2010-2017高考数学全国课标卷Ⅰ卷—统计统计案例概率专题

2010-2017高考数学全国课标卷Ⅰ卷—统计统计案例概率专题

‎2010-2017高考数学全国课标卷Ⅰ卷 统计、统计案例、概率专题　‎ ‎ 年份 文理 小题 大题 ‎ 2010‎ 理 ‎6‎ ‎19‎ 文 ‎2011‎ 理 理（4）‎ 文（6）‎ ‎19‎ 文 ‎2012‎ 理 ‎18‎ 文 ‎3‎ ‎18‎ ‎2013‎ 理 ‎3‎ ‎19‎ 文 ‎3‎ ‎18‎ ‎2014‎ 理 ‎5‎ ‎18‎ 文 ‎13‎ ‎18‎ ‎2015‎ 理 ‎4‎ ‎19‎ 文 ‎4‎ ‎2016‎ 理 ‎4‎ ‎19‎ 文 ‎3‎ ‎19‎ ‎2017‎ 理 理（2）‎ 文（4）‎ ‎19‎ 文 ‎19‎ ‎2‎ 注：同一格表示题目一样，如2010年文理大题一样且都放在19题的位置，2011年同一题理科放在第4题，文科放在第6题。‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．（2010全国卷Ⅰ理6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（　　）‎ A．100 B．200 C．300 D．400‎ ‎【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．‎ ‎【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．‎ 而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X 故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于基础性题目．‎ ‎　‎ ‎2．（2011全国卷Ⅰ理4、文6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，‎ 试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，‎ 满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，‎ 由于共有三个小组，则有3种结果，‎ 根据古典概型概率公式得到P=，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．‎ ‎　‎ ‎3．（2012全国卷Ⅰ文3）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C． D．1‎ ‎【分析】所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．‎ ‎【解答】解：由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，‎ ‎∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．‎ ‎　‎ ‎4．（2013全国卷Ⅰ理3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（　　）‎ A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 ‎【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．‎ ‎【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，‎ 而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．‎ 了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．‎ ‎　‎ ‎5．（2013全国卷Ⅰ文3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种，得到概率．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ 试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42=6种结果，‎ 满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），‎ ‎∴要求的概率是 =．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果．‎ ‎　‎ ‎6．（2014全国卷Ⅰ理5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．‎ ‎【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，‎ 周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，‎ ‎∴所求概率为=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．‎ ‎　‎ ‎7．（2015全国卷Ⅰ理4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）‎ A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312‎ ‎【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），‎ 该同学通过测试的概率为=0.648．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎8．（2015全国卷Ⅰ文4）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，‎ 其中只有（3，4，5）为勾股数，‎ 故这3个数构成一组勾股数的概率为．‎ 故选：C ‎【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（2016全国卷Ⅰ理4）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：设小明到达时间为y，‎ 当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，‎ 小明等车时间不超过10分钟，‎ 故P==，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（2016全国卷Ⅰ文3）‎ 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．‎ ‎【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎11．（2017全国卷Ⅰ理2文4）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，‎ 则黑色部分的面积S=，‎ 则对应概率P==，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（2017全国卷Ⅰ文2）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　　）‎ A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 ‎【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解．‎ ‎【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，‎ 故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；‎ 在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；‎ 在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；‎ 在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，‎ 故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用．‎ ‎　‎ 二．填空题（共1小题）‎ ‎13．（2014全国卷Ⅰ文13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为　　．‎ ‎【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有=6种结果，‎ 其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件．‎ ‎　‎ 三．解答题（共12小题）‎ ‎13．（2010全国卷Ⅰ理19文19）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：‎ ‎ 性别 是否需要志愿者 男 女 需要 ‎40‎ ‎30‎ 不需要 ‎160‎ ‎270‎ ‎（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；‎ ‎（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？‎ ‎（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：K2=．‎ ‎【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，‎ ‎（2）求K2的观测值查表，下结论；‎ ‎（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．‎ ‎【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为 ‎ ‎（2）K2的观测值 ‎ ‎ 因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，‎ 所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关． ‎ ‎（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．‎ ‎【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．‎ ‎15．（2011全国卷Ⅰ理19文19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：‎ A配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90，94）‎ ‎[94，98）‎ ‎[98，102）‎ ‎[102，106）‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎8‎ ‎20‎ ‎42‎ ‎22‎ ‎8‎ B配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90，94）‎ ‎[94，98）‎ ‎[98，102）‎ ‎[102，106）‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎4‎ ‎12‎ ‎42‎ ‎32‎ ‎10‎ ‎（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；‎ ‎（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=‎ 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）‎ ‎【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．