安徽省合肥市高考数学一模试卷理科解析版

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

安徽省合肥市高考数学一模试卷理科解析版

‎2016年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在复平面内,复数z=对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第在象限 D.第四象限 ‎2.sin18°•sin78°﹣cos162°•cos78°等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.一次数学考试后,某老师从自己带的两个班级中各抽取5人,记录他们的考试成绩,得到如图所示的茎叶图,已知甲班5名同学成绩的平均数为81,乙班5名同学的中位数为73,则x﹣y的值为(  )‎ A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3‎ ‎4.“x≥1”是“x+≥2”(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.执行如下程序框图,则输出结果为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎6.已知l,m,n为三条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,则下列判断正确的是(  )‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n C.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥l D.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α ‎7.△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,c﹣a=2,b=3,则a=(  )‎ A.2 B. C.3 D.‎ ‎8.若双曲线C1: =1与C2: =1(a>0,b>0)的渐近线相同,且双曲线C2的焦距为4,则b=(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A. B. C. D.8‎ ‎10.某企业的4名职工参加职业技能考核,每名职工均可从4个备选考核项项目中任意抽取一个参加考核,则恰有一个项目未被抽中的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.在展开式中含x2项系数与含x10项系数相等,则n取值为(  )‎ A.12 B.13 C.14 D.15‎ ‎12.函数f(x)=﹣x2+3x+a,g(x)=2x﹣x2,若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[﹣e,+∞) B.[﹣ln2,+∞) C.[﹣2,+∞) D.(﹣,0]‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置上.‎ ‎13.已知集合A={0,1,3},B={x|x2﹣3x=0},则A∩B=      .‎ ‎14.已知实数x,y满足,则目标函数z=x﹣y的最大值是      .‎ ‎15.已知等边△ABC的边长为2,若,则=      .‎ ‎16.存在实数φ,使得圆面x2+y2≤4恰好覆盖函数y=sin(x+φ)图象的最高点或最低点共三个,则正数k的取值范围是      .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在数列{an}中,.‎ ‎(1)求证:数列为等比数列;‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和.‎ ‎18.某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A,B进行比较研究,将志愿者分为两组,分别采用方案A和方案B进行治疗,统计结果如下:‎ 有效 无效 合计 使用方案A组 ‎96‎ ‎120‎ 使用方案B组 ‎72‎ 合计 ‎32‎ ‎(Ⅰ)完成上述列联表,并比较两种治疗方案有效的频率;‎ ‎(Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关?‎ 附:,其中n=a+b+c+d P(K2≥k0)‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.四棱锥E﹣ABCD中,AD∥BC,AD=AE=2BC=2AB=2,AB⊥AD,平面EAD⊥平面ABCD,点F为DE的中点.‎ ‎(1)求证:CF∥平面EAB;‎ ‎(2)若CF⊥AD,求二面角D﹣CF﹣B的余弦值.‎ ‎20.设A,B为抛物线y2=x上相异两点,其纵坐标分别为﹣1,2,分别以A,B为切点作抛物线的切线l1,l2,设l1,l2相交于点P.‎ ‎(Ⅰ)求点P的坐标;‎ ‎(Ⅱ)M为A,B间抛物线段上任意一点,设,试判断是否为定值,如果为定值,求出该定值,如果不是定值,请说明理由.