辽宁高考数学理科真题及答案

辽宁高考数学理科真题及答案

2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数 学（供理科考生使用） 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. （1）复数的 模为 （A） （B） （C） （D） （2）已知集合 A． B． C． D． （3）已知点 （A） （B） （C） （D） （4）下面是关于公差 的等差数列 的四个命题： 其中的真命题为 （A） （B） （C） （D） （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为 若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是 （A） （B） （C） （D） 1 1Z i = − 1 2 2 2 2 2 { } { }4| 0 log 1 , | 2A x x B x x A B= < < = ≤ =，则 ( )01， ( ]0 2， ( )1,2 ( ]1 2， ( ) ( )1,3 , 4, 1 ,A B AB− 则与向量 同方向的单位向量为 3 4 5 5     ，- 4 3 5 5     ，- 3 4 5 5  −  ， 4 3 5 5  −  ， 0d > ( )na { }1 : np a数列 是递增数列； { }2 : np na数列 是递增数列； 3 : nap n    数列 是递增数列； { }4 : 3np a nd+数列 是递增数列； 1 2,p p 3 4,p p 2 3,p p 1 4,p p [ ) [ ) [ ) [ )20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 . 45 50 55 60 （6）在 ，内角 所对的边长分别为 A． B． C． D． （7）使得 A． B． C． D． （8）执行如图所示的程序框图，若输入 A． B． C． D． （9）已知点 A． B． C． D． （10）已知三棱柱 A． B． C． D． （11）已知函数 设 表示 中的较大 值， 表示 中的较小值，记 得最小值为 得最小值为 ,则 ABC∆ , ,A B C , , .a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b+ = ,a b B> ∠ =且 则 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π ( )13 n x n N n x x +  + ∈   的展开式中含有常数项的最小的 为 4 5 6 7 10,n S= =则输出的 5 11 10 11 36 55 72 55 ( ) ( ) ( )30,0 , 0, , , . ABC ,O A b B a a ∆若 为直角三角形 则必有 3b a= 3 1b a a = + ( )3 3 1 0b a b a a  − − − =   3 3 1 0b a b a a − + − − = 1 1 1 6 . 3 4ABC A B C O AB AC− = =的 个顶点都在球 的球面上若 ， ， ,AB AC⊥ 1 12AA O= ，则球 的半径为 3 17 2 2 10 13 2 3 10 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 , 2 2 8.f x x a x a g x x a x a= − + + = − + − − + ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } { }( )1 2max , , min , , max ,H x f x g x H x f x g x p q= = ,p q { }min ,p q ,p q ( )1H x ,A ( )2H x B A B− = （A） （B） （C） （D） （11）设函数 （A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值 （C）既有极大值又有极小值 （D）既无极大值也无极小值 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 22 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22 题-第 24 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. （13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . （14）已知等比数列 . （15）已知椭圆 的左焦点为 . （16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班级 参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互相不相同， 则样本数据中的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 16a a− − 2 2 16a a+ − 16− 16 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 , 2 , 0,8 xe ef x x f x xf x f x f xx ′ + = = >满足 则 时， { } { } 1 3n n na S a n a a是递增数列, 是 的前 项和. 若 ， 是方程 2 65 4 0x x S− + = =的两个根，则 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ,F C与过原点的直线相交于 ,A B两点， 4, . 10, 6,cos ABF ,5AF BF AB AF C e= = ∠ =连接 若 则 的离心率 = 17．（本小题满分 12 分） 设向量 （I）若 （II）设函数 18．（本小题满分 12 分） 如图， （I）求证： （II） 19．