‎ ‎（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为 ‎∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．‎ 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为 ‎∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；‎ ‎（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间 ‎[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，‎ ‎∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，‎ 即X的分布列为 X ‎﹣2‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎0.04‎ ‎0.54‎ ‎0.42‎ ‎∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68‎ ‎【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题 ‎　‎ ‎16．（2012全国卷Ⅰ理18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．‎ ‎（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．‎ ‎（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．‎ ‎（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；‎ ‎（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；‎ ‎（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；‎ ‎（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；‎ 当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：‎ ‎（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，‎ P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，‎ X的分布列为 X ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.7‎ EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76‎ DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44‎ ‎（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4‎ ‎∵76.4＞76，∴应购进17枝 ‎【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．‎ ‎　‎ ‎17．（2012全国卷Ⅰ文18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．‎ ‎（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．‎ ‎（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；‎ ‎（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；‎ ‎（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；‎ ‎（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）‎ ‎∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N*）（6分）‎ ‎（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分）‎ ‎（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）‎ ‎【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（2013全国卷Ⅰ理19）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；‎ ‎（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，‎ 第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，‎ 这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，‎ 所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）‎ ‎==‎ ‎（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，‎ P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：‎ X ‎ ‎400 ‎ ‎500 ‎ ‎800 ‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故EX=400×+500×+800×=506.25‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（2013全国卷Ⅰ文18）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：‎ 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5‎ ‎2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4‎ 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4‎ ‎1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5‎ ‎（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？‎ ‎（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；‎ ‎（Ⅱ）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设A药观测数据的平均数据的平均数为，设B药观测数据的平均数据的平均数为，‎ 则=×（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）=2.3．‎ ‎×（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）=1.6．‎ 由以上计算结果可知：．由此可看出A药的效果更好．‎ ‎（Ⅱ）根据两组数据得到下面茎叶图：‎ 从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在2，3上．而B药疗效的试验结果由的叶集中在0，1上．由此可看出A药的疗效更好．‎ ‎【点评】熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（2014全国卷Ⅰ理18）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．‎ ‎（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；‎ ‎（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．‎ 附：≈12.2．‎ 若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．‎ ‎【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；‎ ‎（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；‎ ‎（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：‎ ‎=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，‎ s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×‎ ‎0.02=150．‎ ‎（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；‎ ‎（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，‎ 依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．‎ ‎【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．‎ ‎　‎ ‎21．（2014全国卷Ⅰ文18）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：‎ 质量指标值分组 ‎[75，85）‎ ‎[85，95）‎ ‎[95，105）‎ ‎[105，115）‎ ‎[115，125）‎ 频数 ‎6‎ ‎26‎ ‎38‎ ‎22‎ ‎8‎ ‎（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？‎ ‎【分析】（1）根据频率分布直方图做法画出即可；‎ ‎（2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可．‎ ‎（3）求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值，再和0.8比较即可．‎ ‎【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示：‎ ‎（2）质量指标的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，‎ 质量指标的样本的方差为S2=（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104，‎ 这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．‎ ‎（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，‎ 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．