‎ ‎21.已知f(x)=e﹣,其中e为自然对数的底数.‎ ‎(1)设g(x)=(x+1)f′(x)(其中f′(x)为f(x)的导函数),判断g(x)在(﹣1,+∞)上的单调性;‎ ‎(2)若F(x)=ln(x+1)﹣af(x)+4无零点,试确定正数a的取值范围.‎ ‎ ‎ 请考生在第22题,23题,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-1:几何证明选讲](共1小题,满分10分)‎ ‎22.已知AB是圆O的直径,点C在圆O上(异于点A,B),连接BC并延长至点D,使得BC=CD,连接DA交圆O于点E,过点C作圆O的切线交AD于点F.‎ ‎(Ⅰ)若∠DBA=60°,求证:点E为AD的中点;‎ ‎(Ⅱ)若CF=R,其中R为圆C的半径,求∠DBA.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.已知直线l:为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a(a>﹣3)‎ ‎(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若曲线C与直线l有唯一公共点,求实数a的值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知a>0,b>0,记A=+,B=a+b.‎ ‎(1)求A﹣B的最大值;‎ ‎(2)若ab=4,是否存在a,b,使得A+B=6?并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2016年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在复平面内,复数z=对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第在象限 D.第四象限 ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义.‎ ‎【分析】本题考查的是复数的计算.‎ ‎【解答】解:Z=,故选D.‎ ‎ ‎ ‎2.sin18°•sin78°﹣cos162°•cos78°等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数.‎ ‎【分析】利用两角和的正弦函数公式化简后即可得答案.‎ ‎【解答】解:sin18°•sin78°﹣cos162°•cos78°=sin18°•cos12°+cos18°•sin12°=sin30°=,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.一次数学考试后,某老师从自己带的两个班级中各抽取5人,记录他们的考试成绩,得到如图所示的茎叶图,已知甲班5名同学成绩的平均数为81,乙班5名同学的中位数为73,则x﹣y的值为(  )‎ A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3‎ ‎【考点】茎叶图.‎ ‎【分析】根据茎叶图中的数据,结合平均数与中位数的概念,求出x、y的值.‎ ‎【解答】解:根据茎叶图中的数据,得;‎ 甲班5名同学成绩的平均数为 ‎(72+77+80+x+86+90)=81,解得x=0;‎ 又乙班5名同学的中位数为73,则y=3;‎ x﹣y=0﹣3=﹣3.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.“x≥1”是“x+≥2”(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】根据基本不等式的性质,以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.‎ ‎【解答】解:当x≥1,由基本不等式可得x+≥2当且仅当x=1时取等号,∴充分性成立.‎ 若x+≥2,则x>0,必要性不成立,‎ ‎∴“x≥1”是“x+≥2”的充分不必要条件,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.执行如下程序框图,则输出结果为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的T,S,n的值,当T=,S=6时,满足条件T≤S,退出循环,输出n的值为4.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序,可得 n=1,S=0,T=20‎ T=10,S=1,n=2‎ 不满足条件T≤S,T=5,S=3,n=3‎ 不满足条件T≤S,T=,S=6,n=4‎ 满足条件T≤S,退出循环,输出n的值为4.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎6.已知l,m,n为三条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,则下列判断正确的是(  )‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n C.