全国高考文科数学试题及答案解析

全国高考文科数学试题及答案解析

绝密★启封并使用完毕前 ‎ ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）‎ 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。‎ 注意事项：‎ ‎1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。‎ ‎2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。‎ ‎3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合A={x|x=3n+2,n N},B={6,8,12,14},则集合A B中元素的个数为 ‎ （A）5 （B）4 （C）3 （D）2‎ ‎（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量=（-4，-3），则向量=‎ ‎（A）（-7，-4） （B）（7,4） （C）（-1,4） （D）（1，4）‎ ‎（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=‎ ‎ （A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i ‎（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=‎ ‎ （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 ‎ ‎ （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 ‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 ‎（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，=‎ ‎（A） （B） （C）10 （D）12‎ ‎（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为 ‎（A）（k-, k-）,k ‎（A）（2k-, 2k-）,k ‎（A）（k-, k-）,k ‎（A）（2k-, 2k-）,k ‎（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=‎ ‎（A）5 （B）6 （C）7 （D）8‎ ‎（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=‎ ‎（A）- （B）- （C）- （D）-‎ ‎（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=‎ ‎（A）1‎ ‎(B) 2‎ ‎(C) 4‎ ‎(D) 8‎ ‎（12）设函数y=f（x）的图像关于直线y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1，则a=‎ ‎（A）-1 （B）1 （C）2 （D）4‎ 第Ⅱ卷 ‎ 注意事项：‎ 第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~ 第24题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎（13）在数列{an}中， a1=2,an+1=2an, Sn为{an}的前n项和。若-Sn=126，则n=.‎ ‎（14）已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点（1，f(1)）处的切线过点（2,7），则a= .‎ ‎（15）x,y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为.‎ ‎（16）已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,6）.当△APF周长最小是，该三角形的面积为 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC ‎（Ⅰ）若a=b，求cosB；‎ ‎（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；‎ ‎（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥—ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中w1 =1, ， =1‎ ‎（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：‎ （i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？‎ 附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.‎ （1） 求K的取值范围；‎ （2） 若· =12，其中0为坐标原点，求︱MN︱.‎ ‎（21）.（本小题满分12分）‎ ‎ 设函数。‎ ‎ （Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；‎ ‎ （Ⅱ）证明：当时，。‎ ‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题计分。作答时请写清题号。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 ‎ 如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，BC交⊙于点E。‎ ‎（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙的切线； ‎ ‎（Ⅱ）若CA=CE，求∠ACB的大小。‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中。直线:，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ （I） 求，的极坐标方程；‎ （II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积 ‎（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围 参考答案 一．选择题 ‎ （1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B ‎（7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C 二．填空题 ‎ （13）6 （14）1 （15）4 （16）‎ 三．解答题 ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）由题设及正弦定理可得 又，可得 由余弦定理可得…………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 因为，由勾股定理得 故，得 所以的面积为1…………………………………………………………12分 ‎（18）解：‎ ‎（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以 因为平面，所以，故平面 又平面，所以平面平面…………………………5分 ‎（Ⅱ）设，在菱形中，由，可得 因为，所以在中，可得 由平面，知为直角三角形，可得 由已知得，三棱锥的体积 故…………………………………………………………………………9分 从而可得 所以的面积为3，的面积与的面积均为 故三棱锥的侧面积为……………………………………12分 ‎（19）解：‎ ‎（Ⅰ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型………………2分 ‎（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于 所以关于的线性回归方程为，因此关于的线性回归方程…………………………………………6分 ‎（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当时，年销售量的预报值 年利润的预报值 ‎…………………………………9分 ‎（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润的预报值 所以，当，即时，取得最大值，‎ 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大……………12分 ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）由题设，可知直线的方程为 因为与交于两点，所以 解得 所以的取值范围为……………………………………5分 ‎（Ⅱ）设 将代入方程，整理得 所以…………………………………………7分 由题设可得，解得，所以的方程为 故圆心在上，所以…………………………………………………12分 ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为，‎ 当时，，没有零点；‎ 当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增，又 ‎，当满足且时，，故当时，存在唯一零点………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，；当时，‎ 故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为 由于，所以 故当时，……………………………………………12分 ‎（22）解：‎ ‎（Ⅰ）连结，由已知得，‎ 在中，由已知得，，故 连结，则 又，所以，故，是的切线……………………………………5分 ‎（Ⅱ）设，由已知得 由射影定理可得，，所以，即 可得，所以……………………………10分 ‎（23）解：‎ ‎（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为……………………………5分 ‎（Ⅱ）将代入，得，解得，故，即 由于的半径为1，所以的面积为………………………10分 ‎（24）解：‎ ‎（Ⅰ）当时，化为 当时，不等式化为，无解；‎ 当时，不等式化为，解得；‎ 当时，不等式化为，解得 所以的解集为…………………5分 ‎（Ⅱ）由题设可得，‎ 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为 由题设得，故 所以的取值范围为………………………………10分