全国高考文科数学试题及答案解析

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全国高考文科数学试题及答案解析

绝密★启封并使用完毕前 ‎ ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷1)‎ 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页。‎ 注意事项:‎ ‎1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。‎ ‎2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答,答案无效。‎ ‎3. 考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)已知集合A={x|x=3n+2,n N},B={6,8,12,14},则集合A B中元素的个数为 ‎ (A)5 (B)4 (C)3 (D)2‎ ‎(2)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=‎ ‎(A)(-7,-4) (B)(7,4) (C)(-1,4) (D)(1,4)‎ ‎(3)已知复数z满足(z-1)i=i+1,则z=‎ ‎ (A)-2-I (B)-2+I (C)2-I (D)2+i ‎(4)如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则3个数构成一组勾股数的概率为 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(5)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y²=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个焦点,则|AB|=‎ ‎ (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 ‎ ‎ (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有 ‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 ‎(7)已知是公差为1的等差数列,则=4,=‎ ‎(A) (B) (C)10 (D)12‎ ‎(8)函数f(x)=的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为 ‎(A)(k-, k-),k ‎(A)(2k-, 2k-),k ‎(A)(k-, k-),k ‎(A)(2k-, 2k-),k ‎(9)执行右面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=‎ ‎(A)5 (B)6 (C)7 (D)8‎ ‎(10)已知函数,且f(a)=-3,则f(6-a)=‎ ‎(A)- (B)- (C)- (D)-‎ ‎(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r=‎ ‎(A)1‎ ‎(B) 2‎ ‎(C) 4‎ ‎(D) 8‎ ‎(12)设函数y=f(x)的图像关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=‎ ‎(A)-1 (B)1 (C)2 (D)4‎ 第Ⅱ卷 ‎ 注意事项:‎ 第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答,答案无效。‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题~ 第24题为选考题,考生根据要求做答。‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分 ‎(13)在数列{an}中, a1=2,an+1=2an, Sn为{an}的前n项和。若-Sn=126,则n=.‎ ‎(14)已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= .‎ ‎(15)x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为.‎ ‎(16)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小是,该三角形的面积为 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ‎(17)(本小题满分12分)‎ 已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC ‎(Ⅰ)若a=b,求cosB;‎ ‎(Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积 ‎(18)(本小题满分12分)‎ 如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面BED;‎ ‎(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥—ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积 ‎(19)(本小题满分12分)‎ 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费和年销售量(i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中w1 =1, , =1‎ ‎(Ⅰ)根据散点图判断,与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;‎ ‎(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:‎ (i) 年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?‎ (ii) 年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?‎ 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…….. (un vn),其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.‎ (1) 求K的取值范围;‎ (2) 若· =12,其中0为坐标原点,求︱MN︱.‎ ‎(21).(本小题满分12分)‎ ‎ 设函数。‎ ‎ (Ⅰ)讨论的导函数零点的个数;‎ ‎ (Ⅱ)证明:当时,。‎ ‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则安所做的第一题计分。作答时请写清题号。‎ ‎(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 ‎ 如图,AB是⊙的直径,AC是⊙的切线,BC交⊙于点E。‎ ‎(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙的切线; ‎ ‎(Ⅱ)若CA=CE,求∠ACB的大小。‎ ‎(23)(本小题满分10分)选修4-4;坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中。直线:,圆:,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ (I) 求,的极坐标方程;‎ (II) 若直线的极坐标方程为,设与的交点为, ,求的面积 ‎(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若的图像与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围 参考答案 一.选择题 ‎ (1)D (2)A (3)C (4)C (5)B (6)B ‎(7)B (8)D (9)C (10)A (11)B (12)C 二.填空题 ‎ (13)6 (14)1 (15)4 (16)‎ 三.解答题 ‎(17)解:‎ ‎(Ⅰ)由题设及正弦定理可得 又,可得 由余弦定理可得…………………………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知 因为,由勾股定理得 故,得 所以的面积为1…………………………………………………………12分 ‎(18)解:‎ ‎(Ⅰ)因为四边形ABCD为菱形,所以 因为平面,所以,故平面 又平面,所以平面平面…………………………5分 ‎(Ⅱ)设,在菱形中,由,可得 因为,所以在中,可得 由平面,知为直角三角形,可得 由已知得,三棱锥的体积 故…………………………………………………………………………9分 从而可得 所以的面积为3,的面积与的面积均为 故三棱锥的侧面积为……………………………………12分 ‎(19)解:‎ ‎(Ⅰ)由散点图可以判断,适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型………………2分 ‎(Ⅱ)令,先建立关于的线性回归方程,由于 所以关于的线性回归方程为,因此关于的线性回归方程…………………………………………6分 ‎(Ⅲ)(ⅰ)由(Ⅱ)知,当时,年销售量的预报值 年利润的预报值 ‎…………………………………9分 ‎(ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润的预报值 所以,当,即时,取得最大值,‎ 故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大……………12分 ‎(20)解:‎ ‎(Ⅰ)由题设,可知直线的方程为 因为与交于两点,所以 解得 所以的取值范围为……………………………………5分 ‎(Ⅱ)设 将代入方程,整理得 所以…………………………………………7分 由题设可得,解得,所以的方程为 故圆心在上,所以…………………………………………………12分 ‎(21)解:‎ ‎(Ⅰ)的定义域为,‎ 当时,,没有零点;‎ 当时,因为单调递增,单调递增,所以在单调递增,又 ‎,当满足且时,,故当时,存在唯一零点………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ),可设在的唯一零点为,当时,;当时,‎ 故在单调递减,在单调递增,所以当时,取得最小值,最小值为 由于,所以 故当时,……………………………………………12分 ‎(22)解:‎ ‎(Ⅰ)连结,由已知得,‎ 在中,由已知得,,故 连结,则 又,所以,故,是的切线……………………………………5分 ‎(Ⅱ)设,由已知得 由射影定理可得,,所以,即 可得,所以……………………………10分 ‎(23)解:‎ ‎(Ⅰ)因为,所以的极坐标方程为,的极坐标方程为……………………………5分 ‎(Ⅱ)将代入,得,解得,故,即 由于的半径为1,所以的面积为………………………10分 ‎(24)解:‎ ‎(Ⅰ)当时,化为 当时,不等式化为,无解;‎ 当时,不等式化为,解得;‎ 当时,不等式化为,解得 所以的解集为…………………5分 ‎(Ⅱ)由题设可得,‎ 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为,,,的面积为 由题设得,故 所以的取值范围为………………………………10分
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