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥l D.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.‎ ‎【分析】根据常见几何体模型举出反例,或者证明结论.‎ ‎【解答】解:(A)若m∥α,n∥α,则m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误;‎ ‎(B)在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,设平面ABCD为平面α,平面CDD′C′为平面β,直线BB′为直线m,直线A′B为直线n,‎ 则m⊥α,n∥β,α⊥β,但直线A′B与BB′不垂直,故B错误.‎ ‎(C)设过m的平面γ与α交于a,过m的平面θ与β交于b,‎ ‎∵m∥α,m⊂γ,α∩γ=a,‎ ‎∴m∥a,‎ 同理可得:n∥a.‎ ‎∴a∥b,∵b⊂β,a⊄β,‎ ‎∴a∥β,‎ ‎∵α∩β=l,a⊂α,∴a∥l,‎ ‎∴l∥m.‎ 故C正确.‎ ‎(D)在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,设平面ABCD为平面α,平面ABB′A′为平面β,平面CDD′C′为平面γ,‎ 则α∩β=AB,α∩γ=CD,BC⊥AB,BC⊥CD,但BC⊂平面ABCD,故D错误.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,c﹣a=2,b=3,则a=(  )‎ A.2 B. C.3 D.‎ ‎【考点】余弦定理.‎ ‎【分析】由已知条件和余弦定理可得a的方程,解方程可得.‎ ‎【解答】解:由题意可得c=a+2,b=3,cosA=,‎ ‎∴由余弦定理可得cosA=•,‎ 代入数据可得=,‎ 解方程可得a=2‎ 故选:A ‎ ‎ ‎8.若双曲线C1: =1与C2: =1(a>0,b>0)的渐近线相同,且双曲线C2的焦距为4,则b=(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】求出双曲线C1的渐近线方程,可得b=2a,再由焦距,可得c=2,即有a2+b2=20,解方程,可得b=4.‎ ‎【解答】解:双曲线C1: =1的渐近线方程为y=±2x,‎ 由题意可得C2: =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±x,即有b=2a,‎ 又2c=4,即c=2,即有a2+b2=20,‎ 解得a=2,b=4,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A. B. C. D.8‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】由三视图可知:该几何体是由一个正方体截去一个三棱锥余下的几何体.利用体积计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:由三视图可知:该几何体是由一个正方体截去一个三棱锥余下的几何体.‎ ‎∴该几何体的体积V=23﹣=.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.某企业的4名职工参加职业技能考核,每名职工均可从4个备选考核项项目中任意抽取一个参加考核,则恰有一个项目未被抽中的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式.‎ ‎【分析】先求出基本事件总数n=44,再求出恰有一个项目未被抽中包含的基本事件个数,由此能求出恰有一个项目未被抽中的概率.‎ ‎【解答】解:某企业的4名职工参加职业技能考核,每名职工均可从4个备选考核项项目中任意抽取一个参加考核,‎ 基本事件总数n=44,‎ 恰有一个项目未被抽中包含的基本事件个数为:m=,‎ ‎∴恰有一个项目未被抽中的概率为p===.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.在展开式中含x2项系数与含x10项系数相等,则n取值为(  )‎ A.12 B.13 C.14 D.15‎ ‎【考点】二项式定理的应用.‎ ‎【分析】先求和,再利用二项展开式的通项公式,结合在展开式中含x2项系数与含x10项系数相等,列出方程求出n.‎ ‎【解答】解: ==,‎ ‎∵在展开式中含x2项系数与含x10项系数相等,‎ ‎∴Cn+13=Cn+111,‎ ‎∴3+11=n+1,即n=13,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.函数f(x)=﹣x2+3x+a,g(x)=2x﹣x2,若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[﹣e,+∞) B.[﹣ln2,+∞) C.[﹣2,+∞) D.(﹣,0]‎ ‎【考点】函数恒成立问题.