（本小题满分 12 分） 现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答. （I）求张同学至少取到 1 道乙类题的概率； （II）已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立.用 表示张同学答对题的个数， 求 的分布列和数学期望. 20．（本小题满分 12 分） ( ) ( )3sin ,sin , cos ,sinx , 0, .2a x x b x x π = = ∈   .a b x= 求 的值； ( ) ( ), .f x a b f x=  求 的最大值 .AB PA C是圆的直径， 垂直圆所在的平面， 是圆上的点 PAC PBC⊥平面 平面 ； 2 .AB AC PA C PB A= = = − −若 ， 1， 1，求证：二面角 的余弦值 3 5 4 5 X X 如图，抛物线 （I） ； （II） 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 （I）求证： （II）若 取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题 计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22．（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图， （I） （II） 23．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中以 为极点， 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 ，直线 的极坐 标方程分别为 . （I） ( ) ( )2 2 1 2 0 0 2: 4 , : 2 0 . ,C x y C x py p M x y C= = − > 点 在抛物线 上， 1M C过 作 ( ) 0, , . 1 2A B M O A B O x = −的切线，切点为 为原点 时， 重合于 当 时， 1- .2MA切线 的斜率为 P求 的值 2M C AB N当 在 上运动时，求线段 中点 的轨迹方程 ( ), , .A B O O重合于 时 中点为 ( ) ( ) ( ) [ ]3 21 , 1 2 cos . 0,12 e x xf x x g x ax x x x−= + = + + + ∈当 时， ( ) 11- ;1x f x x ≤ ≤ + ( ) ( )f x g x≥ 恒成立， a求实数 的 .AB O CD O E AD CD D 为 直径，直线 与 相切于 垂直于 于 ，BC垂直于 , .CD C EF F AE BE于 ， 垂直于 ，连接 证明： ;FEB CEB∠ = ∠ 2 .EF AD BC=  xoy O x 1C 2C 4sin , cos 2 2.4 πρ θ ρ θ = = − =   1 2C C求 与 交点的极坐标； （II） 24．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （I） （II） 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分参考 评分说明： 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。 2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时。如果后继部分的解答未该提的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有严重的错误，就不再给分。 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数。 一．选择题 (1)B (2)D (3)A (4)D (5)B (6)A (7)B (8)A (9)C (10)C (11)B (12)D 二．填空题 （13） （14）63 （15） （16）10 三．解答题 (17).解： （I）由 及 得 1 1 2 .P C Q C C PQ设 为 的圆心， 为 与 交点连线的中点已知直线 的参数方程为 ( ) 3 3 , , . 12 x t a t R a bby t  = + ∈ = + 为参数 求 的值 ( ) , 1.f x x a a= − >其中 ( )=2 4 4 ;a f x x≥ = −当 时，求不等式 的解集 ( ) ( ){ } { }2 2 2 |1 2 ,x f x a f x x x+ − ≤ ≤ ≤已知关于 的不等式 的解集为 .a求 的值 16-16π 7 5 ,sin4)(sin)sin3( 2222 xxxa =+= ,1)(sin)(cos 222 =+= xxb ,ba = .1sin4 2 =x 又 从而 所以 。。。。。。。。。。。。。6 分 （II） 当 时， 取最大值 1. 所以 的最大值为 。。。。。。。。。。。。12 分 （18）（I）证明： 由 AB 是圆的直径，得 由 平面 ABC, 平面 ABC, 得 又 平面 PAC, 平面 PAC, 所以 平面 PAC, 因为 平面 PBC 所以平面 PBC 平面 PAC. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分 （II）（解法一） 过 C 做 CM//AP, 则 CM 平面 ABC. 如图，以点 C 为坐标原点，分别以直线 BC,CA,CM 为 X 轴，Y 轴，Z 轴 建立空间直角坐标系。 因为 AB=2,AC=1,所以 BC= . 因为 PA=1,所以 A(0,1,0), B( ,0,0), P(0,1,1). 故， 设平面 BCP 的法向量为 则｛ ,所以｛ ，不妨令 y=1，则 ,2,0    ∈ π x ,2 1sin =x .6 π=x xxxbaxf 2sincossin3)( +⋅=⋅= →→ ,2 1)62sin(2 12cos2 12sin2 3 +−=+−= π xxx    ∈= 2,03 ππ x )62sin( π−x )(xf .2 3 ,BCAB ⊥ ⊥PA ⊂BC .BCPA ⊥ ⊂=∩ PAAACPA , ⊂AC ⊥BC ⊂BC ⊥ ⊥ 3 3 ).1,1,0(),0,0,3( == →→ CPCB ），，，（ zyxn1 = 0n 0n 1 1 =⋅ =⋅ → → CP CB 0zy 0x3 =+ = ）。