全国高考理科数学试题及答案湖北卷

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全国高考理科数学试题及答案湖北卷

‎2013年湖北省理科数学高考试题WORD解析版 一、选择题 ‎ ‎1、在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )‎ ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【解析与答案】,。‎ 故选D ‎【相关知识点】复数的运算 ‎2、已知全集为,集合,,则( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎【解析与答案】,,。‎ 故选C ‎【相关知识点】不等式的求解,集合的运算 ‎3、在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范围”,是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围”‎ 即:“甲或乙没有降落在指定范围内”。‎ 故选A。‎ ‎【相关知识点】命题及逻辑连接词 ‎4、将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析与答案】的图像向左平移个长度单位后变成,所以的最小值是。故选B。‎ ‎【相关知识点】三角函数图象及其变换 ‎5、已知,则双曲线与的( )‎ A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等 ‎【解析与答案】双曲线的离心率是,双曲线的离心率是,故选D ‎【相关知识点】双曲线的离心率,三角恒等变形 ‎6、已知点、、、,则向量在方向上的投影为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析与答案】,,,故选A。‎ ‎【相关知识点】向量的坐标运算,向量的投影 ‎7、一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:,的单位:)行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析与答案】令 ,则。汽车刹车的距离是,故选C。‎ ‎【相关知识点】定积分在实际问题中的应用 ‎8、一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为,,,,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ ‎ ‎【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C ‎【相关知识点】三视图,简单几何体体积 ‎9、如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体。经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为,则的均值为 ‎ A. B. C. D. ‎ 第9题图 ‎【解析与答案】三面涂有油漆的有8块,两面涂有油漆的有36块,一面涂有油漆的有54块,没有涂有油漆的有27块,所以。故选B。‎ ‎【相关知识点】古典概型,数学期望 ‎10、已知为常数,函数有两个极值点,则( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【解析与答案】令得,。‎ 又,。,‎ 故选D。‎ ‎【相关知识点】函数导数与极值,函数的性质 二、填空题 ‎(一)必考题 ‎11、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示。‎ ‎(I)直方图中的值为 ;‎ ‎(II)在这些用户中,用电量落在区间内的户数为 ‎ ‎ 。‎ ‎ 第11题图 ‎ ‎【解析与答案】,‎ ‎ ‎ ‎【相关知识点】频率分布直方图 ‎12、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 。‎ 否 开始 是 结束 是奇数 是 否 输出 ‎ ‎ ‎【解析与答案】5 程序框图运行过程如表所示:‎ i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ a ‎10‎ ‎5‎ ‎16‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎【相关知识点】程序框图 ‎13、设,且满足:,,则 。‎ ‎【解析与答案】由柯西不等式知,结合已知条件得,从而解得,。 ‎ ‎【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件)‎ ‎14、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10,…,第个三角形数为。记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:‎ 三角形数 ‎ 正方形数 ‎ 五边形数 ‎ 六边形数 ‎ ‎ ……‎ 可以推测的表达式,由此计算 。‎ ‎【解析与答案】观察和前面的系数,可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列,故, ‎ ‎【相关知识点】归纳推理,等差数列 ‎(二)选考题 第15题图 ‎15、如图,圆上一点在直线上的射影为,点在半径上的射影为。若,则的值为 。‎ ‎【解析与答案】由射影定理知 ‎【相关知识点】射影定理,圆幂定理 ‎16、在直角坐标系中,椭圆的参数方程为。在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,直线与圆的极坐标方程分别为与。若直线经过椭圆的焦点,且与圆相切,则椭圆的离心率为 。‎ ‎【解析与答案】直线的方程是,作出图形借助直线的斜率可得,所以,‎ ‎【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化,椭圆的几何性质,直线与圆 三、解答题 ‎17、在中,角,,对应的边分别是,,。已知。‎ ‎(I)求角的大小;‎ ‎(II)若的面积,,求的值。‎ ‎【解析与答案】(I)由已知条件得:‎ ‎,解得,角 ‎(II),由余弦定理得:,‎ ‎【相关知识点】二倍角公式,解三角函数方程,三角形面积,正余弦定理 ‎18、已知等比数列满足:,。‎ ‎(I)求数列的通项公式;‎ ‎(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由。‎ ‎【解析与答案】(I)由已知条件得:,又,,‎ 所以数列的通项或 ‎(II)若,,不存在这样的正整数;‎ 若,,不存在这样的正整数。‎ ‎【相关知识点】等比数列性质及其求和 ‎19、如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,,分别是,的中点。‎ ‎(I)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;‎ 第19题图 ‎(II)设(I)中的直线与圆的另一个交点为,且点满足。记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:。‎ ‎【解析与答案】(I),,‎ 又 ‎(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证。(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦。个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差。)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【相关知识点】‎ ‎20、假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量。记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为。‎ ‎(I)求的值;(参考数据:若,有,,。)‎ ‎(II)某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,、两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆。公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求型车不多于型车7辆。若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备型车、型车各多少辆?‎ ‎【解析与答案】(I)‎ ‎(II)设配备型车辆,型车辆,运营成本为元,由已知条件得 ‎,而 作出可行域,得到最优解。‎ 所以配备型车5辆,型车12辆可使运营成本最小。‎ ‎【相关知识点】正态分布,线性规划 ‎21、如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为,,,。记,和的面积分别为和。‎ ‎(I)当直线与轴重合时,若,求的值;‎ ‎(II)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由。‎ 第21题图 ‎【解析与答案】(I),‎ 解得:(舍去小于1的根)‎ ‎(II)设椭圆,,直线:‎ 同理可得,‎ 又和的的高相等 如果存在非零实数使得,则有,‎ 即:,解得 当时,,存在这样的直线;当时,,不存在这样的直线。‎ ‎【相关知识点】直线与椭圆相交的问题(计算异常复杂)‎ ‎22、设是正整数,为正有理数。‎ ‎(I)求函数的最小值;‎ ‎(II)证明:;‎ ‎(III)设,记为不小于的最小整数,例如,,。令,求的值。‎ ‎(参考数据:,,,)‎ 证明:(I)‎ 在上单减,在上单增。‎ ‎(II)由(I)知:当时,(就是伯努利不等式了)‎ 所证不等式即为:‎ 若,则 ‎ …………①‎ ‎,‎ ‎,故①式成立。‎ 若,显然成立。‎ ‎ …………②‎ ‎,‎ ‎,故②式成立。‎ 综上可得原不等式成立。‎ ‎(III)由(II)可知:当时,‎ ‎ ‎
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