‎ ‎【分析】确定g(x)在x∈[0,1]上的值域为[1,g(x0)]],(g(x0)=,再分离参数求最大值,即可求实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:令t=g(x),x∈[0,1],则g′(x)=2xln2﹣2x 设g′(x0)=0,则函数在[0,x0]上单调递增,在[x0,1]上单调递减,‎ g(x)在x∈[0,1]上的值域为[1,g(x0)]],(g(x0)=‎ ‎∴f(t)≥0,即a≥t2﹣3t,‎ ‎∴a≥﹣2.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置上.‎ ‎13.已知集合A={0,1,3},B={x|x2﹣3x=0},则A∩B= {0,3} .‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】直接利用交集的定义即可求出.‎ ‎【解答】解:集合A={0,1,3},B={x|x2﹣3x=0}={0,3),‎ 则A∩B={0,3},‎ 故答案为:{0,3}.‎ ‎ ‎ ‎14.已知实数x,y满足,则目标函数z=x﹣y的最大值是 4 .‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】作平面区域,化简目标函数z=x﹣y为y=x﹣z,从而求最大值.‎ ‎【解答】解:作平面区域如下,‎ 化简目标函数z=x﹣y为y=x﹣z,‎ 故当过点(2,﹣2)时,‎ z=x﹣y有最大值为2﹣(﹣2)=4,‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎15.已知等边△ABC的边长为2,若,则= ﹣2 .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】由题意画出图形,建立适当的平面直角坐标系,求出所用点的坐标,得到向量的坐标,然后利用向量数量积的坐标运算得答案.‎ ‎【解答】解:如图,‎ 以BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,‎ ‎∵等边△ABC的边长为2,且,‎ 则B(﹣1,0),D(,),A(0,),E(﹣,0),‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 故答案为:﹣2.‎ ‎ ‎ ‎16.存在实数φ,使得圆面x2+y2≤4恰好覆盖函数y=sin(x+φ)图象的最高点或最低点共三个,则正数k的取值范围是 (,] .‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法;圆方程的综合应用.‎ ‎【分析】由题意可得T=2k≤2<2T,即可解得正数k的取值范围.‎ ‎【解答】解:函数y=sin(x+φ)图象的最高点或最低点一定在直线y=±1上,‎ 由,解得:,‎ 由题意可得:T==2k,T≤2<2T,‎ 解得正数k的取值范围是:(,].‎ 故答案为:(,].‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在数列{an}中,.‎ ‎(1)求证:数列为等比数列;‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和.‎ ‎【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】(1)通过对an+1=an变形可知=•,进而可知数列{}是首项、公比均为的等比数列;‎ ‎(2)通过(1)可知,进而利用错位相减法计算即得结论.‎ ‎【解答】(1)证明:∵an+1=an,‎ ‎∴=•,‎ 又∵=,‎ ‎∴数列{}是首项、公比均为的等比数列;‎ ‎(2)解:由(1)可知=,,‎ ‎∴,‎ Sn=+2•+…+(n﹣1)•+n•,‎ 两式相减得: Sn=+++…+﹣n•,‎ ‎∴Sn=1++++…+﹣n•‎ ‎=﹣n•‎ ‎=2﹣.‎ ‎ ‎ ‎18.某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A,B进行比较研究,将志愿者分为两组,分别采用方案A和方案B进行治疗,统计结果如下:‎ 有效 无效 合计 使用方案A组 ‎96‎ ‎120‎ 使用方案B组 ‎72‎ 合计 ‎32‎ ‎(Ⅰ)完成上述列联表,并比较两种治疗方案有效的频率;‎ ‎(Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关?‎ 附:,其中n=a+b+c+d ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ P(K2≥k0)‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【考点】独立性检验的应用.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据题意,填写列联表,计算使用方案A、B有效的频率值,比较即可;‎ ‎(Ⅱ)计算观测值K2,对照数表即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)根据题意,填写列联表如下;‎ 有效 无效 合计 使用方案A组 ‎96‎ ‎24‎ ‎120‎ 使用方案B组 ‎72‎ ‎8‎ ‎80‎ 合计 ‎168‎ ‎32‎ ‎200‎ 使用方案A有效的频率是=0.8,‎ 使用方案B有效的频率是=0.9,‎ 使用使用方案B治疗有效的频率更高些;‎ ‎(Ⅱ)计算观测值K2=≈3.571<3.841;‎ 所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关.