，（ 1-1,0n1 = 因为 设平面 ABP 的法向量为 则｛ 所以｛ 不妨令 x=1，则 于是 所以由题意可知二面角 C-PB-A 的余弦值为 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 （解法二） 过 C 作 CM AB 于 M, 因为 PA 平面 ABC,CM 平面 ABC, 所以 PA CM. 故 CM 平面 PAB.过 M 作 MN PB 于 N,连接 NC,由三垂线定理得 CN PB, 所以 为二面角 C-PB-A 的平面角。在 Rt 中，由 AB=2,AC=1,得 BC= ,CM= ,BM= .在 因为 又在 所以二面角 C-PB-A 的 余弦值为 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 （19）解： （I）设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”，则有 “张同学所取的 3 道题都是甲类题”。 。。。。。。。。。。。6 分 (II) X 的所有的可能取值为 0,1,2,3. 所以 X 的分布列为： ).0,1,3(),1,0,0( −== →→ ABAP ），，，（ zyxn 2 = , 0n 0n 2 2 =⋅ =⋅ → → AB AP ， ， 0y-x3 0z = = .031n 2 ），，（= ，， 4 6 22 3nncos 21 == .4 6 ⊥ ⊥ ⊂ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ CNM∠ ABC∆ 3 2 3 2 3 .5,1,2t ===∆ PBPAABPABR 得中，由 .10 53, 5 2 3 1,tt ==∆∆ MNMNBAPRBNMR 故所以相似 .4 6cos,5 30t =∠=∆ CNMCNCNMR 故中， .4 6 =A .6 5)(1)(,6 1)( 3 10 3 6 =−=== APAPC CAP 所以因为 ;125 4 5 1)5 2()5 3()0( 200 2 =⋅== CXP .125 28 5 4)5 2()5 3(5 1)5 2()5 3()1( 200 2 111 2 =⋅+⋅== CCXP ;125 57 5 4)5 2()5 3(5 1)5 2()5 3()2( 111 2 022 2 =⋅+⋅== CCXP .125 36 5 4)5 2()5 3()3( 022 2 =⋅== CXP X : 0 1 2 3 P : 。。。。。。。。。。。。。。。10 分 。。。。。。。。。。。。。。12 分 (20) 解： （I）因为抛物线 的切线斜率为 且切线 MA 的斜率为 故切线 MA 的 方程为 因为点 M MA 及抛物线 。。。。。① 。。。。。② 由①②得 P=2. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分 （II） N 为线段 AB 中点知 。。。。。。。③ 。。。。。。。④ 切线 MA,MB 的方程为 。。。。。。。。。。。⑤ 。。。。。。。。。。。⑥ 由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M（ ）的坐标为 因为点 M( )在 上，即 。。。。。。。。。。⑦ 125 4 125 28 125 57 125 36 .2125 363125 572125 281125 40)( =×+×+×+×=XE ），上任意一点（ yxy4x: 2 1 =C ， 2 xy =′ .4 11-2 1- ），点的坐标为（，所以A .4 11x2 1-y ++= ）（ ）在切线，（ 0y2-1 ，）（上，于是 4 22-3-4 12-22 1-y02 =+=C .2 223-2 2-1-y 2 0 PP −== ）（ ，由），，（，，，，设 21 2 2 2 2 1 1 xx4 xx)4 xx()yx( ≠BAN ， 2 xxx 21 += .8 xxy 21 += ，）（ 4 xx-x2 xy 2 1 1 1 += 4 xx-x2 xy 2 2 2 2 += ）（ 00 yx ， .4 xxy2 xxx 21 0 21 0 =+= ， 00 yx ， 2C ，，所以 6 xx-xxy4-x 2 2 2 1 210 2 0 +== 由③④⑦得 当 O, AB 中点 N 为 O,坐标满足 。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 （21）（I）证明： 要证 时， 只需证明 记 则 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3 分 要证 记 K(x)= , 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5 分 （II）证明：（解法一） 在 .0xy3 4x 2 ≠= ， 重合于原点时， BA,xx 21 ≠ 的轨迹方程为中点因此 NAB.y3 4x 2 = .y3 4x 2 = [ ]1,0x ∈ ，）（ x-1ex1 x2- ≥+ .ex-1ex1 x-x ）（）（ ≥+ ，）（）（）（ x-x ex-1-ex1xh += ( ) ）在（因此）（时，），当（）（ xh,0xh1,0xe-exxh -xx >′∈=′ [ ] [ ]1,0xx-1xf.00hxh10 ∈≥=≥ ，）（所以）（）（上是增函数，故， [ ] .1xe.x1 1ex11,0x xx2- +≥+≤+∈ 只需证明）时，（ 0)x(1,0x.1-ex1-x-e xx ≥′∈=′ KK ）时，（当）（，则 [ ] 所以上是增函数，故在 .0)0()x(1,0)x( =≥ KKK [ ] [ ].1,0xx1 1xfx-1.1,0xx1 1xf ∈+≤≤∈+≤ ，）（综上，，）（ ）（）（）（）（ xxcos212 xax-ex1xg-xf 3 x2- ++++= xxxaxx cos2211 2 −−−−−≥ ).cos221( 2 xxax +++−= ,sin2)(,cos22)( 2 xxxGxxxG −=′+= 则 ,sin2)( xxxH −=记 )x(,0)x(1,0xcosx2-1)x( GHH ′<′∈=′ 于是）时，（，当则 [ ] 故）时，（上是减函数，从而当 .0)0()x(1,0x1,0 =<′∈ GG [ ] 从而于是上是减函数在 .2)0()x(.1,0)x( =≤ GGG 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9 分 下面证明， 因 为当 a>-3 时，a+3>0，所以存在 ，此时 综上，实数 a 的取值范围 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 （解法二） 先证当 记 记 从而 同理可得， 综上，当 时，所以，当 3-a.3a)x(1a ≤+≤++ G [ ] .1,0xgxf 上恒成立）在（）（ ≥ [ ] .10xgxf3-a 上不恒成立，）在（）（时，当 ≥> xcosx2-2 x-ax-1-x1 1xg-xf 3 +≤）（）（ xcosx2-2 x-ax-x1 x- 3 += .cosx22 xax1 1-x 2 ）（ ++++= 则记 ),(ax1 1cosx22 xax1 1)x( 2 xGI +++=++++= ).x(x1 1-xI 2 G′++=′ ）（）（ 在故）时，（当 )x(.0)x(1,0x II <′∈ [ ] [ ] [ ].3a1cos21a1,0)x(1,0 +++ ，上的值域为在上是减函数，于是I 0)x(1,0x 00 >∈ I），使得（ [ ] .1,0)()(f),(gxf 00 上不恒成立在即）（ xgxx ≥< ].3,( −−∞ [ ] .x4 1-1cosxx2 1-11,0x 22 ≤≤∈ 时， .x-sinx)x(x2 11-cosx)x( 2 +=′+= FF ，则 ，）时，（，当，则 0)x(1,0x1-cosx)x(x-sinx)x( >′∈+=′+= GGG [ ] ,0)0()x(1,0x1,0)x( =>∈ GGG ）时，（上是增函数，因此当在于是 [ ] 所以上是增函数，因此在 ,0)0()x(1,0)x( =≥ FFF [ ] .cosxx2 1-11,0x 2 ≤∈ 时，当 [ ]时，当 1,0x ∈ .x4 1-1cosx 2≤ [ ] .x4 1-1cosxx2 1-11,0x 22 ≤≤∈ 时， 因为当 所以当 。。。。。。。。。9 分 下面证明，当 a>-3 时， 因为 所以存在 满足 。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 (22)证明： （I） 由 AB 为 又 故 CEB. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4 分 (II) 由 得 [ ]时，1,0x ∈ ）（）（）（）（ xcosx212 xax-ex1xg-xf 3 x2- ++++= ）（）（ 4 x-1x2-1-2 x-ax-x-1 23 ≥ .x3a- ）（ += [ ] .1,0xgxf3-a 上恒成立）在（）（时， ≥≤ [ ] .1,0xgxf 上不恒成立）在（）（ ≥ )cos212()1()()( 3 2 xxxaxexxgxf x +++−+=− − )2 11(2211 1 2 3 xxxaxx −−−−−+≤ x3a21 32 ）（ +−++= x x x .3a3 2-xx2 3     +≤ ）（ 中的较小者）和取）（例如（ 2 1 3 3ax1,0x 00 +∈ [ ] .1,0)()(fxgxf 00 上不恒成立在），即（）（ xgx ≥< ].3--a ，的取值范围是（综上，实数 ∞ .EABCEBOCD ∠=∠Θ 相切，得与由直线 ;2. π=∠+∠⊥Θ EBFEABEBAEO 从而的直径，得 .,2, EABFEBEBFFEBABEF ∠=∠=∠+⊥ 从而得 π ∠=∠FEB 得是公共边.,,, BECEBFEBABEFCEBC ∠=∠⊥⊥ 类似可证：所以 .,tt BFBCBFERBCER =∆≅∆ .tt AFADAFERADER =∆≅∆ ，得 中，又在 AEBR ∆t 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分 （23）解： （I） ， 解｛ 注：极坐标系下点的表示不唯一. （II）由（I）可得，P 点与 Q 点的直角坐标分别为（0,2），（1,3） 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0. 由参数方程可得 所以 解得 a=-1，b=2. （24）解： （I）当 a=2 时， 当 ； 当 当 ； 所以 。。。。。。。。4 分 （II）记 由 又已知 解集为 .,, 22 BCADEFBFAFEFABEF ⋅=⋅=⊥ 所以故 4)2(x 22 1 =−+ yC 的直角坐标方程为圆 .04-yx2 =+的直角坐标方程为直线C .2y 2x 4y 0x 04-yx 42-yx 2 2 1 1 22 = = = = =+ =+ ，，得）（ .4222421 ），），（，交点的极坐标为（与所以 ππ CC ,12 ab-x2 by += .212 ab- .12 b =+ = .4,62 42,2 2x6x2- 4-xxf ≥− << ≤+ =+ xx x ， ）（ 1x,46x2-4-x-4xf2 ≤≥+≥≤ 解得得）（时，由x 无解；）（时， 4-x-4xf42 ≥<< x 5x.46-x24-x-4xf4x ≥≥≥≥ 解得得）（时，由 { }.5x1xx4-x-4xf ≥≤≥ 或的解集为）（ ），则（）（）（ xf2-ax2fxh += .,2 0a2-x4 0xa2-xh axa ax ≥ << ≤= ， ，）（ .2 1ax2 1-a,2)( +≤≤ 解得xh 的）（ 2xh ≤ 。。。。。。。。。10 分{ } .3a 22 1a 12 1-a 2x1x = =+ = ≤≤ ，于是，所以