式 对任意的 恒成
立,求 的值。
xxf =)( xxfxg sin)()( += λ
λ
]1,1[1)( 2 −∈++< xttxg 在λ
mexxxf
x +−= 2)(
ln 2
2( ) ( )f x x x a= − − x∈R a∈R
1a = ( )y f x= (2 (2))f,
0a ≠ ( )f x
3a > [ ]1 0k ∈ − , 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x− −≥ x∈R
k