‎ ‎ ‎ ‎19.四棱锥E﹣ABCD中,AD∥BC,AD=AE=2BC=2AB=2,AB⊥AD,平面EAD⊥平面ABCD,点F为DE的中点.‎ ‎(1)求证:CF∥平面EAB;‎ ‎(2)若CF⊥AD,求二面角D﹣CF﹣B的余弦值.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(1)根据线面平行的判定定理即可证明CF∥平面EAB;‎ ‎(2)若CF⊥AD,建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角D﹣CF﹣B的余弦值.‎ ‎【解答】解:(1)取AE的中点G,连接FG,GB,‎ ‎∵点F为DE的中点,∴GF∥AD,且GF=AD,‎ ‎∵AD∥BC,AD=2BC,‎ ‎∴GF∥BC,且GF=BC,‎ ‎∴四边形CFGB为平行四边形,则CF∥BG,而CF⊄平面EAB,BG⊂平面EAB,‎ ‎∴CF∥平面EAB.‎ ‎(2)∵CF⊥AD,‎ ‎∴AD⊥BG,‎ ‎∵AB⊥AD,∴AD⊥平面EAB,‎ ‎∴AD⊥EA,‎ ‎∵平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,‎ ‎∴EA⊥平面ABCD,‎ 以A为坐标原点,以AB,AD,AE为x,y,z轴建立空间直角坐标系,‎ 则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),F(0,1,1),‎ 设平面BCF的法向量为=(x,y,z),则,‎ 即,即,令x=1,则z=1,即=(1,0,1),‎ 平面CDF的法向量为=(x,y,z),同理得=(1,1,1),‎ 则cos<,>==‎ 由于二面角D﹣CF﹣B是钝二面角,‎ ‎∴二面角D﹣CF﹣B的余弦值是﹣.‎ ‎ ‎ ‎20.设A,B为抛物线y2=x上相异两点,其纵坐标分别为﹣1,2,分别以A,B为切点作抛物线的切线l1,l2,设l1,l2相交于点P.‎ ‎(Ⅰ)求点P的坐标;‎ ‎(Ⅱ)M为A,B间抛物线段上任意一点,设,试判断是否为定值,如果为定值,求出该定值,如果不是定值,请说明理由.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】(I)求出A,B坐标,设切线斜率得出切线方程,联立方程组,令判别式△=0得出斜率,从而求出切线方程,再联立切线方程解出P点坐标;‎ ‎(II)设M(y02,y0)(﹣1≤y0≤2),根据向量的基本定理列方程组解出λ,μ,计算即可.‎ ‎【解答】解:(I)A(1,﹣1),B(4,2),‎ 设l1的方程为y+1=k(x﹣1),即y=kx﹣k﹣1,‎ 联立方程组,消元得:ky2﹣y﹣k﹣1=0,‎ ‎∴△=1+4k(k+1)=0,解得k=﹣.‎ ‎∴l1方程为:y=﹣x﹣.‎ 同理可得l2方程为:y=x+1.‎ 联立方程组,解得.‎ ‎∴P点坐标为(﹣2,).‎ ‎(II)设M(y02,y0)(﹣1≤y0≤2),则=(y02+2,y0﹣). =(3,﹣),=(6,).‎ ‎∵,‎ ‎∴.解得λ=,μ=.‎ ‎∴=+=1.‎ ‎ ‎ ‎21.已知f(x)=e﹣,其中e为自然对数的底数.‎ ‎(1)设g(x)=(x+1)f′(x)(其中f′(x)为f(x)的导函数),判断g(x)在(﹣1,+∞)上的单调性;‎ ‎(2)若F(x)=ln(x+1)﹣af(x)+4无零点,试确定正数a的取值范围.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.‎ ‎【分析】(1)对函数f(x)求导后知g(x),对g(x)求导后得到单调性.‎ ‎(2)利用导函数求得F(x)的单调性及最值,然后对a分情况讨论,利用F(x)无零点分别求得a的取值范围,再取并集即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵f(x)=e﹣,‎ ‎∴f′(x)=﹣,‎ ‎∴g(x)=(x+1)(﹣),‎ ‎∴g′(x)= [(x+3)﹣1],‎ 当x>﹣1时,g′(x)>0,‎ ‎∴g(x)在(﹣1,+∞)上单调递增.‎ ‎(2)由F(x)=ln(x+1)﹣af(x)+4知,F′(x)=(﹣g(x)),‎ 由(1)知,g(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,且g(﹣1)=0 可知当x∈(﹣1,+∞)时,g(x)∈(0,+∞),‎ 则F′(x)=(﹣g(x))有唯一零点,‎ 设此零点为x=t,易知x∈(﹣1,t)时,F′(x)>0,F(x)单调递增;‎ x∈(t,+∞)时,F′(t)<0.F(x)单调递减.