‎ ‎【点评】本题主要考查了频率分布直方图，样本平均数和方差，考查了学习的细心的绘图能力和精确的计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（2015全国卷Ⅰ理19文19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ ‎（xi﹣）2‎ ‎（wi﹣）2‎ ‎（xi﹣‎ ‎（wi﹣‎ ‎）（yi﹣）‎ ‎）（yi﹣）‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中wi=i，=‎ ‎（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：‎ ‎（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，‎ ‎（Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；‎ ‎（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，‎ ‎（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；‎ ‎（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，‎ ‎=﹣=563﹣68×6.8=100.6，‎ 所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，‎ 因此y关于x的回归方程为=100.6+68，‎ ‎（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，‎ 年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，‎ ‎（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，‎ 当==6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大．‎ ‎【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．（2016全国卷Ⅰ理19）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎（Ⅰ）求X的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；‎ ‎（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．‎ ‎（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．‎ ‎（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．‎ 法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，‎ P（X=16）=（）2=，‎ P（X=17）=，‎ P（X=18）=（）2+2（）2=，‎ P（X=19）==，‎ P（X=20）===，‎ P（X=21）==，‎ P（X=22）=，‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 16‎ ‎ 17‎ ‎ 18‎ ‎ 19‎ ‎ 20‎ ‎ 21‎ ‎ 22‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：‎ P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）‎ ‎==．‎ P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）‎ ‎=+=．‎ ‎∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．‎ ‎（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）‎ ‎=+=．‎ 买19个所需费用期望：‎ EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，‎ 买20个所需费用期望：‎ EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，‎ ‎∵EX1＜EX2，‎ ‎∴买19个更合适．‎ 解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，‎ 另一部分为备件不足时额外购买的费用，‎ 当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，‎ 当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.4=4080，‎ ‎∴买19个更合适．‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎24．（2016全国卷Ⅰ文19）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：‎ 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．‎ ‎（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；‎ ‎（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？‎ ‎【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；‎ ‎（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当n=19时，‎ y==‎ ‎（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，‎ 更换的易损零件数为17个频率为0.16，‎ 更换的易损零件数为18个频率为0.24，‎ 更换的易损零件数为19个频率为0.24‎ 又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．‎ 则n≥19 ‎ ‎∴n的最小值为19件；‎ ‎ （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，‎ 所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）‎ ‎ 假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，‎ 所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）‎ ‎∵4000＜4050 ‎ ‎∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．‎ ‎　‎ ‎25．（2017全国卷Ⅰ理19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．‎ ‎（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得==9.97，s==≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．‎ 用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．‎ 附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．‎ ‎【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；‎ ‎（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；‎ ‎（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3‎ ‎）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．‎ ‎【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，‎ 则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，‎ 因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，‎ 所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，‎ 又因为X～B（16，0.0026），‎ 所以E（X）=16×0.0026=0.0416；‎ ‎（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．‎ ‎（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个 零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．‎ 剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为 ‎（16×9.97﹣9.22）=10.02，‎ 因此μ的估计值为10.02．‎ ‎2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，‎ 剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为 ‎（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，‎ 因此σ的估计值为≈0.09．‎ ‎【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎26．（2017全国卷Ⅰ文19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：‎ 抽取次序 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 零件尺寸 ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ 抽取次序 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 零件尺寸 ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得 =xi=9.97，s==≈0.212，≈18.439，（xi﹣）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．‎ ‎（1）求（xi，i）（i=1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（﹣3s，+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？‎ ‎（ⅱ）在（﹣3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）‎ 附：样本（xi，yi）（i=1，2，…，n）的相关系数r=，≈0.09．‎ ‎【分析】（1）代入数据计算，比较|r|与0.25的大小作出结论；‎ ‎（2）（i）计算合格零件尺寸范围，得出结论；‎ ‎（ii）代入公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）r===﹣0.18．‎ ‎∵|r|＜0.25，∴可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．‎ ‎（2）（i）=9.97，s=0.212，∴合格零件尺寸范围是（9.334，10，606），‎ 显然第13号零件尺寸不在此范围之内，‎ ‎∴需要对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为=10.02，‎ ‎=16×0.2122+16×9.972=1591.134，‎ ‎∴剔除离群值后样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）=0.008，‎ ‎∴剔除离群值后样本标准差为≈0.09．‎ ‎【点评】本题考查了相关系数的计算，样本均值与标准差的计算，属于中档题．‎ ‎　‎