‎ 知F(x)max=F(t)=ln(t+1)﹣af(t)+4,‎ 其中a=,‎ 令G(x)=ln(x+1)﹣+4,‎ 则G′(x)=,‎ 易知f(x)>0在(﹣1,+∞)上恒成立,‎ ‎∴G′(x)>0,G(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,且G(0)=0,‎ ‎①当0<a<4时,g(t)=>=g(0),‎ 由g(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,知t>0,则F(x)max=F(t)=G(t)>G(0)=0,‎ 由F(x)在(﹣1,t)上单调递增,﹣1<e﹣4﹣1<0<t,f(x)>0,g(t)>0在(﹣1,+∞)上均恒成立,‎ 则F(e﹣4﹣1)=﹣af(e﹣4﹣1)<0,‎ ‎∴F(t)F(e﹣4﹣1)<0‎ ‎∴F(x)在(﹣1,t)上有零点,与条件不符;‎ ‎②当a=4时,g(t)===g(0),由g(x)的单调性可知t=0,‎ 则F(x)max=F(t)=G(t)=G(0)=0,此时F(x)有一个零点,与条件不符;‎ ‎③当a>4时,g(t)=<=g(0),由g(x)的单调性知t<0,‎ 则F(x)max=F(t)=G(t)<G(0)=0,此时F(x)没有零点.‎ 综上所述,当F(x)=ln(x+1)﹣af(x)+4无零点时,正数a的取值范围是a∈(4,+∞).‎ ‎ ‎ 请考生在第22题,23题,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-1:几何证明选讲](共1小题,满分10分)‎ ‎22.已知AB是圆O的直径,点C在圆O上(异于点A,B),连接BC并延长至点D,使得BC=CD,连接DA交圆O于点E,过点C作圆O的切线交AD于点F.‎ ‎(Ⅰ)若∠DBA=60°,求证:点E为AD的中点;‎ ‎(Ⅱ)若CF=R,其中R为圆C的半径,求∠DBA.‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段.‎ ‎【分析】(1)先证明出△ABD为等边三角形,再连BE,根据三线合一定理证明出点E为AD的中点;‎ ‎(2)连CO,运用中位线定理证明出BE∥CF,继而证出BE=R,最后求出∠DAB.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:∵AB为圆O的直径,‎ ‎∴AC⊥BD,而BC=CD.‎ ‎∴AB=AD,而∠DBA=60°,‎ ‎∴△ABD为等边三角形,连BE,由AB为圆的直径,‎ ‎∴AD⊥BE,∴E为AD中点.‎ ‎(Ⅱ)连CO,易知CO∥AD,‎ ‎∵CF为圆O的切线,∴CF⊥CO,‎ ‎∴CF⊥AD,又BE⊥AD,‎ ‎∴BE∥CF,且CF=BE,由CF=知BE=R,‎ ‎∴∠DAB=30°.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.已知直线l:为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a(a>﹣3)‎ ‎(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若曲线C与直线l有唯一公共点,求实数a的值.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.‎ ‎【分析】(I)曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a(a>﹣3),把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入化为直角坐标方程.‎ ‎(II)直线l:为参数),消去参数t,化为普通方程.利用直线与圆相切的充要条件即可得出.‎ ‎【解答】解:(I)曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a(a>﹣3),‎ 化为直角坐标方程:x2+y2﹣2y=a,配方为:x2+=3+a>0.‎ ‎(II)直线l:为参数),消去参数t,化为普通方程:﹣y=0.‎ ‎∵曲线C与直线l有唯一公共点,‎ ‎∴圆心到直线l的距离d==3+a,‎ 解得a=﹣3.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知a>0,b>0,记A=+,B=a+b.‎ ‎(1)求A﹣B的最大值;‎ ‎(2)若ab=4,是否存在a,b,使得A+B=6?并说明理由.‎ ‎【考点】有理数指数幂的化简求值.‎ ‎【分析】(1)代入配方利用二次函数的单调性即可得出最大值;‎ ‎(2)假设存在a,b,使得A+B=6,则,令=x>0, =y>0,化为,令x+y=t>0,化为t2+t﹣10=0,判断此方程是否有实数根即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)A﹣B=+﹣a﹣b=﹣﹣+1≤1,当且仅当a=b=时取等号.‎ ‎∴A﹣B的最大值是1.‎ ‎(2)假设存在a,b,使得A+B=6,则,‎ 令=x>0, =y>0,化为,‎ 令x+y=t>0,化为t2+t﹣10=0,‎ ‎∵△=1+40=41>0,且t1t2=﹣10<0.‎ ‎∴上述方程有正实数根,‎ 因此存在a,b,使得A+B=6,ab=4同时成立.‎ ‎ ‎ ‎2016年8月25日
查看更多

相关文章

您可能关注的文档